1、生活的色彩就是學習浙江專用2022版高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數教師用書 1角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內，構成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧

2、度的角，用符號rad表示，讀作弧度正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad，1 rad°.(3)扇形的弧長公式：l|·r，扇形的面積公式：Slr|·r2.3任意角的三角函數任意角的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin y，cos x，tan (x0)三個三角函數的初步性質如下表：三角函數定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函數線如以下圖，設角的終邊與單位圓交于點P，過P作PMx軸，垂足為M，過A

3、(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.三角函數線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線.【知識拓展】1三角函數值的符號規律三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函數的定義(推廣)設P(x，y)是角終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，那么sin ，cos ，tan (x0)【思考辨析】判斷以下結論是否正確(請在括號中打“或“×)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角(×)(2)角的三角函數值與其終邊上點P的位置無關()(3)不相等的角終邊一定不相同(×)(4)終邊

4、相同的角的同一三角函數值相等()(5)假設(0，)，那么tan >>sin .()(6)假設為第一象限角，那么sin cos >1.()1角870°的終邊所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由870°1 080°210°，知870°角和210°角終邊相同，在第三象限2(教材改編)角的終邊與單位圓的交點為M(，y)，那么sin 等于()A. B±C. D±答案B解析由題意知|r|2()2y21，所以y±.由三角函數定義知sin y±.3(2022

5、·寧波二模)集合|kk，kZ中的角所表示的范圍(陰影局部)是()答案C解析當k2n(nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當k2n1 (nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，應選C.4函數y的定義域為_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)題型一角及其表示例1(1)假設k·180°45°(kZ)，那么在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限(2)角的終邊在如下圖陰影表示的范圍內(不包括邊界)，那么角用集合可表示為_答案(1)

6、A(2)(2k，2k)(kZ)解析(1)當k2n(nZ)時，2n·180°45°n·360°45°，為第一象限角；當k2n1 (nZ)時，(2n1)·180°45°n·360°225°，為第三象限角所以為第一或第三象限角應選A.(2)在0,2)內，終邊落在陰影局部角的集合為，所求角的集合為 (kZ)思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角(2)利用終邊相同的角的集合S|

7、2k，kZ判斷一個角所在的象限時，只需把這個角寫成0,2)范圍內的一個角與2的整數倍的和，然后判斷角的象限(1)終邊在直線yx上的角的集合是_(2)(2022·臺州模擬)假設角的終邊與角的終邊相同，那么在0,2內終邊與角的終邊相同的角的個數為_答案(1)|k，kZ(2)3解析(1)在(0，)內終邊在直線yx上的角為，終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)2k(kZ)，(kZ)，依題意02，kZ，k，k0,1,2，即在0,2內與角的終邊相同的角為，共三個題型二弧度制例2(1)(2022·舟山模擬)假設圓弧長度等于該圓內接正方形的邊長，那么其圓心角的弧度數是_答案解析設圓

8、半徑為r，那么圓內接正方形的對角線長為2r，正方形邊長為r，圓心角的弧度數是.(2)扇形的圓心角是，半徑是r，弧長為l.假設100°，r2，求扇形的面積；假設扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數解Slrr2××4.由題意知l2r20，即l202r，Sl·r(202r)·r(r5)225，當r5時，S的最大值為25.當r5時，l202×510，2(rad)即扇形面積的最大值為25，此時扇形圓心角的弧度數為2 rad.思維升華應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度

9、(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形(1)將表的分針撥快10分鐘，那么分針旋轉過程中形成的角的弧度數是 ()A. B.C D(2)圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，那么其圓心角的弧度數為()A. B.C3 D.答案(1)C(2)D解析(1)將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角，故A、B不正確；又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的.即為×2.(2)如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內接三角形，那么線段AB所對的圓心角AOB，作OMAB，垂足為M，在RtAOM

10、中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧長公式得.題型三三角函數的概念命題點1三角函數定義的應用例3(1)(2022·杭州模擬)假設角的終邊經過點P(，m)(m0)且sin m，那么cos 的值為_(2)點P從(1,0)出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，那么Q點的坐標為 ()A. B.C. D.答案(1)(2)A解析(1)由題意知r，sin m，m0，m±，r2，cos .(2)由三角函數定義可知Q點的坐標(x，y)滿足xcos ，ysin.Q點的坐標為(，)命題點2三角函數線例4函數ylg(2sin x1)的定義域為_答案2k，2k)(kZ)解析要使原函數有

11、意義，必須有即如圖，在單位圓中作出相應的三角函數線，由圖可知，原函數的定義域為2k，2k) (kZ)思維升華(1)利用三角函數的定義，角終邊上一點P的坐標可求的三角函數值；角的三角函數值，也可以求出點P的坐標(2)利用三角函數線解不等式要注意邊界角的取舍，結合三角函數的周期性寫出角的范圍(1)角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，sin >0.那么實數a的取值范圍是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3(2)滿足cos 的角的集合為_答案(1)A(2)|2k2k，kZ解析(1)cos 0，sin >0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2<a3.(2)作直

12、線x交單位圓于C、D兩點，連接OC、OD，那么OC與OD圍成的區域(圖中陰影局部)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ6數形結合思想在三角函數中的應用典例(1)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動當圓滾動到圓心位于C(2,1)時，的坐標為_(2)(2022·合肥調研)函數ylg(34sin2x)的定義域為_思想方法指導在坐標系中研究角就是一種數形結合思想，利用三角函數線可直觀得到有關三角函數的不等式的解集解析(1)如下圖，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作x軸的垂線與過C作

13、y軸的垂線交于點B.因為圓心移動的距離為2，所以劣弧2，即圓心角PCA2，那么PCB2，所以PBsin(2)cos 2，CBcos(2)sin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影局部所示)，x(kZ)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kZ)1設集合Mx|x·180°45°，kZ，Nx|x·180°45°，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN答案B解析方法一由于Mx|

14、x·180°45°，kZ，45°，45°，135°，225°，Nx|x·180°45°，kZ，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN，應選B.方法二由于M中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1是奇數；而N中，x·180°45°k·45°45&

15、#176;(k1)·45°，k1是整數，因此必有MN，應選B.2假設是第三象限角，那么以下各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0答案B解析是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，那么可排除A、C、D，應選B.3(2022·杭州一模)是第二象限的角，其終邊上的一點為P(x，)，且cos x，那么tan 等于()A. B.C D答案D解析P(x，)，y.又cos x，r2，x2()2(2)2，解得x±.由是第二象限的角，得x，tan .4(2022·杭州第二中學模擬)假設3

16、90°角的終邊上有一點P(a，3)，那么a的值是()A. B3C D3答案B解析tan 390°，又tan 390°tan(360°30°)tan 30°，a3.5點P(sin cos ，2)在第二象限，那么的一個變化區間是()A. B.C. D.答案C解析P(sin cos ，2)在第二象限，sin <cos ，的一個變化區間是.6角2k(kZ)，假設角與角的終邊相同，那么y的值為()A1 B1C3 D3答案B解析由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin <

17、0，cos >0，tan <0.所以y1111.7在直角坐標系中，O是原點，A(，1)，將點A繞O逆時針旋轉90°到B點，那么B點坐標為_答案(1，)解析依題意知OAOB2，AOx30°，BOx120°，設點B坐標為(x，y)，所以x2cos 120°1，y2sin 120°，即B(1，)8扇形的圓心角為，面積為，那么扇形的弧長等于_答案解析設扇形半徑為r，弧長為l，那么解得9設是第三象限角，且cos ，那么是第_象限角答案二解析由是第三象限角，知為第二或第四象限角，cos ，cos 0，綜上知為第二象限角10在(0,2)內，使si

18、n x>cos x成立的x的取值范圍為_答案(，)解析如下圖，找出在(0,2)內，使sin xcos x的x值，sin cos ，sin cos .根據三角函數線的變化規律標出滿足題中條件的角x(，)11一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長AB.解設扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，那么解得圓心角2(rad)如圖，過O作OHAB于H，那么AOH1 rad.AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圓心角的弧度數為2 rad，弦長AB為2sin 1 cm.12角終邊上一點P，P到x軸的距離與到y軸的距離之比為34，且sin <0，求cos 2tan 的值解設P(x，y)，那么根據題意，可得.又sin <0，的終邊只可能在第三、第四象限假設點P位于第三象限，可設P(4k，3k)(k>0)，那么r5k，從而cos ，tan ，cos 2tan .假設點P位于第四象限，可設P(4k，3k)(k>0)，那么r5k，從而cos ，tan ，cos 2tan .綜上所述，假設點P位于第三象限，那么cos 2tan ；假設點P位于第四象限，那么cos 2tan . 13.sin <0，tan >0.(1)求角的集合；(2)求終邊所在的