1、第2節函數的單調性與最值最新考綱1.理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義；2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質叵.顧教材,夯實基礎I知識衍化體驗知識梳理1.函數的單調性單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任忠兩個自變重的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有f(xj)>f(x2)、那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的q叫k自向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義如果函數y=f(x)在區間D上

2、是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數y=f(x)的單調區間.2.函數的最值前提設函數y=f(x)的止義域為I,如果存在實數M?兩足條件對于任意xCI,都有f(x)&M；(2)存在xoI,使得f(xo)=M(3)對于任意xI,都有f(x)為M;存在xoCI,使得f(xp)=M結論M為最大值M為最小值微點提醒11 .函數y=f(x)(f(x)>0)在公共止義域內與y=f(x),y=f的單調性相反.2 .“對勾函數"y=x+a(a>0)的單調增區間為(8,7a),他，+00)；單調x減區間是【一ya,0),(0,洞.基

3、礎自測疑誤解析1.判斷下列結論正誤(在括號內打或"X”)對于函數f(x),xD,若對任意X1,X2D,且XiWX2有(XIX2)f(xi)f(X2)>0,則函數f(x)在區間D上是增函數.()一一1,(2)函數y=-的單調遞減區間是(8,0)U(0,+°°).()x對于函數y=f(x),若f(1)vf(3),則f(x)為增函數.()(4)函數y=f(x)在1,+00)上是增函數，則函數的單調遞增區間是1,+oo).()解析(2)此單調區間不能用并集符號連接，取x1=1,x2=1,則f(1)<f(1),故應說成單調遞減區間為(一°°,

4、0)和(0,+oo).(3)應對任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以.(4)若f(x)=x,f(x)在1,+00)上為增函數，但y=f(x)的單調遞增區間是R.答案，(2)X(3)X(4)X教材衍牝、2.(必修1P39B3改編)下歹1函數中，在區間(0,+8)內單調遞減的是()A.y=；-xB.y=xy=1一x在(0, + 8)內是減函數；B, C選項中的函數在(0, +8)上均不單調； x選項D中，y=ex在(0, +8)上是增函數.答案 A. 23.(必修1P31例4改編)函數y=一；在區間2 , 3上的最大值是.x 1-xxC.y=lnxxD.y=e解析對于A,

5、y1=1在(0,+°°)內是減函數，丫2=乂在(0,+8)內是增函數，則x一一，2，一一解析函數y=在2,3上是減函數，x1,2一2當x=2時，y=取得取大值=2.x-12-1答案2考題體驗4.(2018廣東省際名校聯考)設函數f(x)在R上為增函數，則下列結論一定正確的是()1A.y=f(x)在r上為減函數B.y=|f(x)|在R上為增函數1c.y=f(X)在R上為增函數D.y=f(x)在R上為減函數1解析如f(x)=x3,則v=的定義域為(8,0)U(0,+oo)在定義域上f(x1無單調性，A錯；則y=f(x)|在R上無單調性，B錯；則y=的定義域為f(x)(8,0)U

6、(0,+OO),在定義域上無單調性，C錯.答案D5.(2019石家莊調研)若函數f(x)=(m1)x+b在R上是增函數，則f(m)與f(1)的大小關系是()A.f(m)>fB.f(m)<41)C.f(m)>f(1)D.f(m)<f(1)解析因為f(x)=(m1)x+b在R上是增函數，則m-1>0,所以m>1,所以f(m)>f(1).答案A6.(2017全國II卷)函數f(x)=ln(x22x8)的單調遞增區間是()A.(_oo,2)B.(oo,1)C.(1,+°°)D.(4,+00)解析由x22x8>0,得x>4或x&l

7、t;2.設t=x22x8,則y=Int為增函數.要求函數f(x)的單調遞增區間，即求函數t=x22x8的單調遞增區間.函數t=x22x8的單調遞增區間為(4,+8),函數f(x)的單調遞增區間為(4,+oo).答案D分類由練，以例求法I考點聚焦突惻考點一確定函數的單調性(區問)【例11(1)(2019東北三省四校質檢)若函數y=log1(x2ax+3a)在區間(2,十川2上是減函數，則a的取值范圍為()A.(oo,4)U2,B.(-4,4C.-4,4)D.-4,4解析令t=x2ax+3a,貝Uy=log-t(t>0),2易知t=x2ax+3a在a，單調遞減，在！2,+8'單調遞增

8、.:y=log-(x2ax+3a)在區間(2,十°°)上是減函數,22.t=xax+3a在(2,+8)上是增函數，且在(2,+OO)上t>0,a-2>2,H4-2a+3a>0,ae4,4.答案D(2)判斷并證明函數f(x)=ax2+1(其中1<a<3)在xC1,2上的單調性.x、解f(x)在1,2上單調遞增，證明如下:設10xi<x202,則f(x2)-f(x1)=ax2+-ax2-=(x2-x1)la(x1+x2)，、，x2x1，j由10x1<x202,得x2x1>0,2Vx1+x2<4,1<X1X2<4,

9、1<<.'X1X24又因為1<a<3,所以2<a(x+x2)<12,/口1得a(X1+X2)>0,X1X2'從而f(X2)f(X1)>0,即f(X2)>f(X1),故當aC(1,3)時，f(X)在1,2上單調遞增.規律方法1.(1)求函數的單調區問，應先求定義域，在定義域內求單調區間，如例1(1).(2)單調區間不能用集合或不等式表達，且圖象不連續的單調區間要用2.(1)函數單調性的判斷方法有：定義法；圖象法；利用已知函數的單調性;導數法.(2)函數v=fg(X)的單調性應根據外層函數v=f(t)和內層函數t=g(X)的單調

10、性判斷，遵循“同增異減”的原則.【訓練11(一題多解)試討論函數g)=*0)在(一1,1)上的單調性.X1解法一設一1<X1<X2<1,1+1、111f(X戶aHT尸aJ+X-1>1111a(X2X1)f(X1)f(X2)=aJ+X11尸aJ+X2-1J=(X1-1)(X2-1)'由于一1<X1<X2<1,所以X2X1>0,X11<0,X21<0,故當a>0時，f(X1)f(X2)>0,即f(X1)>f(X2),函數f(X)在(一1,1)上單調遞減；當a<0時，f(X1)f(X2)<0,即f(X1

11、)<f(X2),函數f(X)在(1,1)上單調遞增.(aX)'(X1)aX(X1)a(X1)aX_a_fX2、22、22、2.人(x-1)(x-1)(x-1)當a>0時，f'x)<0,函數f(x)在(一1,1)上單調遞減;當a<0時，f'x)>0,函數f(x)在(一1,1)上單調遞增.考點二求函數的最值【例2】已知函數f(x)=ax+logax(a>0,且a解析(1)f(x) = ax+logax在1, 2上是單調函數，所以 f(1) + f(2)=loga2+6,2則 a+loga1+a + loga2= loga2+6,即(a 2

12、)(a+3) = 0,又 a>0,所以 a=2.(2)f( 3)=lg(3)2+1 = lg 10=1, ff(-3) = f(1)=0,當x>1時，f(x)=x+ 2-3>2V2-3,當且僅當x =42時，取等號，止匕時f(x)min x=2啦3<0;當 x<1 時，f(x) = lg(x2+1)>lg 1=0,當且僅當 x=0 時，取等號，此時 f(x)min =0.；f(x)的最小值為2亞3.答案 (1)C (2)0 272-3規律方法求函數最值的四種常用方法(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點

13、、最低點，求出最值 .1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga2+6,則a的值為()11八A.2B.4C.2D.4(2)已知函數f(x)=$x+x3'x>1,則ff(3)=,f(x)的最小值是Jg(x2+1),x<1,(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備正二定三相等”的條件后用.基本不等式求出最值(4)導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.1【訓練2】(1)(2019鄭州調研)函數f(x)=F在x1,4上的最大值為M,最小值為m,則Mm的值是()31八911A.16B.2C.4D/4(2)(2018召B陽質檢)定義maxa,b,c

14、,為a,b,c中的最大值，設M=max2x,2x-3,6x,則M的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析(1)易知耳乂)=而一J在1,4上是增函數，x131、.M=f(x)max=f(4)=216=16，m=f(1)=0.-31(2)畫出函數 M = 2x, 2x-3,因止匕M-m=6x的圖象(如圖)，由圖可知，函數M在A(2,4)處取得最小值22=6-2=4,故M的最小值為4.答案(1)A(2)C考點三函數單調性的應用“'A多維探究角度1利用單調性比較大小【例3-11已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當X2>xi>1時，f(x2)f(x1) (x2X

15、i)<0 包成立，設 a=f2j,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關系為()A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c解析由于函數f(x)的圖象向左平移1個單位后得到的圖象關于y軸對稱，故函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，所以a=f1j=f|j當X2>X1>1時，f(X2)f(X1)(X2X1)<0恒成立,等價于函數f(X)在(1,+00)上單調遞減，所以b>a>c.答案D角度2求解函數不等式2X,x<0,【例32(2018全國I卷)設函數f(x)=*則滿足f(x+1)

16、<f(2x)的xU,x>0.的取值范圍是()A.(8,1B.(0,+OO)C.(T,0)D.(0°,0)解析當x00時，函數f(x)=2-x是減函數，則f(x)>f(0)=1.作出f(x)的大致圖象如圖所示，結合圖象知，要使f(x+1)<f(2x),當且僅當'x+1<0,x+1>0,2x<0,或2x<0,L2x<x+1解得 x< 1 或一1<x<0,即 x<0.答案D角度3求參數的值或取值范圍(2a)x+1,x<1,f(xi)f(x2)【例33】已知f(x)=滿足對任意xil2,都有f()f(

17、)>0、ax,x>1xi-x2成立，那么實數a的取值范圍是.f(xi)f(x2)解析對任意xiWx2,都有>0,xix2所以y=f(x)在(一8,+oo)上是增函數.f2-a>0,-23所以a>i,解得2&a<2.1(2-a)xi+Ka,73、故實數a的取值范圍是另，2；二3、答案2,2)規律方法I.利用單調性求參數的取值(范圍)的思路是：根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組)或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數，要注意銜接點的取值.2.(i)比較函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決.

18、求解函數不等式，其實質是函數單調性的逆用，由條件脫去f'.【訓練3】(I)已知奇函數f(x)在R上是增函數，若a=Cogz；，b=f(log24.i),c=f(20.8),則a,b,c的大小關系為()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b若函數f(x)=x2+2ax與g(x)=一此在區間i,2上都是減函數，則a的取值xII范圍是()A.(-I,0)U(0,i)B.(T,0)U(0,iC.(0,i)D.(0,i解析(1)由f(x)是奇函數，得a=fog25J=f(log25).又log25>log24.1>2&

19、gt;20.8,且y=f(x)在R上是增函數，所以a>b>c.(2)因為f(x)=x2+2ax=(xa)2+a2在1,2上為減函數，所以由其圖象得a<1,g(x)=g'x)= 一(x+ 1)要使g（x）在1,2上為減函數,需g'x）<0在1,2上恒成立,故有a<0,因此a>0,綜上可知0<a01.答案（1）C（2）D反思與感悟思維升華1 .利用定義證明或判斷函數單調性的步驟：取值；（2）作差；（3）定號；（4）判斷.2 .確定函數單調性有四種常用方法：定義法、導數法、復合函數法、圖象法，也可利用單調函數的和差確定單調性.3 .求函數最值

20、的常用求法：單調性法、圖象法、換元法、利用基本不等式.閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值，當函數在閉區間上單調時，最值一定在端點處取到；開區間上的“單峰”函數一定存在最大值（最小值）.易錯防范1 .區分兩個概念：”函數的單調區間”和“函數在某區間上單調”，前者指函數具備單調性的“最大”的區間，后者是前者“最大”區間的子集.2 .函數在兩個不同的區間上單調性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接,不要用.例如，函數f（x）在區間（一1,0）上是減函數，在（0,1）上是減函數,1但在(一1,0)U(0,1)上卻不一定是減函數，如函數f(x)=1.x分層訓練鬻蕤無能力)D.2I分層限時訓練基

21、礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1 .函數f(x)=x+X在12,3上的最大值是(A.3B.-8C.-22 3解析易知f(x)在1一2,11上是減函數，.、13f(x)max=f(2)=22=2.答案A2.(2019廣州,K擬)下列函數f(x)中，滿足“？x1,x2C(0,+8)且x1wx2,(x1x2)f(x1)f(x2)<0"的是()A.f(x)=2xB.f(x)=x-1|-1C.f(x)=xD.f(x)=ln(x+1)x解析由(x1x2)1f(x1)f(x2)<0可知，f(x)在(0,+8)上是減函數，A,D選項1一中，f(x)為增函數；B中，f(x)=x

22、1|在(0,+00)上不單調，對于f(x)=-x,因x、，1,為丫=1與y=x在(0,+00)上單調遞減，因此f(x)在(0,十0°)上是減函數.答案C3 .(2019蘭州一模)已知函數f(x)=loga(x22x+3)(a>0且aw1),若f(0)<0,貝U此函數的單調遞增區間是()A.(-oo,-1B.1,+00)C.-1,1)D.(-3,-1解析令g(x)=x22x+3,由題意知g(x)>0,可得一3<x<1,故函數的定義域為x3<x<1.根據f(0)=loga3<0,可得0<a<1,又g(x)在定義域(3,1)內的減

23、區間是1,1),，f(x)的單調遞增區間為1,1).答案C2-x4 .函數y=xC(m,n的取小值為0,則m的取值氾圍是()'x+1、-、，A.(1,2)B.(1,2)C.1,2)D.-1,2)2x3(x+1)3解析函數y=-1在區間(1,+8)上是減函數，且x+1x+1x+1f(2)=0,所以n=2.根據題意，x(m,n時，ymin=0.；m的取值范圍是1,2).答案D5 .(2019蚌埠本K擬)已知單調函數f(x),對任意的xCR都有甲(x)2=6,則f(2)=()A.2B.4C.6D.8解析設t=f(x)2x,則f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,則f(t)=2t+t=

24、6,=”)是單調函數，且f(2)=22+2=6,.t=2,即f(x)=2x+2,則f(2)=4+2=6.答案C二、填空題1,x>0,6 .設函數f(x)=<0,x=0,g(x)=x2f(x1),則函數g(x)的遞減區間是.I1,x<0,x2(x>1),解析由題意知g(x)=<0(x=1),函數的圖象如圖所示的實線部分，根據【-x2(x<1),圖象，g(x)的遞減區間是0,1).答案0,1)ax+17 .設函數f(x)=Xx21在區間(2,+8)上是增函數，那么a的取值范圍是ax+2a22a2+12a2-1解析f(x)=ax+2ax+2a:函數f(x)在區間(

25、2,+8)上是增函數,2a2-1>0,2a2-1>0,i即4IPa>1.2a02,a>1,答案1,+oo)a,a<b,8 .(一題多解)(2019成都診斷)對于任意實數a,b,定義mina,b=J設Jb,a>b.函數f(x)=x+3,g(x)=log2x,則函數h(x)=minf(x),g(x)的最大值是解析法一在同一坐標系中，作函數f(x),g(x)圖象,依題意,h(x)的圖象如圖所示的實線部分易知點A(2,1)為圖象的最高點,因此h(x)的最大值為h(2)=1.log2x,0<x<2,法二依題意，h(x)=$、一x+3,x>2.當0&l

26、t;x02時，h(x)=log2x是增函數，當x>2時，h(x)=3x是減函數,因此h(x)在x=2時取得最大值h(2)=1.答案1三、解答題9 .已知函數f(x)=一(a>0,x>0).ax'(1)求證：f(x)在(0,+00)上是增函數；若f(x)在2I上的值域是2，2L求a的值.(1)證明設x2>xi>0,則x2xi>0,xix2>0, f(x2)f(x1)=x2卜原一AJ=-x2 、由就思可行loga4=1,解得a=4，?兩足條件.>0,.f(x2)>f(x1),ax2axx1x2x1x2 f(x)在(0,+8)上是增函數.

27、解:")在12,2I上的值域是g21,又由得f(x)在&2上是單調增函數， f尸2，f(2)=2,易得a=g.10.函數f(x)=loga(1x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求方程f(x)=0的解.(2)若函數f(x)的最小值為一1,求a的值.1x>0,解(1)由V得3<x<1.、x+3>0,；f(x)的定義域為(一3,1).貝Uf(x)=loga(x22x+3),xC(3,1),令f(x)=0,得一x22x+3=1,解得x=一1±V3e(3,1).故f(x)=0的解為x=1班.由(1)得f(x)=loga(x+1)

28、2+4,x(3,1),由于0v(x+1)2+404,且aC(0,1),.2loga(x+1)+4>loga4,所以a的值為1.4能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2017全國I卷)已知函數f(x)在(一oo,+oo)上單調遞減，且為奇函數.若f(1)=1,則滿足一1&f(x2)&1的x的取值范圍是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3解析f(x)為奇函數，f(x)=f(x).f(1)=1,.f(1)=f(1)=1.故由一10f(x2)<1,得f(1)<f(x-2)<f(-1).又f(x)在(一oo,+oo)單調遞減，1&x201,.1WxW3.答案D12.已知函數f(x)=x22ax+a在區間(一81)上有最小值，則函數g)：為在x區間(1,+8)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是減函數D.是增函數解析因為函數f(x)=x22ax+a=(xa)2+aa2在區間(一0°,1)上有最小值，所以函數f(x)的對稱軸x=a應當位于區間(一oo,1)內，f(x)a即a<1,又g(x)=x=x+x2a,當a<0時，g(x)=x+a2a在區