1、29.2 反證法 課題學習：中點四邊形1.1.通過實例，體會反證法的含義，培養用反證法簡單推通過實例，體會反證法的含義，培養用反證法簡單推理的技能，進一步培養觀察能力、分析能力、邏輯思維理的技能，進一步培養觀察能力、分析能力、邏輯思維能力及解決問題的能力能力及解決問題的能力. .2.2.了解反證法證題的基本步驟，會用反證法證明簡單的了解反證法證題的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題命題. .3.3.在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗數學活動的在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗數學活動的探索性和創造性；滲透事物之間都是相互對立、相互矛探索性和創造性；滲透事物之間都是相互對立、相互矛盾、相互轉

2、化的辯證唯物主義思想盾、相互轉化的辯證唯物主義思想. . 問題情境問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了.小小華對婷婷說：華對婷婷說：“昨天晚上下雨了昨天晚上下雨了.”你能對小華的判斷說出理由嗎？你能對小華的判斷說出理由嗎？小華的理由：小華的理由：假設昨天晚上沒有下雨，那么地上應是干的，這與早假設昨天晚上沒有下雨，那么地上應是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的. .我們可以把這種說理方法應用到數學問題上我們可以把這種說理方法應用到數學問題上. .解析：解析：由由C=9

3、0C=90可知可知ABCABC是直角三是直角三角形，根據勾股定理可知角形，根據勾股定理可知a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a,b,ca,b,c三邊有何關三邊有何關系？為什么？系？為什么？A AC CB Ba ab bc c探究：探究：假設假設a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理可知三角形，由勾股定理可知三角形ABCABC是直是直角三角形，且角三角形，且C=90C=90，這與已知條件，這與已知條件C90C90矛盾矛盾. .假設不成立，從而說明原

4、結論假設不成立，從而說明原結論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立成立. .A AC CB Ba ab bc c 若將上面的條件改為若將上面的條件改為“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，請問結論請問結論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立嗎？請說明成立嗎？請說明理由理由. .問題問題：【探究探究】 這種證明方法與前面的證明方法不同，首先它是假設這種證明方法與前面的證明方法不同，首先它是假設結論的反面成立，然后經過正確的邏輯推理得出與已知條結論的反面成立，然后經過正確的邏輯推理得出與已知條件、定理、公理矛盾的結論，

5、從而得到原結論正確件、定理、公理矛盾的結論，從而得到原結論正確. .像這像這樣的證明方法叫做反證法樣的證明方法叫做反證法. . 例例1.1.在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證：求證：BC.BC.A AB BC C證明：證明：假設假設，則則（），（），這與這與矛盾矛盾假設不成立假設不成立B =CB =CABABACAC等角對等邊等角對等邊已知已知ABACABACB CB C【規律方法規律方法】反證法的步驟：假設結論的反面成立反證法的步驟：假設結論的反面成立邏輯推理得出矛盾邏輯推理得出矛盾肯定原結論正確肯定原結論正確. .【例題例題】例例2.2.求證：兩條直線相交只有一個交點求證：兩

6、條直線相交只有一個交點. .已知：已知：兩條相交直線兩條相交直線l1 1, ,l2 2. .求證：求證：l1 1與與l2 2只有一個交點只有一個交點. .l1 1l2 2A A證明：證明：假設假設l1 1與與l2 2不止一個交點，不不止一個交點，不妨假設妨假設l1 1與與l2 2有兩個交點有兩個交點A A和和B,B,因為因為兩點確定一條直線，即經過點兩點確定一條直線，即經過點A A和和B B的直線有且只有一條，與已知兩條的直線有且只有一條，與已知兩條直線矛盾直線矛盾. . 所以兩條直線相交只有一個交點所以兩條直線相交只有一個交點. .l1 1l2 2A AB BA A證明：證明：如圖如圖假設假

7、設a a與與b b不平行，不平行，則可設它們相交于點則可設它們相交于點A.A. 那么過點那么過點A A 就有兩條直線就有兩條直線a a、b b與直線與直線c c平行，平行，這與這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行平行”矛盾矛盾, ,所以假設不成立所以假設不成立. . a/b.a/b.小結：小結：根據假設推出的結論除了可以與已知條件矛盾以外，根據假設推出的結論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾還可以與我們學過的定理、公理矛盾. .例例3.3.已知：有已知：有a a, ,b b, ,c c三條直線，且三條直線，且a/c,b

8、/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/b. .abc例例4.4.求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于6060. .已知：已知：ABC.ABC.求證：求證：ABCABC中至少有一個內角小于或等于中至少有一個內角小于或等于6060. .證明：證明：假設假設ABCABC中沒有一個內角小于或等于中沒有一個內角小于或等于6060. .即即A60A60,B60,B60,C60,C60，與三角形的三個內角和等于與三角形的三個內角和等于180180矛盾矛盾. .所以所以ABCABC中至少有一個內角小于或等于中至少有一個內角小于或等于6060. .

9、于是于是A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180. .點撥：點撥：至少的反面是沒有！至少的反面是沒有！例例5.5.求證求證: :在同一平面內在同一平面內, ,如果一條直線和兩條平行線中的如果一條直線和兩條平行線中的一條相交一條相交, ,那么和另一條也相交那么和另一條也相交. .已知已知: :直線直線l1 1, ,l2 2, , l3 3在同一平面內在同一平面內, ,且且l1 1l2 2, ,l3 3與與l1 1相交于點相交于點P.P.求證求證: :l3 3與與l2 2相交相交. .l1l2l3Pl1l2l3P證明證明: :假設假設l3 3與與l2 2 不相交不相交,

10、 ,那么那么l3 3l2,2,因為已知因為已知l1 1l2 2，這與這與“經過直線外一點經過直線外一點, ,有且只有一條直有且只有一條直線與已知直線平行線與已知直線平行”矛盾矛盾. .所以假設不成立所以假設不成立, ,即求證的命題正確即求證的命題正確. .所以過直線所以過直線l2 2外一點外一點P,P,有兩條直線和有兩條直線和l2 2平行平行, ,l1l2l3P1.1.試說出下列命題的反面：試說出下列命題的反面：（1 1）a a是實數是實數. . （2 2）a a大于大于2.2.（3 3）a a小于小于2. 2. （4 4）兩條直線平行）兩條直線平行. .（5 5）最多有一個）最多有一個. .

11、 2.2.用反證法證明用反證法證明“若若a a2 2b b2 2, ,則則a ab”b”的第一步是的第一步是. .3.3.用反證法證明用反證法證明“如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形這個三角形不是等腰三角形”的第一步是的第一步是_._.a a不是實數不是實數a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于至少有兩個至少有兩個兩條直線相交兩條直線相交假設假設a=ba=b 假設這個三角形假設這個三角形是等腰三角形是等腰三角形【跟蹤訓練跟蹤訓練】4.4.已知：如圖已知：如圖, ,ABCABC中，中，D,ED,E兩點分別在兩點分別在AB

12、AB和和ACAC上上. . 求證：求證：CDCD、BEBE不能互相平分不能互相平分. . E D C B A（平行四邊形對邊平行）（平行四邊形對邊平行）, ,證明：證明：假設假設CD,BECD,BE互相平分互相平分, ,連結連結DEDE，故四邊形，故四邊形BCEDBCED是平行四邊形是平行四邊形, ,BDCEBDCE這與這與BD,CEBD,CE交于點交于點A A矛盾矛盾, ,假設錯誤假設錯誤, CD,BE, CD,BE不能互相平分不能互相平分. .已知：在梯形已知：在梯形ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，CD.CD.求證：梯形求證：梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .

13、證明：證明：假設梯形假設梯形ABCDABCD是等腰梯形是等腰梯形, , C=D C=D（等腰梯形同一底上的兩內角相等）（等腰梯形同一底上的兩內角相等）, , 這與已知條件這與已知條件CDCD矛盾矛盾, ,假設不成立假設不成立. .梯形梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .5.5.求證：如果一個梯形同一底上的兩個內角不相等，那求證：如果一個梯形同一底上的兩個內角不相等，那么這個梯形不是等腰梯形么這個梯形不是等腰梯形. .A AB BC CD D6.6.已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，APBAPC.APBAPC.求證：求證：PBPC.PBPC.A

14、AB BC CP P證明：證明：假設假設PB=PC. PB=PC. 在在ABPABP與與ACPACP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（公共邊）（公共邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S.),S.S.S.), APB=APC( APB=APC(全等三角形對應角相等）全等三角形對應角相等）. . 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾，假設不成立矛盾，假設不成立. . PBPC. PBPC.（1 1）以否定性判斷作為結論的命題）以否定性判斷作為結論的命題. .（2 2）以）以“至多至多”“”“至少至少”或或“

15、不多于不多于”等形式陳述的命等形式陳述的命題題. .（3 3）關于）關于“唯一性唯一性”結論的命題結論的命題. .（4 4）一些不等量命題的證明）一些不等量命題的證明. .（5 5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等( (如平如平行線的傳遞性的證明）行線的傳遞性的證明）. .1.1.通過本節內容的學習，可以用反證法的題型通過本節內容的學習，可以用反證法的題型. . 【規律方法規律方法】2.2.注意注意: :用反證法證題時用反證法證題時, ,應注意的事項應注意的事項. . （1 1）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或）周密考察原命題結論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏有所遺漏. . （2 2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真偽性）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真偽性. . （3 3）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷