1、九年級數學上-相似三角形綜合練習題（共30小題）一解答題： 1如圖，在ABC中，DEBC，EFAB，求證：ADEEFC2如圖，梯形ABCD中，ABCD，點F在BC上，連DF與AB的延長線交于點G（1）求證：CDFBGF；（2）當點F是BC的中點時，過F作EFCD交AD于點E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長3如圖，點D，E在BC上，且FDAB，FEAC求證：ABCFDE4 如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BFAE于F，試說明：ABFEAD5如圖，E是ABCD的邊BA延長線上一點，連接EC，交AD于點F在不添加輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對相似三角形給

2、予證明6已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN 7如圖，在4×3的正方形方格中，ABC和DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上（1）填空：ABC=_°，BC=_；（2）判斷ABC與DEC是否相似，并證明你

3、的結論8如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：（1）經過多少時間，AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由9如圖，在四邊形ABCD中，若ABDC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任

4、選一組相似三角形，并給出證明10如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比11如圖，在ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q（1）求四邊形AQMP的周長；（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結論12已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC

5、，M是CD的中點，試說明：ADMMCP13如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點C運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向點A運動，過點Q作QEBC于點E若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒問：當點P在BA上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有

6、符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由 14 已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？15 如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如

7、果P、Q分別從A、B同時出發，問經過幾秒鐘，PBQ與ABC相似16如圖，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似17、已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得CDM與MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由18 如圖在ABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點Q從B出發，沿BC方向以2cm/s的速度移動，點P從C出發，沿CA方向以1cm/s的速度移動若Q、P分別同時從B、C出發，試探究經過多少秒后，以點C、P、Q為頂點的三角形與CBA相似？19如圖所示，梯

8、形ABCD中，ADBC，A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似20ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結論 21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s

9、的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似22 如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？23陽光明媚的一天，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案（1）所需的測量工具是：_ ；（2）請在下圖中畫出測

10、量示意圖；（3）設樹高AB的長度為x，請用所測數據（用小寫字母表示）求出x 24如圖，李華晚上在路燈下散步已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=OP=l，兩燈柱之間的距離OO=m。 （1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DA+AC）是否是定值請說明理由；（3）若李華在點A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2 25問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量下面是他們通過測量得到的一些信息： 甲組：如圖1，測得一根直立于平地，

11、長為80cm的竹竿的影長為60cm乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm任務要求：（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；（2）如圖3，設太陽光線NH與O相切于點M請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式1562+2082=2602） 26陽光通過窗口照射到室內，在地面上留下2.7m寬的亮區（如圖所示），已知亮區到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC27已知

12、：如圖，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求AE 28已知：如圖RtABCRtBDC，若AB=3，AC=4（1）求BD、CD的長；（2）過B作BEDC于E，求BE的長 29（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對應高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長30如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關系；（不必證明）（2）如圖

13、，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結論；（4）類比（1），（2），（3）的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論 參考答案與試題解析一解答題（共30小題）解答：證明：DEBC，DEFC，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC2解答：（1）證明：梯形ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF，CDFBG

14、F（2）解：由（1）CDFBGF，又F是BC的中點，BF=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG，ABDCEF，F為BC中點，E為AD中點，EF是DAG的中位線，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=2×46=2，CD=BG=2cm3解答：證明：FDAB，FEAC，B=FDE，C=FED，ABCFDE4解答：證明：矩形ABCD中，ABCD，D=90°，BAF=AEDBFAE，AFB=90°AFB=DABFEAD（6分）5解答：（1）證明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=

15、CD，M、N分別是BE，CD的中點，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN為等腰三角形（2）解：（1）中的兩個結論仍然成立（3）證明：在圖中正確畫出線段PD，由（1）同理可證ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形PBD和AMN都為頂角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6、解答：相似三角形有AEFBEC；AEFDCF；BECDCF如：AEFBEC在ABCD中，ADBC，1=B，2=3AEFBEC7解答：（1）ABC=135°，BC=；（2）相似；BC=

16、，EC=；，；又ABC=CED=135°，ABCDEC8解答：（1）設經過x秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（62x）x=×3×6，即x23x+2=0，解方程，得x1=1，x2=2，經檢驗，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經過1秒或2秒后，AMN的面積等于矩形ABCD面積的（2）假設經過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90°，因此有或即，或； 解，得t=；解，得t=經檢驗，t=或t=都符合題意，所以動點M，N同時出發后，經過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與ACD相似9解答：（1

17、）任選兩個三角形的所有可能情況如下六種情況：，；其中有兩組（，）是相似的選取到的二個三角形是相似三角形的概率是P=證明：（2）選擇、證明在AOB與COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD選擇、證明四邊形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB與CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB10、解答：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60°，在RtCED中，ECD=30°CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30°=ECDAE=CE（2）圖中有三角

18、形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延長線于F，設AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30°在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30°，sinAEF=，AF=AEsinAEF=11解答：（1）ABMP，QMAC，四邊形APMQ是平行四邊形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）當點M中BC的中點時，四邊形APMQ是

19、菱形，點M是BC的中點，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位線AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，平行四邊形APMQ是菱形12解答：證明：正方形ABCD，M為CD中點，CM=MD=ADBP=3PC，PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90°，MCPADM13解答：（1）過D作DHAB交BC于H點ADBH，DHAB，四邊形ABHD是平行四邊形DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=6CD=10，DH2+CH2=CD2DHC=90°B=DHC=90°梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=×

20、;（2+8）×8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38當t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分第一種情況：0t8若PADQEC則ADP=CtanADP=tanC=； =，t=；若PADCEQ則APD=CtanAPD=tanC=，=； t=第二種情況：8t10，P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10t12ADP為鈍角三角形與RtCQE不相似；t=或t=時，PAD與CQE相似第一種情況：當0t8時過Q點作QEBC，QHAB，垂足為E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE

21、=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化簡得：3t252t+180=0解得：t=，t=8（不合題意舍去）t=第二種情況：8t10時DP=DQ=10t當8t10時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立第三種情況：10t12時DP=DQ=t10當10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立綜上所述，t=或8t10或10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ成立14解答：設經x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90°，（1）當1=2時，有：，即；（2）當1=3時，有：，即，經過秒或2秒，PBQBCD15解答：設經過秒后t秒

22、后，PBQ與ABC相似，則有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，當PBQABC時，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）當QBPABC時，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，經過2.5s或1s時，PBQ與ABC相似（10分）解法二：設ts后，PBQ與ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分兩種情況：1）當BP與AB對應時，有=，即=，解得t=2.5s（2）當BP與BC對應時，有=，即=，解得t=1s所以經過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與ABC相似16解答：AC=，

23、AD=2，CD=要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（1）當RtABCRtACD時，有=，AB=3；（2）當RtACBRtCDA時，有=，AB=3故當AB的長為3或3時，這兩個直角三角形相似17解答：分兩種情況討論：若CDMMAN，則=邊長為a，M是AD的中點，AN=a若CDMNAM，則邊長為a，M是AD的中點，AN=a，即N點與B重合，不合題意所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B），使得CDM與MAN相似當AN=a時，N點的位置滿足條件18解答：設經過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（82x）cm，CP=xcm，C=C=90°，當或時，兩三角形相似（1）當時，x=；（2）當時，x

24、=所以，經過秒或秒后，兩三角形相似19解答：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應，即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90°，APDBCP當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90°，APDBCP（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應，即APDBPC=，=，AP=檢驗：當AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90°，APDBPC因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、6處20解答：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE

25、=45°，BME+MEB=135°又DEF是等腰直角三角形，DEF=45°NEC+MEB=135°BEM=NEC，而MBE=ECN=45°，BEMCNE（2）與（1）同理BEMCNE，又BE=EC，則ECN與MEN中有，又ECN=MEN=45°，ECNMEN21解答：以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，當ABCPAQ時，所以，解得：t=6；當ABCQAP時，所以，解得：t=；當AQPBAC時，=，即=，所以t=；當AQPBCA時，=，即=，所以t=30（舍去）故當t=6或t=時，以點Q、A、P為頂

26、點的三角形與ABC相似22解答：MAC=MOP=90°，AMC=OMP，MACMOP，即，解得，MA=5米；同理，由NBDNOP，可求得NB=1.5米，小明的身影變短了51.5=3.5米23、解答：（1）皮尺，標桿；（2）測量示意圖如圖所示；（3）如圖，測得標桿DE=a，樹和標桿的影長分別為AC=b，EF=c，DEFBAC，24解答：（1）由題意可知：BAC=EDF=90°，BCA=EFDABCDEF，即，DE=1200（cm）所以，學校旗桿的高度是12m（2）解法一：與類似得：，即，GN=208在RtNGH中，根據勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260設O的半徑為rcm，連接OM，NH切O于M，OMNH則OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景燈燈罩的半徑是12cm解法二：與類似得：，即，GN=208設O的半徑為rcm，連接OM，NH切O于M，OMNH則OMN=HGN=90°，又ONM=