1、第三章 量子統計理論第一節 從經典統計到量子統計 量子力學對經典力學的改正波函數代表狀態 (來自實驗觀測)能量和其他物理量的不連續性 （來自Schroedinger方程的特征）測不準關系（來自物理量的算符表示和對易關系）全同粒子不可區分 （來自狀態的波函數描述）泡利不相容原理 （來自對易關系）正則系綜不是系統處在某個的概率，而是處于某個量子態的概率，例如能量的本征態。配分函數為第n個量子態的能量，對所有量子態求和（不是對能級求和）。平均值量子力學的平均值第二節 密度矩陣量子力學波函數 歸一化平均值 統計物理 系綜理論：存在多個遵從正則分布的體系假設系綜的各個體系獨立，理解：是對所有狀態平均，假

2、設每個狀態出現的概率為 ，對固定m，和以相同概率出現，所以如果選取能量表象，假設按正則分布，重新記為 這里 引入密度矩陣算符顯然， 歸一化條件一般地 這樣，計算可以在任何表象進行微正則系綜 ( E)巨正則系綜n 為N固定的量子態第三節 玻色愛因斯坦分布(BE)和費米狄拉克分布（FD）體系：N個獨立的全同粒子，N可變單粒子能級巨正則分布量子態：粒子按單粒子量子態的分布注意：i 不是粒子的指標，而是態的指標 N可變的分布這里 i 記單粒子態例：單粒子兩能級系統，玻色子，沒簡并計算平均粒子數（i） 玻色愛因斯坦情形（ii） 費米狄拉克情形只能取0，1兩個值若第個能級有個簡并量子態，則共有粒子， 平均

3、粒子數若足夠大，漲落相對可忽略，N可認為常數。第四節 理想玻色氣體和Bose-Einstein凝聚由于泡利不相容原理，玻色和費米氣體低溫下差別較大玻色氣體的性質1、選，由 (這里是與能量零點有關)2、BE凝聚單分子氣體，分析表明 ，為自旋簡并度設，不斷降溫，為保證對的積分為常數，必須增加（即趨向于零）當 稱之為凝結溫度為自旋如果進一步降溫，使 ，似乎出現矛盾，因為不能再增加，但 又要保持為常數。問題產生于這一過程近似略去了的貢獻，而當 的粒子貢獻極大。 (*)只計算了的粒子數 當 ,這并不奇怪 當 , 是個大數這現象稱之為BE凝聚，是動量空間的凝聚。討論（i） 顯然，Fermi體系不會凝聚，因

4、為Pauli原理。（ii） 對理想或排斥勢的玻色體系，會發生凝聚但對吸引勢的玻色體系，則不會發生凝聚，因為應為，但吸引勢體系無法保證這點。（iii） 凝聚是一種相變，像是二級相變，因為 是冪次行為第五節 理想費米氣體和費米球 假設 1、粒子的排列遵從 粒子按能級從低到高，每個能級兩個自旋取向排列。設最高能量為,對應動量大小。在動量空間看，費米子的等能面為球面。時，全部費米子處于半徑為球內，這球稱費米球。用周期邊界對自由粒子求解Shroedinger方程量子態求和考慮到簡并，在動量的量子態數目為 稱費米能量，對應的等能面稱費米面討論設 這表明是個階梯函數 思考題： 的物理意義 時的能量 單粒子平

5、均能量 當,對費米氣體，粒子仍然運動，例如，對電子氣，這種運動產生的壓強 個大氣壓。2、 但 是從量子氣體轉變為經典氣體的溫度。 表明量子效應顯著。 熱運動能量的數量級為,它使費米面變厚，厚度 。 選為獨立變數，巨正則系綜的特性函數是熱力熱 分部積分 是典型的費米積分當T 小 時 ,可以作低溫展開,對，練習：試計算I的一級近似。 (T=0, ; T0, ) 平均粒子數假設 費米體系的粒子數不隨溫度而變 （練習：試推導）內能 （由上面得到的表達式）定容熱容量稱費米溫度第六節 能斯脫定理和絕對熵熱力學第二定律和熱力學基本方程只定義了兩個狀態的熵之差。l 能斯脫定理設為可逆等溫過程的熵變，則即 l這便是熱力學第三定律經典統計：可能狀態數 量子統計： 量子態數T=0K時，等于基態的簡并度,若 G=1,自然S=0;若G1,但一般G N則 S ,所以單粒子熵 對近獨立的粒子體系，熵 練 習 對玻色子， 0對費米子，由于在費米球內為1，在球外為0，S = 0第三定律的否定表述:絕對零度不能用有限手續達到熱力學過程：吸熱 溫度會增加，不可能 放熱 要求環境為低溫，也不可能絕熱 唯一選擇，可逆絕熱過程，因為可逆過程效率最