1、非齊次線性方程組解的結構的進一步討論 摘要：本文通過矩陣的初等變換及非齊次線性方程組的解的有關性質進一步討論了非齊次線性方程組的解的結構問題，雖然非齊次線性方程組的解向量的全體不能構成向量空間，也沒有基礎解系，但我們找到了類似齊次線性方程組的基礎解系的解向量組，這個解向量組線性無關。并且的任意一個解都可以由這個解向量組線性表示。最后，給出了非齊次線性方程組有全非零解的充要條件，并給出了相應例題。 關鍵字：非零解，基礎解系，線性無關，初等變換引言 非其次線性方程組 （）的矩陣形式為.取,得到其次線性方程組稱為非其次線性方程組的導出組。我們知道非其次線性方程組的解有以下的一些性質：（1） 若是非其

2、次線性方程組的一個解，是其導出組的一個解，則也是的一個解。證明：因為是非其次線性方程組的一個解，所以有，同理有，則由.所以是非其次線性方程組的解。（2） 若是非其次線性方程組的兩個解，則是其導出組的解證明：由,所以有,故為其導出組的解。2.定理 （非其次線性方程組解的結構定理）若是非其次線性方程組的一個解，是其導出組的通解，則是非其次線性方程組的通解。證明：由性質（1）可知加上其導出組的一個解仍是非其次線性方程組的一個解，所以只需證明，非其次線性方程組的任意一個解，一定是與其導出組某一個解的和，取由性質（2）可知，是導出組的一個解，于是得到，即非其次線性方程組的任意一個解與其導出組的某一個解的

3、和。由上面這個定理我們可以知道，一個其次線性方程組的解的全體可以用基礎解系來表示。因此，根據定理我們可以用導出組的基礎解系來表示出一般方程組的一般解，如果是方程組（）的一個特解，是其導出組的一個基礎解系，那么（）的任一個解都可以表示成：3.由上面2的證明過程，我們可以知道其次線性方程組的全部解可由基礎解系線性表示出（其基礎解系含有個解向量），即為任意實數。那么，當非其次線性方程組有解時，則至多有多少個線性無關的解向量？的全部解又如何表示？ 定理若其次線性方程組的基礎解系為，當非其次線性方程組有解時，則它至多且一定有個線性無關的解向量，的通解可以表示為為滿足關系式，的任意實數。證明：（）若是非其

4、次線性方程組的解，則為非零解向量，那么向量組，線性無關（否則可由線性表示，與是的解矛盾）。那么，易證都是的解，并且線性無關。這說明至少有個線性無關的解向量。 下面再證至多有個線性無關的解向量。反證：若有個線性無關的解向量，那么易證均為的解，并且線性無關。這樣具有線性無關的解向量矛盾，所以，至多且一定有個線性無關的解向量。（）對于的任意一個解，一定可以表示成它的一個特解與其導出組的基礎解系的線性組合，即為任意常數那么（為任意實數，且組合系數之和等于1.這說明，的任意解都可以表示成這樣的形式。另一方面，由于都是的解，對于，只要滿足仍然是的解，所以，的通解可以表示成，且為滿足關系式，的任意實數。例2

5、設是線性方程組的一個解，是它導出組的一個基礎解系，令。證明：線性方程組的任一一個解，其中。證明：由題可設方程組的任一解可以表示成（為常數）令，則（1） 引理：設為矩陣，用初等行變換，把化為階梯形矩陣，并使該梯形矩陣的每一個非零行的第一個非零元素（從左算起）為1，且該元素所在列的其他元素為零，這樣的階梯形矩陣的為的行簡化階梯形矩陣。定理：非齊次線性方程組存在全非零解的充要條件是，它的增廣矩陣的秩與系數矩陣的秩相等，且的行簡化階梯型矩陣中每個非零行的非零元素個數大于或等于2.證明：必要性 方程組有全非零解，則必須滿足方程組的條件，因而，.不妨設其秩為且的簡化階梯矩陣為： （2）且其對應的方程組為若

6、對某個 有則，這和方程組（2）有全非零全部解矛盾，故對每個（），至少存在一個（）使或，即（2）中第（）行至少有兩個非零元素。 充分性：設N是充分大的正數，令，將其帶入（2）得：（），當（），時，顯然成立；當上式右端至少存在一個非零系數，設第一個非零系數為，則因為所以，故存在充分大的正數，使（）；取，可使（） 這樣，就得到方程組的一個全非零解例1方程組 有全非零解的充要條件？解:其增廣矩陣的簡化階梯形矩陣為 故由上述定理可知，該方程組有全非零解的充要條件是為任意實數。例2已知非齊次線性方程組有三個線性五官的解，（）證明方程組系數矩陣的秩,()求的值及方程組的通解。解：（）設是非齊次線性方程組的三個線性無關的解，則是導出