1、浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形復(fù)習(xí)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本章主要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理、HL定理等知識(shí),這些知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、重點(diǎn)回顧1 .等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩腰 ;等腰三角形兩底角 （即在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì) ）;等腰三角 形三線合一，這三線是指 、,也就是說(shuō)一條線段 充當(dāng)三種身份；等腰三角形是 圖形，它的對(duì)稱軸有 條。2 .等腰三角形的判定：有 邊相等的三角形是等腰三角形；有 相等的三角形是等腰三角形（即在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)）。注意：有兩腰相等的三角形是等腰三角形，這句話對(duì)嗎？3 .等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊 ,各

2、內(nèi)角,且都等于 ;等邊三角形是 圖形，它有 條 對(duì)稱軸。4 .等邊三角形的判定：有 邊相等的三角形是等邊三角形；有三個(gè)角都是 的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是 的 三角形是等邊三角形。5 .直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角 ;直角三角形斜邊上的中線等于 ;直角三角形兩直角邊的平方和等 于 （即勾股定理）。6 0°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的 7 .直角三角形的判定：有一個(gè)角是 的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角 的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于 的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長(zhǎng)度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來(lái)判斷某三角

3、形是直角三角形，但有助于解題。8 .直角三角形全等的判定：斜邊和 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。9 .角平分線的性質(zhì)：在角內(nèi)部到角兩邊 在這個(gè)角的平分線上。三、重點(diǎn)解讀1 .學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷 一個(gè)圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2 .等腰三角形的腰是在已知一個(gè)三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形， 后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬(wàn)不能將理由說(shuō)成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角 形”；3 .直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來(lái)證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究

4、直角三角 形問(wèn)題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來(lái)不少方便；4 .勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“ c”就認(rèn)定是斜邊。 不要一看到直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4,就認(rèn)為另一邊一定是5;5 . “HL'是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過(guò)的“SSS'、"SAS'、"ASA'、"AAS'等判定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的判定同樣有效。切記！!！兩邊及其中一邊的對(duì)

5、角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒(méi)有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬(wàn)不要這樣做。本章解題時(shí)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法： 分類討論思想（特別是在語(yǔ)言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例題） 方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(zhǎng) （留意后面的例題）等面積法四、典型例題BC（一）、角平分線+平行線1、在 ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分/ ABC , CO平分/ ACB。過(guò) O點(diǎn)作EF,使EF/BC。（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？ （2）猜測(cè)線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。2、在 ABC 中，/ ABC= /

6、ACB , BO 平分/ ABC , CO 平分/ ACB,過(guò) O 點(diǎn)作 EF, 使 EF / BC,且/ EBO=30 ° 。若 BE=5, ABC 的周長(zhǎng)為 。（二）、角平分線+垂線3、如圖：AB=AC , / 1 = 7 2, AE XCD 于 F 交 BC 于點(diǎn) E,求證:4、如圖， ABC是等腰直角三角形，其中/ A=90° , BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CEXBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：BD=2CEBC（三卜直角三角形的一個(gè)銳角平分線+斜邊上的高線5、如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 ° , AE 腰三角形嗎？試說(shuō)明理由.CAB ,

7、CD LAB于D,它們交于點(diǎn) F, CFE是等（四）、等邊三角形的幾個(gè)基本圖形：6、等邊三角形 ABC中，BD=CE ,連接 AD、BE7、如圖點(diǎn) A、C、E在同一直線上， ABC和4CDE 點(diǎn)。說(shuō)明：4CMN是等邊三角形。8、已知等邊ABC和點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到4ABC三邊ARACBC?勺距離分別是hi,h2,h3, 4ABC的高為h,若點(diǎn)P在一邊BC上（圖1）,此時(shí)h3=0,可得結(jié)論hi+h2+%=h,請(qǐng)你探索以下問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)（圖2）和點(diǎn)P在 ABC外（圖3）這兩種情況時(shí)，hi、h2、h3與h?之間有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想， 并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.(五)、等腰直角三角形的幾個(gè)基本應(yīng)用9

8、、在 ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,且 AD XMN 于 D, BEXM 于 E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，說(shuō)明 ADC ACEB的理由;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，說(shuō)明 當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，試問(wèn)DE=AD - BE的理由；DE、 AD、BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系,并說(shuō)明理由10、如圖，在直角 ABC中，/ C=90, AC=BC , D,E分另1J在 BC和AC上，且 BD=CE , M 是 AB的中點(diǎn)。求證： MDE是等腰直角三角形。(六)、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方

9、程11、觀察下面表格中所給出的三個(gè)數(shù)a, b, c,其中a, b, c為正整數(shù)，且a<b<c(1)：試找出他們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論(2)：當(dāng)a=21時(shí)，求b, c的值,3,4,53 2 +4 2 =5 25,12,1352 +12 2=1327,24,257 2 +24 2 =25 29,40,419 2 +40 2 =41 2.21,b,c21 2 +b 2 =c212、如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) PA PB PC, ?以BP為邊作/ 連結(jié)CQ(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若PA PB: PC=3: 4: 5,連結(jié)PQ試判斷

10、PQC勺形狀，并說(shuō)明理由.13、等腰三角形底邊上的高為8,周長(zhǎng)為32,求這個(gè)三角形的面積分析：對(duì)于沒(méi)有圖形的大題(指需要過(guò)程的題目)，最好自己畫(huà)圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為 ABC ,高為AD ,設(shè)BD為x,則AB為(16-x),由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即 x2+64=256-32x+x 2x=6S?ABC =BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=4814、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將 矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在DC邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng)。(七)、需要分類討論的(主要是由語(yǔ)言的模糊造成要討論 )有一個(gè)角等于50&#

11、176; ,另一個(gè)角等于 的三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為3, 4,則第三條邊長(zhǎng)為如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC 一腰上的中線 BD?各這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成 這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)。(A)作圖題PBQ=60 ,且 BQ=BP15和6兩部分，求如圖，求作一點(diǎn)P,使PC=PM且使點(diǎn)P到/AOBW邊的距離相等，并說(shuō) 明你的理由.作圖題的基本要求：結(jié)論不能丟。格式： 什么什么即為所求。【考點(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1 .如圖 1,在 ABC中，AB=AC / A=50° , BD為/ ABC的平分線，則/ BDC=2 .如圖2,是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，？若已

12、知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是a,則六邊形的周長(zhǎng)是.3 .如圖3, 一個(gè)頂角為40。的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則/1 + /2=度.4 .如圖4,在等腰直角 ABC中，/ B=90° ,將 ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60°后得到 AB' C', 則/ BAC等于.(4)(5)5 .如圖5,沿AC方向開(kāi)山修渠，為了加快施工進(jìn)度，？要在小山的另一邊同時(shí)施工.從AC上的一點(diǎn)B取/ABD=135 , BD=520米，/ D=45° ,如果要使 A C、E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn) E離D的距離約為米（精確到1米）.6 .等腰 ABC的底邊B

13、C=8cm腰長(zhǎng)AB=5cm 一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn) B開(kāi)始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn) 動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn) P?!動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為 .7 .如圖 7,在 ABC中，AB=AC / BAD=20?,且 AE=?AD 則/ CDE=要節(jié)省材料，則在庫(kù)存的好選用（）A. Li B. L210.如圖10,在 ABC中,A. 30° B , 36°（8）（9）8 .如圖8,在等腰三角形 ABC中，AB=AC / A=44° , CDLAB于D,則/ DC以于（）A . 44° B , 68° C . 46° D . 229

14、.如圖9,要在離地面5m處引拉線固定電線桿，？使拉線和地面成60。角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又AC最L1二5.2m, L2=6.2m, L3=7.8m , L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線C. L3D. L4AB=AC D為AC邊上一點(diǎn)，且 BD=BC=A口？貝/人等于（）C . 45° D , 72°11.同學(xué)們都玩過(guò)蹺蹺板的游戲. 蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，/A . 25 B . 50°C12、直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為A. ab=h 2 B. a +b =2h(10)(11)如圖 11所示，？是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當(dāng)OAC-2

15、5 , ?則當(dāng)蹺蹺板的另一頭 B著地時(shí)，/ AOA等于().60° D , 130°a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是()A2c 111c 111C.+D._ + _二 m a b h如圖所示，在 ABC 中，AB=6 , AC=9 , AD! BC于點(diǎn)二、能力提升13.如圖，已知等腰二角形一腰上的中線把二角形周長(zhǎng)分為a b hD, M為 AD上任一點(diǎn)，則 MC-MB等于 BDr一 A12cm和15cm兩部分，求匕的底邊長(zhǎng).人14 .(計(jì)算型說(shuō)理題)已知如圖4 ABC是z DB與DE之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。15 .如圖， ABC中，D E分別是 AGDCO

16、 / BEOh CDO BE=CD(1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明三、應(yīng)用與探究16 .如圖， ABC是等邊三角形，點(diǎn) D、M竄邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng) BC到E使CE=CD ?試判斷 21C舟AB上的點(diǎn)，BD與CEXT點(diǎn)O ?給出下列三個(gè)條件：/ EBO=/ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫(xiě)出所有情形)；! ABC是等腰三角形.E、F分別是線段 AB BG ?CA上的點(diǎn).(1)若AD=BE=C尸問(wèn) DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論.(2)若 DEF是等邊三角形，問(wèn) AD=BE=CF立嗎？試證明你的結(jié)論.直角三角形1)直角三角形的定義：有一

17、個(gè)角為90 °的三角形，叫做直角三角形。直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)。又叫Rt三角形。2)直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形兩個(gè) 銳角互余；(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊白一半；且三邊比為1比根號(hào)3比2;(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30 °(5)在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊 c的平方，即aA2+bA2=cA2 (勾股定理)；(6)直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)等于該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等

18、于該直角三角形內(nèi)切圓半徑.(7)直角三角形的 垂直平分線 交于斜邊的中點(diǎn)。(8)直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的 比例中項(xiàng)。3)直角三角形的判定：(1)有一個(gè)角為90 °的三角形是直角三角形；(2) 一個(gè)三角形，如果這個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；(3)若aA2+bA2=cA2 ,則以a、b、c為邊的三角形是以 c為斜邊直角三角形(勾股定理的逆定理)；(4)若三角形30。內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形；(5)兩個(gè)銳角互余

19、的三角形是直角三角形.4)直角三角形角的性質(zhì)若直角三角形 ABC中/C=90 °,則sinA=cosB , sinB=cosA , sinA=cos (90 -A) =sin (180 -A)cosA=sin (90 -A) =-cos (180 -A)tanA=-tan (180 -A)對(duì)于特殊角 30°, 45°, 60 °, 15°, 75 °, 90°sin30 =cos60 =1/2sin45 =cos45 °=v2/2sin60 =cos30 °=v3/2sin75 =cos15 °

20、=（根號(hào) 6+根號(hào) 2） /4 cos75 =sin15 =（根號(hào) 6-根號(hào)2） /4tan75 =2+ 根號(hào) 3 tan15 =2-根號(hào) 3sin90 =1 cos90 =0 tan90 =無(wú)限大等腰三角形1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形2）等腰三角形的性質(zhì)：1 .等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（簡(jiǎn)寫(xiě)成 等邊對(duì)等角”）2 .等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡(jiǎn)寫(xiě)成主線合一 ”）3 .等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）4 .等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角

21、的一半6等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）7等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸3） .等腰三角形的判定：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）在一個(gè)三角形中，一邊上的 高線與此邊上的中線，及此邊對(duì)角 角平分線中任意兩線重合可推知此三角 形為等腰三角形。等邊三角形等邊三角形也稱正三角形。1）等邊三角形的定義：有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。2）等邊三角形的性質(zhì)：（具有等腰三角形的所有性質(zhì)，結(jié)合定義更特殊）1等邊三角形的內(nèi)角都相等，且為60度2等邊三角形每條邊上

22、的中線、高線和所對(duì)角的平分線互相重合（三線合一）3等邊三角形是 軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高線或所對(duì)角的平分線所在直線3）等邊三角形的判定：（首先考慮判斷三角形是等腰三角形）（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）（2）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形，且每個(gè)角都為60。（3）有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形等腰直角三角形 定義等腰直角三角形 是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等直角邊夾亦直角銳角45,斜邊上中線角平分線垂線三線合一，等腰直角三角形 斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑（因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為

23、45度，高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；那么設(shè)內(nèi)切圓的半徑r為1,則外接圓的半徑 R就為（根號(hào)2加1）,所以 r:R=1:(根號(hào) 2加 1)。關(guān)系等腰直角三角形的邊角之間的關(guān)系：(1)三角形三內(nèi)角和等于180°(2)三角形的一個(gè) 外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；(3)三角形的一個(gè) 外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；(4)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；(5)在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊 等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.(1)三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各

24、邊的距離相等.(三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線 的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等)(2)三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。(3)三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。(4)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的二分之一。注意！三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。(直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn)。)銳角三角形垂心、外心在三角形內(nèi)部。黃金三角形1、名稱定義所謂黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值；對(duì)應(yīng)的還有：黃金矩形等。2、黃金三角形的分類黃金三角形分兩種：一種是等腰三角形，兩個(gè)底角為72。，頂角為36。；這種三角形既美觀又標(biāo)準(zhǔn)。這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：(就-1)/2.另一種也是等腰三角形，兩個(gè)底角為36。，頂角為108°這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：(就-1)/23、黃金三角形的特征黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，它的頂角為36。，每個(gè)底角為72°.它的腰與它的底成黃金比.當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)，角平分線分對(duì)邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形.這兩三角形之一相似于原三角形， 而另一三角形可用于產(chǎn)生螺旋形曲線.黃金三角形的一個(gè)幾何特征是：它