1、第7講對數與對數函數考試要求1.對數的概念及其運算性質，換底公式及應用（B級要求）；2.對數函數的概念、圖象與性質（B級要求）；3.指數函數y=ax（a>0,且a小）與對數函數y=logax（a>0,且aw1）互為反函數（A級要求）.回顧教材夯實基礎知識梳理1 .對數的概念如果ax=N（a>0,且awl）,那么x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN、其中a叫做對數的底數，N叫做真數.2 .對數的性質、換底公式與運算性質對數的性質：alogaN=N;logaab=b(a>0,且a*1).對數的運算法則如果a>0且awl,M>0,N>0,那么 loga

2、(MN);logaM+logaN; logaMy=logaM-logaN；logaMn=nlogaM(nCR)；logamMn=mlogaM(m,nCR,且mw0).(3)對數的重要公式換底公式：logbN=器N1（a,b均大于零且不等于1）；-1logab=joga，推廣logablogbclogcd=logad.3.對數函數的圖象與性質性質定義域：(0,+8)值域：R當x=1時，y=0,即過定點(1,0)當x>1時，y>0;當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0;當0<x<1時，y>0在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減

3、函數4.反函數指數函數y=ax(a>0,且aw1)與對數函數y=log月x(a>0、且aw1)互為反函數,它們的圖象關于直線匕上對稱.診斷自測1 .思考辨析(在括號內打或"X”)(1)lOg2X2=2lOg2X.()函數y=log2(x+1)是對數函數.().1+X,(3)函數y=lnTX與丫=ln(1+x)ln(1x)的止義域相同.()(4)當x>1時，若logax>logbx,貝Ua<b.()解析(1)log2x2=2log2|x|,故錯.(2)形如y=logax(a>0,且a*1)為對數函數，故錯.(4)當x>1時，logax>l

4、ogbx,但a與b的大小不確定，故(4)錯.答案(1)X(2)X，(4)X2 .計算：log212=；210g23+l0g43=.211解析1og22=10g2/1og22=21=2；210g23+10g43=210g23210g43=3X210g43=3X產2b=373.答案23m3 .(2018全國I卷)已知函數f(x)=1og2(x2+a).若f(3)=1,貝Ua=.解析由f(3)=1得10g2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.答案74 .（2019-南通、揚少卜1等七市調研）函數y=lg（43xx2）的定義域為.解析要使函數y=lg（4-3x-x2）有意義，則4-3x-x

5、2>0,解得一4<x<1,故函數的定義域是（4,1）.答案（4,1）5 .（2018天津卷改編）已知a=log2e,b=ln2,c=log；3,則a,b,c的大小關系為解析法因為 a=log2e>1,b=ln 2C （0, 1）, c=,1110g231og23>1og2e=a>1,所以c>a>b.-.11法一logq=log23,如圖，在同一坐標系中作出函數y=log2x,y=lnx的圖象,23由圖知c>a>b.答案c>a>bI考點聚焦突破考點一對數的運算【例1】（1）設2a=5b=m,且1+1=2,則m=;ab（2）設

6、x,y,z為正數，且2x=3y=5：則（填序號）.2x<3y<5z;5z<2x<3y;3y<5z<2x;3y<2x<5z.2（3）（2018淮陰中學期中）求值：273（牌725）22log23xlog2+log23Xlog34.解析（1）由已知得a=log2m,b=log5m,-1111則+人=+=logm2+logm5=logm10=2.ablog2mlog5m解得m=10.(2)令t=2x=3y=5z,x,y,z為正數,t>1.則x=log2t=藻，同理，V=號，z=伯.cc2lgt3lgtlgt(2lg3-3lg2)“x3尸Ig2-l

7、g3=lg2Xlg3lgt(lg9-lg8)=>0lg2Xlg30,2x>3y.p一2lgt5lgt1gt(2lg55lg2)又,2x5z=;大一;-lg2lg5lg2Xlg5lgt(lg25-lg32)=<0,lg2Xlg5'2x<5z,3y<2x<5z.答案(1)匹(2)解273(3/-125)2-2bg23Xlog28+log23Xlog34=(33)3-(-5)2-3X10g223+JgjX策=9-25-3X(3)+2=5.規律方法(1)在對數運算中，先利用幕的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數幕的形式，使幕的底數最簡，然后正用對數運算法

8、則化簡合并.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、幕再運算.(3)ab=N?b=logaN(a>0,且aw1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.42一廠山一一，2x,x>4,i【訓練11(1)(2018無錫期末)已知函數f(x)=/則f(2+log23)、f(x+1),x<4,的值為.(2)(2019蘇州調研)已知4a=2,logax=2a,則正實數x=.解析(1)因為3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)=23+lOg23=8X2lOg23=24.11

9、由4=2得a=2，則log(x=1,解得x=/.答案(1)24(2)2考點二對數函數的圖象及應用【例2】(1)如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,BC平行于x軸，頂點A,B和C分別在函數y=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的圖象上，則實數a的值為. yc = yB,xa = xb, xc xb = 2, y yA yB=2,lOg2x,x>0,(2)(2019蘇、錫、常、鎮調研)已知函數f(x)=,3xx<0且關于x的方程f(x)+xa=0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是.解析(1)由題設可得lOgaxC=2lOgaxB,xa=xb,2即d化

10、簡可得xb=2,logaxB=2,所以a=2,xcxb=2,k3lOgaxA2lOgaxB=2,故a=加(負值舍去).(2)如圖，在同一坐標系中分別作出v=£僅)與y=x+a的圖象，其中a表示直線在y軸上截距.由圖可知，當a>1時，直線y=x+a與y=log2x只有一個交點.答案（1）2（2）（1,+oo）規律方法（1）在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最高點、最低點等）排除不符合要求的選項.對數函數的圖象在x軸上方，底數a越大，圖象越靠近x軸.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.【訓練2】函數

11、v=210g4（1x）的圖象大致是領序號）.1（2018宿遷,K擬）當0<x02時，4x<1ogax,則a的取值范圍是.解析（1）函數y=210g4（1x）的定義域為（一oo,1）,排除，；又函數y=210g4（1x）在定義域內單調遞減，排除.由題意得，當0<a<1時，要使得4x<1ogax2<xW2j,即當0<x<g時，函數y=1 .14的圖象在函數y=logax圖象的下萬.又當x=2時，42=2,即函數y=4的圖象過點g,2j把點g,2，弋入y=logax,得a=g2.若函數y=4x的圖象在函數y=logax圖象的下方，則需#<a<

12、;1（如圖所示）.當a>1時，不符合題意，舍去.所以實數a的取值范圍是停,11答案住2,1）考點三對數函數的性質及應用角度1比較大小1【例31】（1）（2018天津卷改編）已知a=log32，b=j，c=l°g；5，則a,b,c的大小關系為.若a>b>0,0<c<1,貝U（填序號）.logac<logbC；®logca<logcb；ac<bc；ca>cb.解析（1）log11=log3T5-1=log35,因為函數y=log3x為增函數，所以log35>3510log37>log33=1,因為函數y=）為減函

13、數，所以2）<）=1,故c>a>b.由y=xc與y=cx的單調性知，不正確;,V=logcx是減函數，得logca<logcb,正確;, lg_c logac= ,lg a'logbc=lg c lg b', ,0<c<1, lg c< 0.又a>b>0,.lga>lgb,但不能確定lga,lgb的正負,logac與logbc的大小不能確定.答案c>a>b角度2解不等式【例32】求不等式的解集:（1）33x<2;（2）log5（x1）<2.解（1）33x<2,.33x<3log32,

14、.3x<log32,x>3-log32,解集為（3log32,+00）.1（2）log5（x1）<2,log5（x1）<log5加.0<x-1<V5,.1<x<V5+1,解集為（1,V5+1）.角度3對數型函數的性質【例33(2018儀征中學高三期初檢測)已知aeR,函數f(x)=log28+a)當a=1時，解不等式f(x)>1;(2)若關于x的方程f(x)+log2x2=0有且僅有一解，求a的值；設a>0,若對任意teg,11函數f(x)在區間t,t+1上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.解(1)當a=1時，由10g2，

15、+1,>1,得x+1>2,解得0<x<1.故不等式的解集為x0<x<1.(2)log2(1+a!：+10g2x2=0有且僅有一解，等價于'1+ax2=1有且僅有一解，等價xx于ax2+x1=0有且僅有一解.當a=0時，x=1,符合題意；1當aw0時，1+4a=0,解得a=4.,、，.、1綜上，a=0或4.(3)易知f(x)在(0,+8)上單調遞減.故函數f(x)在區間t,t+1上的最大值與最小值分別為f(t),f(t+1).則f(t)f(t+1)=log21+ajlogzj+a卜1,即at2+(a+1)t10對任意teg1成立.因為a>0,所以

16、函數y=at2+(a+1)t1在區間g,11上單調遞增，所以t=1時，y有最小值3a1,由3a*0得a>2.故a的取值范圍為i,+".2424233/規律方法(1)確定函數的定義域，研究或利用函數的性質，都要在其定義域上進行.(2)如果需將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤.(3)在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優先考慮利用對數函數的單調性來求解.在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件.【訓練3】(1)設a=log32,b=log52,c=log23,則a,b,c的大小關系是已知函數f(x)=loga(

17、8ax)(a>0,且a*1),若f(x)>1在區間1,2上恒成立，則實數a的取值范圍是.解析(1)a=log32<log33=1,b=log52<log55=1,又c=log23>log22=1,所以c最大.11由1做示啕25嘮23>陶25,即a>b，所以c>a>b.(2)當a>1時,f(x)=loga(8ax)在1,2上是減函數,由f(x)>1在區間1,2上包成立，貝Uf(x)min=loga(82a)>1,解之得1<a<8.若0<a<1時，f(x)在1,2上是增函數,由f(x)>1在區間1

18、,2上恒成立,貝Uf(x)min=loga(8a)>1,且82a>0.a>4,且a<4,故不存在.綜上可知，實數a的取值范圍是卜，8j答案c>a>b(2)1,3)I分層限時調煉分層訓練.提不能力一、必做題1.(2018南通中學考前沖刺練習)函數y=ln(12x)的定義域為.解析要使函數v=ln(12x)有意義，則1-2x>0,解得x<0,故函數的定義域是(一00,0).答案(一?0)2.(2018全國m卷)已知函數f(x)=ln(Vl+x2-x)+1/=4,則f(a)=解析由f(a)=InCyl+a2a)+l=4,得1nzTTa2a)=3,所以f

19、(a)=1nC/l+a2+a)+1=-Inf+1=1nM+a2-a)+1=-3+1=-2.W+a2+a答案23 .艾>1”是“1og1(x+2)<0"的條件(在“充分不必要”“必要不充2分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個填寫).解析由x>1得x+2>3,所以1og-(x+2)<0,2.1由log-(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,2所以x>1”是“1og1(x+2)<0”的充分不必要條件.2答案充分不必要4 .(2018淮陰中學期中)已知函數v=1oga(x-1)(a>0,a*1)的圖象過定點A,若點A

20、也在函數f(x)=2x+b的圖象上，則f(1og23)=.解析易知點A(2,0),又因為點A在函數f(x)=2x+b的圖象上，所以22+b=0,.b=4,所以f(x)=2x4,則f(log23)=210g234=34=1.答案15.已知函數f(x)=1oga(x+b)(a>0且awl,bCR)的圖象如圖所示,則a+b的值是c、./c，,、c11f(一3)=loga(3+b)=0,a=3，q解析由圖象可得解得2則a+b=/If(0)=10gab=2,lb=4,29答案26.(2019南京、鹽城模擬)設")=#127+aj是奇函數，則使f(x)<0的x的取值Xi/范圍是.解析

21、由f(x)是奇函數可得a=1,1+x.f(x)=1g-,定義域為(1,1).由f(x)<0,可得0<但？<1,1x-1<x<0.答案(一1,0)t'a+b17.(2019揚州質檢)設f(x)=1nx,0<a<b,若p=f(Vab),q=fJ,r=2(f(a)+f(b),則p,q,r的大小關系為.a+b解析.0<a<b,-2->vab,X,.f(x)=1nx在(0,+00)上為增函數，l"b)f>f(Vab),即q>p.22J一11又r=2(f(a)+f(b)=2(lna+lnb)=ln>/ab=p,

22、故p=r<q.答案p=r<q10g2X,X>0,8.(2019通東中學月考)已知函數f(x)=S1若f(a)>f(a),則實|log2(-X),x<0,數a的取值范圍是.1斛析當a>0,即一a<0時，由f(a)>f(a)知log2a>log2a,在同一坐標系中回出1 ,函數丫=喻"和丫=logx的圖象(圖略)，由圖象可得a>1；當a<0,即一a>0時,同理可得1<a<0,綜上可得，a的取值范圍是(1,0)U(1,+oo).答案(一1,0)U(1,+oo)log3x|,0<X<3,c9.已知

23、函數f(x)=,若a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),則(ab+2)的取x+4,x>3,值范圍是.解析畫出函數f(x)的大致圖象(圖略)，結合圖象并由a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),得1<a<1<b<3<c<4且一log3a=log3b,所以ab=1,故(ab+2)c=3c,又cC(3,4),3所以3ce(27,81).故(ab+2)c的取值范圍是(27,81).答案(27,81)10.(2019淮海中學第一次階段性考試)已知函數f(x)滿足f(x+1)=lg(2+x)lg(x).(1)求函數f(x)的解析式及

24、定義域;(2)解不等式f(x)<1.解(1)令1=乂+1,貝Ux=t1,所以f(t)=lg(1+t)-lg(1-t),即f(x)=lg(1+x)lg(1x),1+x>0,由3得一1<x<1,1x>0所以f(x)=lg(1+x)lg(1x),其定義域是(一1,1).(2)由f(x)=lg(1+x)lg(1x)=lg=<1,1x1+x:<10.9即彳當且僅當x+ 1 = T, x+ 1即x=0時取等號.所以一m> 1,解得m< 1.故實數m的取值范圍是(一,1.二、選做題12.(2018汪蘇運河中學一診)已知f(x) = log2(x2),若實

25、數m, n滿足f(m) + f(2n) =3,則m+n的最小值是.解析 法一 由 f(m) + f(2n) = 3 得 log2(m2)(2n 2) = 3? (m2)(2n2)=23,Zm-2+n-12即(m2)(n1) = 4,由已知得m>2, n>1,由基本不等式得 m 2+n 1>4(當x解得1<x<R.、一1<x<1,所以不等式的解集為僅一1<x<柒11.函數f(x)=log3(x2 J+2x8)的定義域為A,函數g(x)=x2+(m+1)x+m.(1)當m=4時，g(x)&0的解集為B,求AAB；(2)若存在xL0,2使得不等式g(x)<-1成立，求實數m的取值范圍.解(1)由x2+2x8>0得x<4或x>2,則A=(oo,4)U(