1、2010高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫） A 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報

2、名號的話）： AS06006 所屬學校（請填寫完整的全名）： 河南工程學院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 陳亮 2. 董文山 3. 代曉冉 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 數模指導組 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）微分方程在儲油罐的變位識別與罐容表標定中的應用摘要：本文由儲油罐長期使用后因為地

3、基變化等而導致罐體的位置發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化而導致罐容表刻度不準確的問題出發，通過分析儲油罐的幾何特性、研究罐內油量的增量與油位高度的增量的關系建立微分方程模型并結合比例性與幾何相似性模型來確定罐容量與油位高度和傾斜角度之間的關系，進而解決儲油罐的變位識別問題，并對罐容表進行新的標定。在問題一中，本文通過分析小橢圓型儲油罐沒有變位與傾斜角為 兩種情況的不同罐容表刻度與油位高度的相應關系，根據立體幾何關系建立微分方程模型來進行求解，得到兩者的關系式，將附錄中所給數據代入微分方程中標定變位后油位高度間隔為1的罐容表刻度，下表是本文所得到的部分標定結果：油標高度（）0.110.120.130

4、.140.15標注罐容量（）338.92366.18394.09422.6451.68油標高度（）0.160.170.180.190.2標注罐容量()481.33511.5542.18573.34604.98油標高度（）0.210.220.230.240.25標注罐容量()637.05669.55702.47735.77769.44油標高度（）0.260.270.280.290.3標注罐容量()803.48837.85872.55907.57942.88對于問題二，仍然建立微分方程模型，仿照問題一的求解過程分析問題二中所給的實際儲油罐，研究其幾何形狀與空間位置與油位高度的關系建立微分方程并求解

5、；并利用儲油罐的比例性與幾何相似性對附件中所給數據進行擬合，找到油位高度和變位參數的關系式求得，=， =，利用微分方程所得解重新對油位高度間隔為10的罐容表刻度進行標定， 標定結果如下圖所示（具體值見正文）：關鍵詞： 變位識別 油位計量系統 微分方程 比例性與幾何相似性 擬合 一、 問題的重述加油站的燃油儲存在地下儲油罐內，地下儲油罐采用流量計和油位計測量進、出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表進行實時計算，以得到罐內油位高度和出油量的變化。儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因使儲油罐的位置發生縱向傾斜和橫向偏轉，從而導致罐容表發生改變。為研究變位對罐容表的影響利用小橢圓型儲

6、油罐分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，并得到實驗數據。問題一：建立數學模型研究小橢圓型罐體變位后對儲油罐的影響，給出儲油罐變位后油位高度間隔為1cm的罐容標定值。問題二：建立數學模型找出實際儲油罐的儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度和橫向偏轉角度）之間的一般關系。利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據，確定模型中的變位參數，給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，并用實際監測數據分析檢驗模型的正確性和方法的可靠性。二、 問題的分析加油站的地下儲油罐的罐容表是利用油位計測量罐內油位高度，然后根據油位高度與罐內油體積的幾何關系比例計算得到儲油量，因為液體

7、具有流動性，所以罐內油的幾何體形狀是由儲油罐的幾何形狀和空間位置決定的。所以當發生地基變形等原因而使罐體位置發生縱向傾斜和橫向偏轉，導致了罐內油位高度和儲油罐的幾何形狀與空間位置對應的幾何關系發生變化，進而引起罐容表刻度的改變。因此為了解決罐容表變位識別和罐容表標定的問題只需研究罐內油位高度和儲油罐的幾何形狀與空間位置的關系即可。加油站的功用使得我們可以得到每次儲油量的變化，油位的變化等有關數據，對于變化的建模考慮運用微分方程模型，由于重力與大氣壓強的作用及液體本身性質的原因，罐內與空氣接觸油面面積S（以下簡稱油面面積）始終保持水平，這個油平面和油位高度與儲油罐的空間位置存在一定的關系，假設儲

8、油罐位于正常位置，當變量非常小的時候，可以近似認為，油位高度變化而不引起油位高度對應的油面面積S發生變化，即:列出微分方程： 應用MATLAB軟件對微分方程進行求解可得油位高度與儲油量的關系，這個關系可看作加油站油位計量管理系統的近似算法，可以運用問題1中對橢圓形儲油罐的罐容表進行標定，進而研究罐體變位對罐容表的影響。對于問題2考慮到h和s分別是一維和二維幾何尺寸，他們之間可以簡單的用來表示，列出微分方程：利用附錄2中的數據對上述微分方程進行二次擬合即可得到A、B、C的值然后求解微分方程，得到罐容量與油位高度的關系式，這樣可以在保證準確性的前提下簡化求解過程。最后為了對儲油罐的變位進行識別，應

9、用比例性與幾何相似性模型找到變為參數，與變位前后油標高度h和H的關系式，利用附錄中的數據進行線性擬合求得，的值。根據h與H的關系代入油位計量系統得到新的罐容表標定值。三、模型的假設1、假設題目中所給數據均在同一環境下測得，且真實有效，誤差較小；2、假設儲油罐的橫向偏轉角和縱向傾斜角角度均在很小的范圍內變化；3、假設不考慮注油管道，出油管道，油浮子對儲油量大小的影響；4、假設不考慮溫度、氣壓等外界條件對儲油罐容積的影響；5、假設浮標始終垂直于油箱地面，不因油箱的變位而發生變化；6、假設儲油罐本身不因發生變位而變形，且只發生一次變位，即在測量數據過程中不再發生變位；7、假設主體為圓柱體，兩端為球冠

10、體的儲油罐在罐體沒有變位與發生很小的縱向傾斜角度與橫向偏轉角度后，罐體中間部位對應的液面高度不變。四、定義與符號說明：儲油罐未發生變位時浮子顯示的油面高度；：儲油罐變位后油浮子所顯示的油面高度；：小橢圓型油罐左側面圖形（橢圓）的長半軸；：小橢圓型油罐左側面圖形（橢圓）的短半軸；：實際儲油罐截面面積；：實際儲油罐中油的容積；：實際儲油罐縱向傾斜角度；：實際儲油罐橫向偏轉角度；L：實際儲油罐水平油面所在平面的寬度的一半；：小橢圓型儲油罐油位探針與左端油罐壁（遠離出油管）間距離；：小橢圓型儲油罐油位探針與右端油罐壁（靠近出油管）間距離；：實際儲油罐倆側面球冠的拱高；：實際儲油罐油位探針與左端油罐主體

11、部分（遠離出油管）間距離；：實際儲油罐油位探針與右端油罐主體部分（靠近出油管）間距離；：實際儲油罐截面球體的直徑。五、模型的建立與求解5.1問題1微分方程模型的建立與求解根據小橢圓形油罐未發生變位時油標高度與儲油量的關系。以橢圓底邊切線為軸，底邊切線的垂線為軸建立坐標系，橢圓方程式為: （1）小橢圓型油罐未發生變位時，水平油面為： （2）用MATLAB求微分方程（2）解得： （3）對附錄1中未發生變位時油標高度和罐容量的數據進行擬合可得出罐容量隨油標高度的變化曲線。利用MATLAB畫出微分方程（3）的函數曲線(如圖a所示)圖 a對比擬合得到的曲線和方程（3）的函數曲線，可以發現兩條曲線是重合在

12、一起的。因此用微分方程（3）反映油標高度與罐容值的關系是較準確的。進一步研究油罐變位對罐容表的影響:利用MATLAB先將小橢圓型儲油罐變位后罐容量的實際值與標注值隨油標高度變化的曲線表示出來：（如圖b）圖 b由圖表可以看出變位后油標高度所示罐容量與實際罐容量的關系：當油標高度小于0.8時油標高度指示的罐容量略大于實際罐容量且多出的體積隨高度的增加而減少在0.8m-0.9范圍內趨于相等，當油標高度大于0.9時油標高度指示的罐容量略小于油標高度且減少的罐容量隨油標高度的增加而增加。小橢圓型油罐的儲油部分可以看作是對稱的幾何體，由對稱幾何體的性質易證當偏轉角度較小時通過幾何體對稱中心的垂線上的油面高

13、度不因油罐發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化而改變，即過對稱中心的垂線上的油面高度始終等于未發生變位時油標所示的高度h，而所對應的罐容量即為發生變位后的實際 罐容量。當油罐發生縱向偏轉角度后如圖c所示 ():圖 c根據幾何關系，發生縱向偏轉角度后的油面高度與通過對稱中心的垂線上的油面高度h有如下關系: （4）代入具體數值得： （5）將方程（5）代入方程（3）中可得發生變位后油標高度與罐容量的關系如下： （6） 當儲油罐發生縱向傾斜4.1度時，根據方程（3）利用MATLAB計算得到罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。畫出反映罐容量標定值的散點圖d如下：圖d制成表格形式如下：（其中油標高度單位

14、m，標注罐容量單位 L）油標高度 0.010.020.030.040.05標注罐容量109.56128.19147.96168.77190.56油標高度0.060.070.080.090.1標注罐容量213.28236.85261.25286.41312.32油標高度0.110.120.130.140.15標注罐容量338.92366.18394.09422.6451.68油標高度0.160.170.180.190.2標注罐容量481.33511.5542.18573.34604.98油標高度0.210.220.230.240.25標注罐容量637.05669.55702.47735.7776

15、9.44油標高度0.260.270.280.290.3標注罐容量803.48837.85872.55907.57942.88油標高度0.310.320.330.340.35標注罐容量978.471014.31050.51086.81123.4油標高度0.360.370.380.390.4標注罐容量1160.21197.21234.41271.81309.3油標高度0.410.420.430.440.45標注罐容量13471384.91422.914611499.2油標高度0.460.470.480.490.5標注罐容量1537.51575.91614.41652.91691.5油標高度0.51

16、0.520.530.540.55標注罐容量1730.21768.81807.51846.21884.9油標高度0.560.570.580.590.6標注罐容量1923.61962.320012039.62078.1油標高度0.610.620.630.640.65標注罐容量2116.621552193.32231.62269.7油標高度0.660.670.680.690.7標注罐容量2307.72345.62383.32420.92458.3油標高度0.710.720.730.740.75標注罐容量2495.52532.62569.426062642.4油標高度0.760.770.780.790

17、.8標注罐容量2678.62714.52750.12785.52820.6油標高度0.810.820.830.840.85標注罐容量2855.32889.82923.92957.62991油標高度0.860.870.880.890.9標注罐容量3023.93056.53088.73120.43151.6油標高度0.910.920.930.940.95標注罐容量3182.43212.63242.43271.63300.2油標高度0.960.970.980.991標注罐容量3328.23355.63382.33408.33433.6油標高度1.011.021.031.041.05標注罐容量3458

18、.13481.93504.73526.73547.7油標高度1.061.071.081.091.1標注罐容量3567.63586.43604.13620.43635.2油標高度1.111.121.131.141.15標注罐容量3648.43659.63668.43673.63673.7油標高度1.161.171.181.191.2標注罐容量3673.83673.93674.13674.43674.85.2問題2微分方程模型的建立與求解同樣建立微分方程求實際儲油罐未發生變位時球冠體油面的幾何關系得：1）當時： （7）解方程（7）可得： （8）2）當 時： （9）解方程（9）可得： （10）基于以

19、上對于儲油罐截面的分析，可得油標高度h和儲油量v和水平油面表面積s的關系方程為： （11） 用MATLAB對微分方程（11）求解得： （12）因為h和s分別是一維和二維幾何尺寸，又觀察到方程（11）右邊最高次冪為2，可以利用對h和s進行二次擬合。令 （13）將附錄2中的數據存入矩陣，利用polyfit函數進行二次擬合得數據如下（具體運算過程見附錄）:，即： （14）將利用擬合得到的微分方程（14）和附錄2中得實際數據比較得如下圖e圖e該圖印證了這個利用方程（14）所得的數據和真實數據高度吻合，可以用于對原微分方程的簡化,用MATLAB求解方程（14）,得到下式： （15）代入油標高度，由下圖f

20、可知簡化后求得的罐容表算法更接近真實值。 圖 f實際油罐是對稱的幾何圖形，同樣由對稱圖形的幾何性質可知通過對稱中心的垂線上的油面高度不因油罐發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化而改變，即過對稱中心的垂線上的油面高度始終等于未發生變位時油標所示的高度h，再根據相應幾何關系，發生縱向傾斜與橫向偏轉角度后的油標高度H與通過對稱中心的垂線上的油面高度h， 如下圖g所示：圖g根據圖中已有的垂直關系與三角形相似可得關系式如下： （16）將方程（16）轉化為 根據附錄二中的數據結合方程（14）求出H的值，對h，H進行擬合得到根據方程附錄2中所給數據運用線性擬合可得 ：A=0.9722 B=0.1261變位后油標高度

21、與罐容量的關系： （17）根據方程（16），（17）解得 （為負值說明罐體發生縱向傾斜的方向與圖（e）中所設定的方向相反）。將方程（17）帶入方程（15）中得變位后油標高度與罐容量的關系：（18）利用方程（18）運用MATLAB軟件得到罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，并繪出罐容量關于油標高度變化的圖形。表中油標高度單位（m）罐容量標定值單位（L）油標高度0.10.20.30.40.5罐容量標定值25767416945996580253102308油標高度0.60.70.80.91罐容量標定值12592015.090517.709820.434223.2486油標高度1.11.2

22、1.31.41.5罐容量標定值261382290875320804350974381148油標高度1.61.71.81.92罐容量標定值41120 .0441031470540499620528162油標高度2.12.22.32.42.5罐容量標定值556048583149609321634397658178油標高度2.62.72.82.93罐容量標定值680411700743718617732782741240圖h六、模型的評價與分析1.模型優點：（1）本文將實際問題轉化為數學中的立體幾何模型進行求解，模型簡單易行，算法直觀。（2）將比例性模型與微分方程模型結合在一起，用簡單的擬合函數代替復

23、雜的數學公式簡化了求解的過程。（3）用MATLAB擬合函數來計算油的高度以及相應油罐中油的體積，易于在實際中對儲油罐變位的快速識別。（4） 可移植性強，對于類似的此問題，只需要運用相同的方法。2.模型的不足：當儲油罐中的油面下降到一定高度時（即出油管口低于油面高度）不可再出油，因為相應數據的準確性無法保障，超出了微分方程的求解范圍，而得不到理想的結果。七、模型的運用與推廣該模型應用罐體在變位后位于罐體幾何中心的油位高度與變位前的油標高度相等，所對應的罐容量與變位后的罐容量近似相等這一幾何相似性進行求解，在現實中可以考慮利用油位計測罐體幾何中心的油位高度，等到對應的罐容量，進而減少罐體變位對罐容

24、表得標度值影響。該模型用到的數據均來自油位計和流量計，在油位計量管理系統系統和流量計結合起來，利用比例性模型對流量計與油位計的數據進行擬合可以快速在不知道儲油罐幾何參數的情況下進行儲油罐是否發生變位的快速辨別，雖然這種方法的準確性不夠高，但因其快速方便的操作性，經濟成本低，而具有一定的現實意義。八、參考文獻1姜啟源、謝金星、葉俊數學建模（第三版），高等教育出版社，20032Frank R.Giordano，William P.Fox，Steven B.Horton，Maurice D.Weir，葉其孝，姜啟源等譯數學建模（第四版），高等教育出版社，20093W.F.Lucas,朱煜民等譯，微分

25、方程模型，國防科技大學出版社，19884M.Braun,微分方程及其應用，人民教育出版社，19805崔怡 實例詳解，航空工業出版社，20006楊啟帆，方道元數學建模，浙江大學出版社，19997譚永基，蔡志杰，俞文魚此數學模型，復旦大學出版社，20058歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋數學分析（第三版），高等教育出版社，2007九、附錄附錄1問題一的求解MATLAB程序1 求罐容量v關于油標高度h的語句：v=dsolve(Dv=16*sqrt(3*h-h2)+h*sqrt(9-4*h2)+4.5*asin(1.5*h),v(0.15902)=0.312,h)2 油標高度與罐容量真實值與預測值的比

26、較將附錄1中表三的累加進油量和油位高度輸入到矩陣cv，ch中執行：cv=cv./1000ch=ch./1000建立m文件h1n=input('input a martix ')for i=1:size(n,2)h=n(i)vc=3871/6000*h*(-25*h2+30*h)(1/2)-3871/10000*(-25*h2+30*h)(1/2)+11613/10000*asin(5/3*h-1)+85351679/3000000000000*413841599(1/2)+11613/10000*asin(22049/30000)+39/125plot(h,vc,'rV

27、')hold onend執行：plot(ch,cv,'.')hold onh1input a martix ch3 油罐變位后做標注值與真實值比較圖建立m文件h2n=input('input a matrix ')for i=1:size(n,2)h=n(i)+0.05914vc=3871/6000*h*(-25*h2+30*h)(1/2)-3871/10000*(-25*h2+30*h)(1/2)+11613/10000*asin(5/3*h-1)+85351679/3000000000000*413841599(1/2)+11613/10000*asin(22049/30000)+39/125plot(h,vc,'rV')hold onend執行：plot(ch,cv,'.')hold onh1input a martix ch4 對變位后油罐進行重新標注t=0for i=0:0.01:1.2t=t+1h=i+0.05914vc(t)=3871/6000*h*(-25*h2+30*h)(1/2)-3871/10000*(-25*h2+30*h)(1/2)+11613/10000*asin(5/3*h-1)+85