1、第14講解析幾何問題的題型與方法、知識整合高考中解析幾何試題一般共有 4題（2個選擇題,1個填空題,1個解答題），共計30分左右, 考查的知識點約為 20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考 查直線、圓、圓錐曲線、參數方程和極坐標系中的基礎知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要 知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，求解 有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強化。1. 能正確導出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發推導出直 線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據已知條件，熟練

2、地選擇恰當的方程形式寫 出直線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉化，能利用直線的方程來研究與直線有 關的問題了 2. 能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區域，知道線性規劃的意義，知道線性約束 條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規劃 問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規劃方法在數學方面的應用；會用線性規劃方法解 決一些實際問題.3. 理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的 方程的方法.4 掌握圓的標準方程：（xa）2十（y b）2 =r2 （r > 0）,明確方程中各字母的幾何意義，

3、能 根據圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑， 掌握圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey0，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一x 二rcos y = r s in般方程和標準方程的互化，能根據條件，用待定系數法求出圓的方程，理解圓的參數方程（0為參數），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關系的判定方法5 正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據橢圓、雙曲線和 拋物線的定義推導它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據條件， 求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質：范圍

4、、對稱性、 頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線； 掌握a、b、c、p、e之間的關系及相應的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質，確 定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數方程， 并掌握它的應用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關系的判定方法、近幾年高考試題知識點分析2004年高考，各地試題中解析幾何內容在全卷的平均分值為27.1分，占18. 1%; 2001年以來，解析幾何內容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5 % .因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內容，值得我們在二輪復習中引起足夠的

5、重視高考試題中對解析幾何內容的考查幾乎囊括了 該部分的所有內容，對直線、線性規劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內容都有涉及.1 .選擇、填空題1 . 1大多數選擇、填空題以對基礎知識、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主（1）對直線、圓的基本概念及性質的考查例1（04江蘇）以點（1 , 2）為圓心，與直線 4x+3y-35=0相切的圓的方程是 .（2）對圓錐曲線的定義、性質的考查例 2（ 04 遼寧）已知點 F1（r2,0）、F2C20），動點 P 滿足 | PF2 | PF1 P 2.當1點p的縱坐標是一時，點p到坐標原點的距離是2（A）上6（ B）-2 2(C)3(D) 21. 2部

6、分小題體現一定的能力要求能力，注意到對學生解題方法的考查2例3（ 04天津文）若過定點 M （-1,0）且斜率為k的直線與圓x ' 一象限內的部分有交點，（a） 0 k5（C） 0 k x 132 解答題24x y - 5 = 0 在第k的取值范圍是（B） -、5 k : 0（D） 0 k 5解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質.問，在問題的設置上有一定的梯度，第一問相對比較簡單.1例4（04江蘇）已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F （-m,0 ） （m是大于0的常以中等難度題為主， 通常設置兩數）.（i）求橢圓的方程;（n）設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的

7、直線l與y軸交于點M.若MQ =2Qf| ,求直線I的斜率.本題第一問求橢圓的方程，是比較容易的，對大多數同學而言，是應該得分的；而第二問, 需要進行分類討論，則有一定的難度，得分率不高.y2b7解：（I）設所求橢圓方程是2x2a12=1(a b 0).c由已知，得 c = m,a2x故所求的橢圓方程是2所以4m 3m(II )設 Q ( xq , yQ),直線 I : y = k(x +m),則點 M (0,km)當MQ =2QF時，由于F(-m,0),M (0,km),由定比分點坐標公式，得0 - 2m 2m km 01 ,yQkm.3123k2m24m2又點Q（-細,也）在橢圓上，所以3

8、3解得k二26, -1T當 MQ 二-2QF時,xq94m29_ 二 12 3m0 (-2) (-m)1-22m,yQ4km.，yQ 1-22 2 24m km是 2廠=1,解得k = 0. 故直線I的斜率是0,_2 6.4m 3m2例5 （ 04全國文科I）設雙曲線C： y2 = 1（a - 0）與直線I : x y = 1相交于兩個不同a的點A、B.（I ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍:（11）設直線1與y軸的交點為P且怎專詣解：（I）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組2x2ay同的實數解.消去y并整理得 (1 - a2 ) x2+2a2x - 2a2=0.1 -a2 =0.4a4

9、8a2(1a2)0.雙曲線的離心率1 +a2e =a.e6 且 e = 、22有兩個不匚I2所以a121.解得 0 ： a ： - 2 且 a 嚴 1.即離心率e的取值范圍為(一, 、2) U( 一22(II)設 A(X1,y1),B(X2,y2),R(0,1)5 5(X1,y1 -1)(X2,y2 -1).121 - a2z 0,x；.消去,x2,得-121 -a1 -aPA PB,12由于X1 , X2都是方程的根,所以17 x2迅，121 -a由a -0,所以玄二17.13由此得x1512X2.2a22289602例6 （04全國文科n）給定拋物線c： y =4x, F是C的焦點，過點F

10、的直線1與C相交于A、B兩點.(I)設1的斜率為1,求0A與OB夾角的大小;解: （I）將y = x -1代入方程y2 = 4x，并整理得(n)設FB =，AF ,若 4,9，求I在y軸上截距的變化范圍.c的焦點為f（ 1, 0）,直線I的斜率為1,所以I的方程為y = x- 1.x 6x 1 =0.設 A(xyj, B(X2, y2),則有xx? =6公低2 = 1.OA OB =(咅$)化卩)=NX? yy =2x - (Xi x?) 1 = -3.| OA |OB I = . x； y . x； y；二.x1x2x1x2 4(x1 x2) 16 41. cos(OA,OB) OAOB =

11、314.所以 oa與 OB 夾角的大小為二-arccos3 14 .|OA|OB| 4141(n)由題設 fB=aF 得(x2 -1, y2)=入(1 一捲，yJ,即丿X2 -1 =丸(1 -X1),”2 =殍1.由得yf =丸2y1 ,/y： = 4x1, y； = 4x2,- x2 =人2 % .聯立、解得x2 = X,依題意有九0. B（扎2標）,或B（丸,-2屁,又F （1, 0）,得直線I方程為（，-1）y =2（x -1）或（ -1）y 2（x-1）,當4,9時，I在方程y軸上的截距為或一 J,人11由 22、,可知& 在4，9上是遞減的，一1 - 1 - - 13 .2

12、' . 44 .2 . .3. 4_-1_3，3_1_4433 4直線I在y軸上截距的變化范圍為一二一習一 3,蘭.2 44 3從以上3道題我們不難發現，對解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程（橢圓），04年考的是橢圓.、熱點分析與2005年高考預測1. 重視與向量的綜合在04年高考文科12個省市新課程卷中，有 6個省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及 到向量的點乘積（以及用向量的點乘積求夾角）和定比分點等，因此，與向量綜合，仍是解析幾 何的熱點

13、問題，預計在 05年的高考試題中，這一現狀依然會持續下去.例7 （02年新課程卷）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點 A （3, 1）, B （- 1, 3）,2 2(A) (x 1)+( y 2) =5(C) 2x y=0例8 (04遼寧)已知點 A(-2,0)、(A)圓(B)橢圓若點C滿足OC =OA -：OB，其中：疋R,且:+ -=1,則點C的軌跡方程為(B) 3x + 2y 11=0(D) x + 2y 5=0B(3,0)，動點P(x, y)滿足PA PB = x2，則點P的軌跡是(C) 雙曲線(D)拋物線2 考查直線與圓錐曲線的位置關系幾率較高在04年的15個省市文科試題（含

14、新、舊課程卷）中，全都“不約而同”地考查了直線和圓 錐曲線的位置關系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關系的概率依然會很大.3 .與數列相綜合在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數列相綜合，此外，03年的江蘇卷也曾出現過此類試題，所以，在05年的試題中依然會出現類似的問題.例9 （04年浙江卷）如圖， OBC的在個頂點坐標分別為（0,0 ）、（ 1,0 ）、（ 0,2 ）,設P為線段 BC的中點,P2為線段CO的中點,P3為線段OP的中點，對于每一個正整數 n ,Pn+3為線段PnPn+1的中點，1令Pn的坐標為（Xn,yn）,a*

15、=刁Yn ' Yn1 ' Yn（i）求 a1, a2,a3及 an ；In-,n N ;4（川）若記bn解：（i）因為y4n 4 一 丫4n, n N ,證明10 是等比數列.1 3y=y2 二丫4=1,丫3, y 5,所以=a = 93 = 2 ,又由題意可知2 4-yn +yn 卅yn 3211an 1 yn 1yn 2 yn 3=yn 1 ' yn 22 2 On為常數列.an 二3 =2,n N1(n )將等式丄yn yn 1 yn .2兩邊除以2 ,2又y - y n 1 yn 2 y - 1 In乂. yn 4，yn 4 一 I 一 ， 4y4n "

16、;)-(1yn yn 11-yn yn 1 yn 2 fn,=y4n 8 一 y4n 4 =(1 一 ，41 1 (y4n 4 - y4n )bn ,41 又 d 二 y3 - y40,4-紐)4戰/是公比為-的等比數列.44 .與導數相綜合近幾年的新課程卷也十分注意與導數的綜合, 題，都分別與向量綜合.例10 （ 04年湖南文理科試題）如圖，過拋物線如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試2x =4y的對稱軸上任一點 P （0,m） （m>0）作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。TI T T（I ）設點P分有向線段 AB所成的比為，證明：QP _ （QA- -

17、 QB）（II ）設直線AB的方程是x-2y+12=0,過A,B兩點的圓C與拋物線在點 A處有共同的切線，求圓 C的方程解：(I )依題意，可設直線AB的方程為 y二kx m,代入拋物線方程x? =4y得2x 4kx-4m=0.設A、B兩點的坐標分別是(Xi,yj、(X2,y2),則Xi、x?是方程的兩根.所以 x2 = -4m.由點P(0，m)分有向線段 AB所成的比為 得竺 空=0,即一 一竺.1 + 九x2又點Q是點P關于原點的對稱點，故點 Q的坐標是(0， m),從而Qp = (0,2m).QA -，QB =(Xi, yi m) -，(X2, y2 m) =(Xi - x, yi -

18、y2 (1 - )m).QP (QA - QB) "m" - y2 (i - )mx；Xix；_XiXiX24m=2m-(i_)m= 2m(xiX2)3 x2 4x24x2= 2m(xi x2)-4m 4m4x2所以x_2y+i2=0,(n)由 丿2得點A B的坐標分別是(6, 9 )、( 4, 4).X =4y,2i 2i2由x = y 得y x , yx,所以拋物線 x = 4y在點A處切線的斜率為 y x = 342p-9-設圓 C的方程是(x a)2 +(y b)2 = r2,則* a b 3'(a_6)2 +(b_9)2 =(a + 4)2+(b_4)2.

19、解之得 a = -3,b 二232 =(a 4)2 (b -4)2 =空.2 2 2所以圓 C的方程是 (x -)2 (y -空廠125,即 x2 y2 3x-23y 72 = 0.2 2 24 .重視應用在歷年的高考試題中， 經常出現解析幾何的應用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規劃題等，都是有關解析幾何的應用題.例11 ( 04年廣東試題)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北 兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試

20、確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)解：如圖，以接報中心為原點O,正東、正北方向為 x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B C分別是西、東、北觀測點，則A ( 1020 , 0) , B (1020, 0), C (0, 1020)設P (x,y )為巨響為生點，由 A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線 PO 上，PO的方程為y= x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340 X 4=1360x2 依題意得 a=680, c=1020 ,由雙曲線定義知 P點在以A B為焦點的雙曲線b2上,2

21、 2 2 2 2 2.b2 =c2 -a2 = 1020 -680 = 5 34022 2故雙曲線方程為丄y_i68025 3402用 y= x 代入上式，得 x 二 680 5|PB|>|PA|,x 二-680.5,y =680. 5，即P(-680. 5,680 5),故PO =680/0 答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心680 10m處.(二) 05年高考預測1 難度：解析幾何內容是歷年來高考數學試題中能夠拉開成績差距的內容之一，該部分試題往往有一定的難度和區分度，預計這一形式仍將在05年的試題中得到體現此外，從04年分省(市)命題的情況來看，在文科類15份試卷(含文理合

22、用的試卷)中，有9分試卷(占3/5 )用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預計這一現狀很有可能在05年試卷中繼續重現.2. 命題內容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來看，解答題所考查的內容基本上是橢圓、 雙曲線、拋物線交替出現的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題此外，從命題所追求的目 標來看，小題所涉及的內容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求.3. 命題的熱點：(1) 與其他知識進行綜合，在知識網絡的交匯處設計試題(如與向量綜合，與數列綜合、與 函數、導數及不等式綜合等)；(2) 直線與圓錐曲線的位置關系，由于該部分內容體現解析幾何的基本思想方法一一用代數的手段研究幾何問題，因此該部

23、分內容一直是考試的熱點，相信，在05年的考試中將繼續體現；(3) 求軌跡方程.(4 )應用題.四、二輪復習建議1.根據學生的實際，有針對性地進行復習，提高復習的有效性由于解析幾何通常有 2 3小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎為主、解答題 的第一問也較容易，因此，對于全市的所有不同類型的學校，都要做好該專題的復習，千萬不能 認為該部分內容較難而放棄對該部分內容的專題復習，并且根據生源狀況有針對性地進行復習， 提高復習的有效性.2 .重視通性通法，加強解題指導，提高解題能力在二輪復習中，不能僅僅復習概念和性質，還應該以典型的例題和習題(可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模

24、擬試題)為載體，在二輪復習中強化各類問題的常規解法，使 學生形成解決各種類型問題的操作范式.數學學習是學生自主學習的過程，解題能力只有通過學 生的自主探究才能掌握.所以，在二輪復習中，教師的作用是對學生的解題方法進行引導、點撥 和點評，只有這樣，才能夠實施有效復習.3 .注意強化思維的嚴謹性，力求規范解題，盡可能少丟分在解解析幾何的大題時，有不少學生常出現因解題不夠規范而丟分的現象，因此，要通過平 時的講評對易出現錯誤的相關步驟作必要的強調，減少或避免無畏的丟分.x2例14 (04全國文科I)設雙曲線 c： p-y2=1(a> 0)與直線l:x+ y = 1相交于兩 a2個不同的點A B

25、.(I )求雙曲線C的離心率e的取值范圍：5 -(II )設直線I與y軸的交點為P,且PA PB.求a的值.解：(I)由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組!a-y2 =1,有兩個不同的實數解.消去y并整理得x + y = 1.(1 a2) x2+2a2x 2a2=0.所以1一宀°4a4 +8a2(1 _a2) >0.雙曲線的離心率解得 0 ： a ： 、2且 a = 1.e 6 且 e =、22即離心率e的取值范圍為(一.©Uc.Oj：).2還有，在設直線方程為點斜式時，就應該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方 程時，還要注意到純粹性和完備性等.參考例題例

26、1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點，其中A(-2, 3), B(3,2)，求實數m的取值范圍。解：直線 mx+y+2=0過一定點 C(0, -2)，直線 mx+y+2=0實際上表示的是過定點 (0, -2)的直線 系，因為直線與線段 AB有交點，則直線只能落在/ ABC的內部， 為匕、k2,則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應滿足2) k =4k50 3k22 -m> 4 或-mw -5 即 mW - 4 或 m> 5 3232說明：此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題，這 里要清楚直線 mx+y+2=0的斜率-m應為傾角的正切，而當傾角在 的正切函數都

27、是單調遞增的，因此當直線在/ ACB內部變化時，等于kAC當A、B兩點的坐標變化時，也要能求出m的范圍。設BC CA這兩條直線的斜率分別 k > k1 或 k w k2, / A(-2, 3) B(3,C(0,-2)(0 ° ,90 ° )或(90 ° ,180 ° )內，角 k應大于或等于kBC,或者k小于或例2、已知x、y滿足約束條件xx-3y3x+5y> 1, w -4 , w 30,求目標函數z=2x-y的最大值和最小值.解：根據x、y滿足的約束條件作出可行域，即 如圖所示的陰影部分(包括邊界) 作直線10 : 2x-y=0，再作一組

28、平行于10的直線2x-y=t , t R.可知，當I在l0的右下方時，直線丨上的點(x, 滿足2x-y >0,即t >0,而且直線I往右平移時，l 2x=10t隨之減小.隨之增大當直線I平移至h的位置時，直線經過可行域上的點B,此時所對應的t最大；當丨在l的左上方時，直線I上的點（x, y）滿足2x-y v 0，即t v 0，而且直線I往左平移時， 當直線I平移至|2的位置時，直線經過可行域上的點C，此時所對應的t最小.解得點B的坐標為（5, 3）;x-3y+4=0由3x+5y-30=0x=1解得點C的坐標為（1,3x+5y-30=0所以,2717z最大值=2 X 5-3=7 ;

29、Z最小值=2 X 1-=5 5如果| AB |已知O M： X2（y-2）2 = 1,Q是x軸上的動點,4 2，求直線MQ的方程；3QA QB分別切O M于AB兩點，（1）（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.解：(1)由 | AB 戶4亍2，可得 IMP H .'.'I MA |2Ab1)2 理，得 | MB |2 =| MP | | MQ |,得 |MQ |=3,在 Rt MOC中，|OQ |hJ|MQ |2 -|MO |2 二：32 -225 ,故 a5或 a =5 ,所以直線AB方程是2x 5y -2、5 二 0或2x - 5y 2、5 = 0;(2)連接 mb MQ 設 P(x, y), Q(a,0),由點M, P, Q在一直線上，得 二 2, (*)由射影定理得I MB | -a x 即 Jx2(廠2