1、三重積分1將I=分別表示成直角坐標，柱面坐標和球面坐標下的三次積分，并選擇其中一種計算出結果其中是由曲面z=及z=x+y所圍成的閉區域.分析為計算該三重積分，我們先把積分區域投影到某坐標平面上，由于是由兩張曲面及，而由這兩個方程所組成的方程組 極易消去z，我們把它投影到xoy面上然后，為在指定的坐標系下計算之，還應該先把的邊界曲面用相應的坐標表示，并找出各種坐標系下各個變量的取值范圍，最后作代換即可解 將投影到xoy平面上，由消去z得 (x+y)=2-(x+y)，或(x+y+2)(x+y-1)=0，于是有 x+y=1即知，在xoy平面上的投影為圓域D：x+y1 為此在D內任取一點Q(x，y)，

2、過Q作平行于z軸的直線自下而上穿過穿入時碰到的曲面為，離開時碰到的曲面為(不畫圖，僅用代數方法也易判斷)，這是因為x+y1)(1) 直角坐標系下，我們分直角坐標及柱面坐標，下邊找z的變化范圍從而化為三重積分因此再由D：x+y1，有，于是在直角坐標下，可表示為:于是有I=.(2) 柱面坐標下首先把的表面方程用柱面坐標表示，這時z=x+y表示為z= ，z=表示為z=再由投影區域D為x+y1故01，02于是可表示為：將所給三重積分中的體積元素用=去替換，有I=.(3) 球面坐標下用球面坐標代換兩曲面的方程，得曲面z=x+y變為=；曲面z=變為=由在xoy平面上的投影為x+y1知02，下邊找的變化范圍

3、正z軸在內，即內有點P，使與夾角為零，即的下界為零又曲面z=x+y與xoy平面相切，故的上界為，于是0再找的變化范圍原點在的表面上，故取到最小值為零為找的上界，從原點出發作射線穿過，由于的表面由兩張曲面所組成，因而的上界隨相應的的不同而不同為此在兩曲面的交線上取一點A(0，1，1)，故A所對應的當時，r的上界由曲面r=所給，故這時r即r的變化范圍為0因此I=由的特點(在xoy平面上的投影為圓域，而本身不是球或球錐)，故采用柱面坐標計算比較簡單，這時I=2=小結 (1) 計算三重積分時，欲用何種坐標，就要首先把積分區域的表面方程化成用該坐標表示，同時把被積函數中的變量與體積元素替換為該坐標下的形

4、式 (2) 不要認為當積分區域為球體的一部分就應采用球面坐標球面坐標所適用的積分區域一般為球，兩球面所圍的區域，或這兩種區域被圓錐所截得的部分本題是由旋轉拋物面與球面所圍成的區域，一般是不宜用球面坐標的（3）還應注意面積元在不同坐標下的不同形式；并且在直角坐標系中，更應該強調學會使用對稱性、奇偶性、切片法、換元法、投影面方程的求法等；2計算三重積分，其中是由曲面x+y+z=1及z=所圍成的區域分析 為球面和圓錐面所圍成的區域故從積分區域的特點看，它適宜用球面坐標同時，被積函數中含有因式x+y+z，故從積分區域與被積函數兩方面來看，應選用球面坐標解 在球面坐標下，球面x+y+z=1的方程為r=1

5、，錐面z=的方程為tan=，即，又z軸的正向穿過故的下界為零，因此0將投影到xoy面，由方程組 消去z得x+y=因此0該錐體的頂點在原點，故r下界為零，由穿線法可知r故0r1.于是=2小結 當積分區域為由球面與錐角所圍成的球錐體時若錐題的頂點為原點，且Z軸正向穿過積分區域，則有0，且r的下界為零，上界由球面的方程所給出3計算其中是由xoy平面上的曲線=2x繞x軸旋轉而成的曲面與平面x=5所圍成的閉區域分析：投影區域為圓域，再由于積分區域與球體無關，故采用柱面坐標，這時要注意把y,z用極坐標代換還應注意積分區域關于平面y=0,z=0皆對稱，且被積函數關于y,z皆為偶函數因此還應利用積分區域關于坐

6、標平面的對稱性與被積函數關于某相應變量的奇偶性先進行化簡解 曲線=2x或x=繞x軸旋轉得的旋轉拋物面方程為x=(),故由拋物面x=()與z=0所圍成由于被積函數分別是y和z的偶函數，而積分區域關于平面y=0及z=0都對稱，因此=4，其中為在第一卦限內的部分由知，在yoz 平面上的投影為在yoz平面上的投影為yoz平面上第一象限內的個圓，因此有：于是 44=2=.小結 (1) 當被積函數關于某坐標平面對稱，同時被積函數是相應變量的奇或偶函數時，應首先將所給積分化簡，其原則為關于平面Z=0對稱，f(x,y,z)關于z是奇函數時，積分為零;f(x,y,z)關于z是偶函數時，所求積分為2，其中為被z=

7、0所分的上半個子區域，其余類同(2) 對柱面坐標，清楚這是把積分區域投影到哪個平面時就做的相應的柱面坐標變換，如本題，由于我們把投影到yoz平面,就有y=cos,z=sin,x=x類似地，對球面坐標也應做相應理解，即穿過的坐標軸如果不是z軸而是x軸或y軸球面坐標公式x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos ，也應做相應變化4證明當f(z)連續時，=并用此公式計算的值，其中：x分析 積分區域見圖3，題目要求把三重積分化成只剩下對z的定積分，我們可以把它看作對該三重積分先計算一個關于x,y的二重積分再計算對z的定積分顯然這種計算方法和我們前邊的計算方法是不同的，前邊的計算方法(如例1，

8、2)是先將投影到坐標平面 xoy上得投影區域D，計算時先對z積分再計算在D上的二重積分，比如練習題1在直角坐標下可看作I=，即采用 “穿線法”，本題欲先計算一個二重積分再計算定積分，應采用為“先二后一”法亦稱“切片法”，即先將投影到z軸上得線段-1，1在(-1，1)上任意點z作一垂直于z軸的平面截得一平面區域，在每個上作對x,y的二重積分，然后再把這些積分值累加起來，既再對z 從-1到1積分解 由的表面方程為知，z，既在軸上的投影為線段，在內任取一點z，過z作垂直于z軸的平面截得一平面區域：于是的面積為因此,當f(z)=z時，有=.小結 “切片法”適用于被積函數為某變量的一元函數，而垂直于相應

9、坐標軸的平面截所得截面面積易求出時的情形一般的，若被積函數為x的一元函數時，作垂直于x軸的平面；被積函數為時，作垂直于y軸的截面；被積函數為時，作垂直于z軸的截面5 求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面x及x所圍立體的表面積.分析 該兩圓柱面直交時所圍立體處在八個卦限內其表面為8個面積相等的曲面，我們只經計算其中一個曲面面積即可要注意計算曲面面積時，要找其在坐標面內的投影區域要注意向哪個坐標面作投影要依據曲面方程而定解 為計算該住體的表面積我們只須計算圖4陰影部分的面積S再乘以16即可該曲面的方程為z=它在xoy面上的投影為D=,于是S=,故S=16S=16R.確定選用何種坐標，一般要從積分區域與被積函數兩方面考慮，通常可參閱下表  采 用 坐 標積 分 區 域 的 特 點被積函數的特點球 面 坐 標球，或球被圓錐面所截得的球錐體(特殊情況下為半球體)，或兩同心球面所圍的立體及被圓錐面所截得的主體f(x)或被積函數含有因式x柱 面 坐 標不適用球面坐標，但積分區域在坐標面上的投影適用于極坐標者f(x)，f(x)或被積函數含因式x直角坐標其他情形 6設均勻柱體密度為，占有閉區域求它對于位于點M(0，0，a)(a)處的單位質量的質點的引力分析 用公式求引力時，要注意利用當常數時以及立體對坐標面的對稱性，來簡化計算解 是一位于xoy面上方的圓柱體，