1、4.1 比例線段（3）預習案、學習目標:1. 了解比例中項的概念，會求已知線段的比例中項（注意與數的比例中項的區另U）2. 通過實例了解黃金分割，學會利用黃金分割進行簡單計算。3. （補充）課外閱讀：了解黃金分割在實踐中的應用4. 嘗試用圓規和直尺作一條線段的黃金分割點。、自主學習:a b1. （1）如果三個數a,b,c滿足比例式（或a:b=b:c），那么b就叫a,c的b c(2)2. （1）若扌冷則x已知：線段a=4cm,c =6cm,若a,b,b,c是成比例線段，則b=。3. 如果點P把線段AB分割成兩條線段 AP和PB使AP>BP且，那么稱線段 AB被點APAP （）P黃金分割，點

2、P叫線段AB的黃金分割點。 忑 叫黃金比，黃金比值即= PB ap4. 已知線段AB=10cm,如果點P把線段AB分成線段AP和PB使,則線段AP=AP ABAP線段 PB=, =。AB三、問題探究1. 如何求出黃金比的數值，你還有其它方法嗎?2. 嘗試如何用直尺和圓規作出線段的黃金分割點。四、反思求助： 預習后，你還有那些疑問或收獲，請寫在下面:閱讀材料：黃金分割點百度名片：黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，用分數表示為5 -1，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造2型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱

3、為中外比。這個分割點就叫做黃金分割點。這是一個十分有趣的數 字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計算就可以發現一條線段上有兩個黃金分割點。發現歷史：公元前4世紀，希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，并建立起比例理論。他認為所 謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波那契數列1, 1, 2, 3, 5，8,13, 21,。.后二數之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,近似值的。黃金分割在文藝復興前后，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為”金法”，17世紀歐洲

4、的一位數學家，甚至稱它為”各種算法中最可寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為”三率法”或" 三數法則”，也就是我們現在常說的比例方法。公元前300年前后歐幾里得撰寫幾何原本時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。中世紀后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數學家帕喬利稱中外比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛：最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗于1953年首先提出的，70年代由華羅

5、庚提倡在中國推廣。美學價值：因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，舞臺上的報幕 員并不是站在舞臺的正中央，而是偏在臺上一側，以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播 的最好。就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金 分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建筑、文藝、工農業生產和科學實驗 中有著廣泛而

6、重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為”黃金分割”。并且人們認為如果符合這一比例的話，就會顯得更美、更好看、更協調。在生活中，對“黃金分割” 有著很多的應用。最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂到腳底的距離=0.618最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618在企業經營管理中，從經驗來看，資產負債率（即負債總額除資產總額）應以黃金分割點為臨界點， 如果高于這個點就可能面臨較大經營風險（當然象銀行這類企業可以例外），目前正在進行科學論證中。舉例與應用：這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方 面也有著不可忽視的作用。一個很能說明問題的

7、例子是五角星 / 正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有 不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合 黃金分割比的。正五邊形對角線連滿后出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。由于五角星的頂角是 36 度，這樣也可以得出黃金分割的數值為 2Sin18 度。 生活實例：植物葉子，千姿百態，生機盎然，給大自然帶來了美麗的綠色世界。盡管葉子形狀隨種而異，但它在 莖上的排列順序 ( 稱為葉序 )，卻是極有規律的。你從植物莖的頂端向下看，經細心觀察，發現上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5 °角。如果每層葉子只畫一片來代表，

8、第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是137.5 °，以后二到三層，三到四層，四到五層兩葉之間都成這個角度數。植物學家經過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是 最佳的。葉子的排布，多么精巧！今人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關。對人體解剖很有研究的意大利畫家達芬奇發現， 人 的肚臍位于身長的 0.618 處。科學家們還發現，當外界環境溫度為人體溫度的 0.618 倍時，人會感到最舒 服。古希臘帕提依神廟由于高和寬的比是 0.618 ，成了舉世聞名的完美建筑。建筑師們發現，按這樣的比 例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、壯麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、美麗。連一扇門窗若設計為黃

9、金矩 形都會顯得更加協調和令人賞心悅目。高雅的藝術殿堂里，自然也留下了黃金數的足跡。畫家們發現，按0.618 ：1來設計腿長與身高的比例，畫出的人體身材最優美，而現今的女性，腰身以下的長度平均只占身高的0.58 ，因此古希臘維納斯女塑像及太陽神阿波羅的形象都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618 ，從而創造藝術美。難怪許多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演員則在翩翩起舞時，不時地踮起腳尖。音樂家發現，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618 ：1時，奏出來的音調最和諧、最悅耳。據研究， 從猿到人的進化過程中， 骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大， 軀體外形由于近似黃金而矩形變 化最小，人體結

10、構中有許多比例關系接近 0.618 ，從而使人體美在幾十萬年的歷史積淀中固定下來。人類 最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標準，由物及人，由人及物，推而廣之，凡是與人體相似的物 體就喜歡它，就覺得美。于是黃金分割律作為一種重要形式美法則，成為世代相傳的審美經典規律，至今 不衰！近年來， 在研究黃金分割與人體關系時， 發現了人體結構中有 14 個“黃金點”， 12個“黃金矩形” 和 2 個“黃金指數” 黃金點。如： (1) 肚臍：頭頂足底之分割點； (2) 咽喉：頭頂肚臍之分割點； (3) 、 (4) 膝關節：肚臍足底之分割點； (5) 、 (6) 肘關節：肩關節中指尖之分割點； (7) 、 (8) 乳頭：軀干乳 頭縱軸上這分割點； (9) 眉間點：發際頦底間距上 1/3 與中下 2/3 之分割點； (10) 鼻下點：發際頦底 間距下