1、21.2.4一元二次方程的根與系數的關系【目標導航】1、經歷從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系2、掌握一元二次方程根與系數的關系式3、能運用根與系數的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根4、會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方數，兩根之差【知識鏈接】法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有一種非常密切的關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達在16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論證。用于求方程中的特定系數，求含有方程根的一些代數式的值等問題，由方程的根確定方程的系數的方法等

2、都很方便。【珍寶探尋】珍寶 一一元二次方程根與系數的關系1 設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，試推導x1+x2=-，x1·x2=；解析：（1）x1、x2是ax2+bx+c=0（a0）的兩根， x1=，x2= x1+x2=-， x1·x2=·= 即 ；這就是一元二次方程根與系數的關系，它是由法國的數學家韋達發現的，所以我們又稱之為韋達定理。2.使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數的關系時需注意：(1)先把方程化為一般形式，并要注意隱含條件a0；(2)應用時一定要記住根的判別式=b2-4ac0這個前提條件；(3)寫 時不要弄錯符號

3、.【營養快餐】快餐 一 經典基礎題例1：若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）A2 B3 C2 D3分析：由有根與系數的關系3。解：因為，中a1，c3，所以3故選B點撥：本題利用兩根之積與系數的關系.例2、是方程的兩個根，不解方程，求下列代數式的值：（1） （2） （3）分析：由根與系數的關系可建立關于和的方程組，再把所求式子用它們表示出來，代入化簡即得解：由一元二次方程根與系數的關系，得，進而（1）（2）（3）原式點撥：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系、完全平方公式、恒等式的變形等知識。例3：（若x11是關于x的方程的一個根，則方程的另一個根x2 分析：設方程的另一根為x2，由一個

4、根為x11，利用根與系數的關系求出兩根之積，列出關于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即為方程的另一根解：關于x的方程x2+mx50的一個根為x11，設另一個為x2，x25，解得：x25，則方程的另一根是x25點撥：本題此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0），當b24ac0時方程有解，此時設方程的解為x1，x2，則有 。例4：已知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。 分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于的方程，即可求得的值。解：方程有兩個實數根， 解這個不等式，得0 設方程兩根為 則

5、， 整理得： 解得： 又， 點撥：當求出后，還需注意隱含條件，應舍去不合題意的。 例5：已知關于的方程（1）有兩個不相等的實數根，且關于的方程（2）沒有實數根，問取什么整數時，方程（1）有整數解？ 分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數值。 解：方程（1）有兩個不相等的實數根， 解得； 方程（2）沒有實數根， ， 解得； 于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是 其中，的整數值有或 當時，方程（1）為，無整數根； 當時，方程（1）為，有整數根。解得： 所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。 點撥：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確

6、確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。例6：已知實數a，b分別滿足a26a+40，b26b+40，且ab，則的值是（）A7B7C11D11分析：根據已知兩等式得到a與b為方程的兩根，利用根與系數的關系求出a+b與ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用完全平方公式變形，將a+b與ab的值代入計算即可求出值解：根據題意得：a與b為方程x26x+40的兩根，a+b6，ab4，因為7點撥：本題考查了一元二次方程根與系數的關系，要能夠觀察出a與b為方程x26x+40的兩根，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵快餐 二

7、 中考能力題例7. 已知、是一元二次方程的兩個根，則等于（ ） A. B. C. 1 D. 4【解析】根據一元二次方程兩根之積與系數關系分析解答. 由題可知：，【答案】A【點撥】本題考查一元二次方程根與系數的關系例8x1，x2是關于x的一元二次方程x2mx+m2=0的兩個實數根，是否存在實數m使+=0成立？則正確的是結論是（）Am=0時成立Bm=2時成立Cm=0或2時成立D不存在【解析】x1，x2是關于x的一元二次方程x2mx+m2=0的兩個實數根，x1+x2=m，x1x2=m2假設存在實數m使+=0成立，則=0，=0，m=0當m=0時，方程x2mx+m2=0即為x22=0，此時=80，m=0

8、符合題意【答案】A【點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，那么x1+x2=p，x1x2=q例9已知函數y=的圖象在第一象限的一支曲線上有一點A（a，c），點B（b，c+1）在該函數圖象的另外一支上，則關于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2判斷正確的是（）Ax1+x21，x1x20Bx1+x20，x1x20C0x1+x21，x1x20Dx1+x2與x1x2的符號都不確定【解析】根據點A（a，c）在第一象限的一支曲線上，得出a0，c0，再點B（b，c+1）在該函數圖象的另外一支上，得出b0，c1，再根據x1x2=，x1+x2=

9、，即可得出答案【答案】C【點撥】本題考查了根與系數的關系，掌握根與系數的關系和各個象限點的特點是本題的關鍵；若x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數）的兩個實數根，則x1+x2=，x1x2=例10.已知關于x的方程x2+ax+a2=0（1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根分析：（1）將x=1代入方程x2+ax+a2=0得到a的值，再根據根與系數的關系求出另一根；（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答解：（1）將x=1代入方程x2+ax+a2=0得，1+a+a2=0，解得，

10、a=；方程為x2+x=0，即2x2+x3=0，設另一根為x1，則1x1=，x1=（2）=a24（a2）=a24a+8=a24a+4+4=（a2）2+40，不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根點撥：本題考查了根的判別式和根與系數的關系，要記牢公式，靈活運用快餐 三 易錯易混題例11已知，是關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m20的兩個不相等的實數根，且滿足+1，則m的值是（）A3或1 B3 C1 D3或1分析：由于方程有兩個不相等的實數根可得0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數的關系和+1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值錯解：根據根與系數的關系，得+（2m+3）

11、m2又因為+1，即1，整理，得0，解得故選A正解：根據根與系數的關系，得+（2m+3） m2又因為+1，即1，整理，得0，解得又根據0得0解得m所以m只能夠取3故選B點撥： 1、考查一元二次方程根與系數關系與根的判別式及不等式組的綜合應用能力一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0，方程有兩個不相等的實數根；（2）0，方程有兩個相等的實數根；（3）0，方程沒有實數根2、一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根與系數的關系為：x1+x2， x1x2快餐 四 課堂練習題一、選擇題1. 已知x1，x2是一元二次方程的兩根，則的值是（） A0 B 2 C2 D 42. 已知m， n是關于x的一元

12、二次方程x23x+a0的兩個解，若（m1）（n1）6，則a的值為（）A10 B 4 C4 D 10二、填空題3設x1，x2是方程2x23x30的兩個實數根，則的值為 4.已知關于的方程的兩根為，且，則 。5若兩個不等實數m、n滿足條件：m22m10，n22n10，則m2+n2的值是 6.若x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，則x12+x1x2+x22=_.7.已知一元二次方程y2-3y +1=0的兩個實數根分別為y1，y2，則(y1-1)(y2-1)的值為_.三、解答題8.(雞西模擬)若關于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個實數根為x1，x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩

13、個實數根及k的值.9. 設，是方程0的兩實數根，求的值10.關于x的方程kx2+(k+2)x+=0有兩個不相等的實數根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.11. 已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0，其中a、b、c分別為ABC三邊的長（1）如果x=1是方程的根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；（3）如果ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根課堂練習參考答案1.【解析】由題意，得：x1+x2=-p，x1x2=q；【答案

14、】B.p=-(x1+x2)=-3，q=x1x2=2.故選A.2.【解析】C（提示：根據題意得：m+n3，mna，（m1）（n1）mn（m+n）+16，a3+16，解得：a4.【答案】C.3.【解析】（提示：x1，x2是方程2x23x30的兩個實數根，x1+x2，x1x2，則原式答案：4.【解析】：由于韋達定理得：，解得：。答案：5.【解析】6（提示：由題意知，m、n是關于x的方程x22x10的兩個根，則m+n2，mn1所以，m2+n2（m+n）22mn2×22×（1）6答案：66.【解析】x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，x1+x2=2，x1x2=-5，x12+x1

15、x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=4+5=9.答案：97.【解析】由根與系數的關系得y1+y2=3，y1y2=1，所以(y1-1)(y2-1)=y1y2-y1-y2+1=y1y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.答案：-18.【解析】由根與系數的關系得:x1+x2=4，x1x2=k-3，又x1=3x2，聯立、，解方程組得k=x1x2+3=3×1+3=6.答：方程兩根為x1=3,x2=1；k=6.9.【解析】將代入0中得0，移項，德兩邊同乘以，得，再將代入得所以，因為+1所以2019。10.【解析】(1)由=(k+2)2-4k·0,k-1，又k0，k的取值范圍是k-1且k0.(2)不存在符合條件的實數k.理由：設方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1，x2，由根與系數的關系有：又，則，k=-2.由(1)知，k=-2時