1、23個求極值和值域專題1、求函數的值域.2、求函數的值域.3、求函數的值域.4、求函數的值域.5、已知函數（其中）的值域是，求實數.6、已知：為正實數，且，求函數的最小值.7、已知：，求：的最小值.8、設函數在區間的最小值為，最大值為，求區間.9、已知：，求函數的最大值.10、求函數：的最小值.11、求函數：的值域.12、已知實數滿足和，求的最小值. 13、求函數：的最小值. 14、已知：，求函數：的最小值. 15、已知點在橢圓上，求的最大值. 16、求函數：的值域. 17、求函數：的值域. 18、求函數：的最大值. 19、設：為正實數，且滿足，試求：的最小值. 20、已知為正實數，且滿足，求

2、：的最大值. 21、設為銳角，求：的最小值. 22、設為銳角，求證：. 23、已知為正實數，求證：. 23個求極值和值域專題解析1、求函數的值域.解析：函數的定義域為：.函數的導函數為：當時，則即：函數在區間為單調遞減函數，故：；故：函數在該區間的值域是.當時，則即：函數在區間為單調遞增函數，故：；故：函數在該區間的值域是.綜上，函數的值域是.2、求函數的值域.解析：函數的定義域是：.待定系數法用于柯西不等式來解本題.設：，則柯西不等式為：即：令：，即：由柯西不等式的等號成立條件，即函數取極值時條件得：由得：，即：，即：將代入得：即：，即：即：試解，且，則：，代入得：，即時函數取得極大值.函數

3、極大值為當時，函數在本區間為單調遞增函數. 故：即：函數在區間的值域是當時，函數在本區間為單調遞減函數. 故：即：函數在區間的值域是綜上，函數的值域是.3、求函數的值域.解析：函數的定義域是：.待定系數法用于柯西不等式來解本題.設：，則柯西不等式為：即：令：，即：由柯西不等式的等號成立條件，即函數取極值時條件得：即：，即：，即：即：，即：，即：將式代入式得：當時，函數達到極大值. 極大值為：函數的導函數為：當區間時，函數單調遞增. 故：即：函數在本區間的值域是.當區間時，函數單調遞減. 故：即：函數在本區間的值域是.綜上，函數的值域是.4、求函數的值域.解析：函數的定義域是：. 則函數為：（當

4、時取負號，當時取正號）于是函數的極值在：即：即：，即：在區間，函數的極值為：在區間的邊界有：故：函數在該區間的值域是.在區間，函數，為單調遞減函數. 故有：；故：函數在該區間的值域是. 綜上，函數的值域是. 5、已知函數（其中）的值域是，求實數.解析：函數的定義域為.將函數變形為：，即：其判別式不等式為：即：而函數的值域是，即：即：對比兩式得：，即，因，故：故：實數，.6、已知：為正實數，且，求函數的最小值.解析：首先設，代入得：，即：，則： 當時，由均值不等式，即：得：則：當時，由均值不等式，即：得：則：當時，由均值不等式，即：代入已知條件， 得：則：故：由、得，的最小值是.7、已知：，求：

5、的最小值.解析：由已知條件得：，即：代入得：即：令：，則方程變為：采用判別式法得：，即：，即：故：的最小值是.8、設函數在區間的最小值為，最大值為，求區間.解析：首先，是一個偶函數，在區間單調遞增，在區間單調遞減.當時，為單調遞減函數，即：.故：是最大值為，是最小值為，即： 即： （*）（*）兩式相減得：即：則: ，即：（*）兩式相加得：將式代入后化簡得：由得：，. 則區間為.當、時，的最大值是，即：.i.若，則的最小值為：，即：，解之及可得：，故此時區間為.ii.若則的最小值為：，即：，則：. 不符合題設，即此時無解.當時，由是一個偶函數可得：，故：是最小值為，是最大值為，即：即：則：為一元

6、二次方程的兩個根，由韋達定理得： 則由得：異號. 不符合題設，即此時無解.綜上，區間為或.9、已知：，求函數的最大值.解析：由可知，函數的定義域是：，有均值不等式，即：即：即：當時，即，可以取到不等式的等號。故：函數的最大值是.10、求函數：的最小值.解析：函數其定義域為：令：，則：，于是：當時，即：，即：，則：所以，是可以取到的. 故的最小值是.正是由于時，函數取到極值，所以有人總結出此類題的解法用來解，即設，代入，后得：即：，即：，即：即：，這兩個結果分別對應于的極小值和的極大值.11、求函數：的值域.解析：先求函數的定義域. 定義域為：本題采用判別式法解題.由等價變形為：即：式上面方程有

7、解得判別式是：即：即：故：函數的值域為.本題亦可以采用換元法和配方法來做令：，則，于是：當時，即：當時，達到極小值.12、已知實數滿足和，求的最小值. 解析：由已知得：則由柯西不等式得：將、代入得：即：，即：即：其判別式為：故：方程等號下的兩根為：則：根據柯西不等式等號成立的條件：代入式得：，即：代入式得：，即：由兩式得：，即：即：，即：即：，即：，即：則：，此時：；，此時：所以，的最小值為13、求函數：的最小值. 解析：待定系數法用于柯西不等式來解本題.設：，則柯西不等式為：即：則：令：，則：，故：設，則：，則：將、代入得：柯西不等式中，等號成立的條件是：即：，則：則：，即：即：，即：將和代

8、入得：即：，即：于是：當，時，柯西不等式中，等號成立.即：的最小值是.14、已知：，求函數：的最小值. 解析：函數的定義域為：，由均值不等式，即：得：即：，則：當時，即：、時，.故：函數的最小值是.15、已知點在橢圓上，求的最大值. 解析：函數的定義域為：，由柯西不等式得：即：，即：由柯西不等式的等號成立的條件得：，即：代入得：，即：，即：則：，于是， 當，時，當，時，所以，函數的最大值是5.16、求函數：的值域. 解析：函數的定義域是：.待定系數法用于柯西不等式來解本題.設：，則柯西不等式為：即：令：，則：由柯西不等式的等號成立條件，即函數取極值時條件得：，即：，即：，則：將代入得：函數的極

9、值為： 在區間，函數單調遞增，故：于是，函數在該區間的值域是. 在區間，函數單調遞減，故：于是，函數在該區間的值域是.綜上，函數的值域是.17、求函數：的值域. 解析：函數的定義域是：本題采用判別式法：令：則：即：，即：即：由的判別式得：即：，即：，即：故：或，即：或由于式即的條件必須那滿足，故.此時，函數的值域為.18、求函數：的最大值. 解析：由均值不等式得：所以,在時，故，的最大值為.19、設：為正實數，且滿足，試求：的最小值. 解析：由均值不等式得：不等式兩邊分別相加得：即：故，的最小值是.20、已知為正實數，且滿足，求：的最大值. 解析：由由柯西不等式得：即：故：因此，的最大值是.21、設為銳角，求：的最小值. 解析：將與通分，并與最后一項合并得：由得：代入式得：再由輔助角公式得：代入式得：由式，當達到最大值時，達到最小值，即：當時，.故，當時，達到最小值，最小值為.22、設為銳角，求證：. 解析：因為為銳角，函數定義域為：，所以，構造函數：則函數的導函數