1、圓壓軸題八大模型題（三）瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會(huì)在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺(tái)階性地幫助考生解決問題。類型3 雙切線組合徑在直角邊直徑在直角三角形的直角邊上.RtPBC中，ABC90，RtPBC的直角邊PB上有一點(diǎn)A，以線段AB為直徑的O與斜邊相切于點(diǎn)D.圖(1)圖(2)圖(3)(6)求證:OCAD（變式）.(7)若AB2,BC,求AD、PD、PA的長.(

2、4)PD2PAPB;(5)PB8，tana，求PA和AD.(1)PB8,BC6,求O的半徑r.(2)PD4,PB8,求BC的長.(3)PD4,PA2,求O的半徑r.【分析】(1)由PC=,PODPCB得，r=3.(2)設(shè)BC=CD=x，在RtPBC中，82+x2=(4+x)2,得BC=x=6.(3)在RtPDO中，42+r2=(2+r)2,解得r=3.(4)由PDAPBD得：PD2=PAPB.(5)由PDAPBD得，PB=8,PD=4,PA=2,AB=6.設(shè)AD=x,DB=2x,在RtADB中，x2+(2x)2=62,AD=x= .(6)由DEC=ADB=90得OCAD.(7)由AB=2,則O

3、B=1,又BC=OC=,在RtOBC中，BEOC，得OE=,由中位線定理得：AD=2OE=.DB=,由PDAPBD得：,設(shè)PA=x,則PD=x,在RtPDO中，(x)2+1=(x+1)2得x=2,PA=2,PD=2.(8)由ADOC得,設(shè)AO=DO=BO=m，則PA=2m，P0=3m，PD=2m，由PDAPBD得,且AD+BD=2+2，圖(4)(8) PD:DC2:1,ADBD22,求SABC.AD=2,BD=2,則AB=2=2m,m=,PB=3,PD=2,PC=3,BC=3,SPBC=BCPB=13.5.【典例】（2018四川樂山）如圖，P是O外的一點(diǎn)，PA、PB是O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)

4、，PO交AB于點(diǎn)F，延長BO交O于點(diǎn)C，交PA的延長交于點(diǎn)Q，連結(jié)AC（1）求證：ACPO；（2）設(shè)D為PB的中點(diǎn)，QD交AB于點(diǎn)E，若O的半徑為3，CQ2，求的值圖3-1【分析】（1）由等腰三角形三線合一與直徑所對(duì)的圓周角是直角得同位角相等。（2）在RtOQA中，由勾股定理得QA4，在RtPBQ中，由勾股定理得PAPB6，因此FD3，BFAF又由中位線定理FDAP得，F(xiàn)E：EA3：4，因此設(shè)AE4t,則EF3t，BF10t，所以AE：BE2：5.（1）證明：PA、PB是O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，PAPB，且PO平分BPA，POABBC是直徑，CAB90，ACAB，ACPO；（2）解：連結(jié)O

5、A、DF，如圖， PA、PB是O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，OAQPBQ90在RtOAQ中，OAOC3，OQ5圖a由QA2OA2OQ2，得QA4在RtPBQ中，PAPB，QBOQOB8，由QB2PB2PQ2，得82PB2（PB4）2，解得PB6，PAPB6OPAB，BFAFAB又D為PB的中點(diǎn)，DFAP，DFPA3，DFEQEA， ，設(shè)AE4t，F(xiàn)E3t，則AFAEFE7t，BEBFFEAFFE7t3t10t， 【點(diǎn)撥】由切線長定理引出的雙母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角形，常涉及用到等腰“三線合一”、“射影定理”、中位線定理、勾股定理，平行線分線段成比例，切割線

6、定理等的綜合運(yùn)用。因此善于分解圖形，由線與角之間關(guān)系，構(gòu)建基本圖形模型，當(dāng)出現(xiàn)量與量之間有多重聯(lián)系的時(shí)候，常考慮設(shè)元建方程求解問題。【變式運(yùn)用】1.（2016 青海西寧）如圖，D為O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且CDA=CBD（1）求證：CD是O的切線；（2）過點(diǎn)B作O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E，BC=6，求BE的長（12分）【分析】（1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到ADO+1=90，而CDA=CBD，CBD=1，于是CDA+ADO=90；圖3-2（2）根據(jù)已知條件得到CDACBD由相似三角形的性質(zhì)得到，求得CD=4，由切線的性質(zhì)得到BE=DE，BEBC根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論

7、（1）證明：連結(jié)OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB是O的直徑，ADB=90，ADO+ODB=90，ADO+CDA=90，即CDO=90，ODCD，OD是O半徑，CD是O的切線（2）解：C=C，CDA=CBD圖bCDACBD ，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切線BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE= 2.（2018湖北武漢）如圖，PA是O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PAPB.(1) 求證：PB是O的切線.(2) 若APC3BPC，求的值.（1）證明： 分別連

8、接OP，OB.圖3-3在OAP和OBP中，OAPOBP. OAP=OBP,PA是O的切線，OBP=OAP=90，PB是O的切線.（2）連接BC，設(shè)OP交AB于點(diǎn)F，AC是O的直徑，ABC=90.PA，PB是O的切線，PO垂直平分AB，PO平分APB，圖cBCOP，OPC=PCB，APC=3BPC，OPC=CPB，PCB=CPB，BC=BP.設(shè)OF=t,則BC=PB=2t，由PBFPOB，得PB2=PFPO，即（2t）2=PF(PF+t)解得PF=t，（取正值）PFECBE，3.（2017瀘州）如圖，O與RtABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點(diǎn)C、D，與邊BC相交于點(diǎn)F，OA與CD相交于點(diǎn)E，連接FE并延長交AC邊于點(diǎn)G（1）求證：DFAO；（2）若AC6，AB10，求CG的長解：（1）證明：連接OD圖3-4AB與O相切與點(diǎn)D，又AC與O相切與點(diǎn)， ACAD，OCOD，OACD，