1、3、用分組分解法進(jìn)行因式分解【知識精讀】分組分解法的原那么是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式。使用這種方法 的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)， 而在分組時， 必須有預(yù)見性。 能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解。 而“預(yù)見 源于細(xì)致的“觀察，分析多項式的特點，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵。應(yīng)用分組分解法因式分解， 不僅可以考察提公因式法， 公式法， 同時它在代數(shù)式的化簡， 求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用。下面我們就來學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解。【分類解析】1. 在數(shù)學(xué)計算、化簡、證明題中的應(yīng)用例 1. 把多項式 2a(a2 a 1) a4a2 1 分解因式，所得的結(jié)果為22A. (a2 a

2、1) 222B. (a2 a 1) 22 2 2 2C. (a2 a 1)2D.(a2 a 1) 2分析：先去括號，合并同類項，然后分組搭配，繼續(xù)用公式法分解徹底。解：原式 2a(a2 a 1) a4 a2 1a42a33a22a 1(a42a3a2)2(2a2 2a) 1(a2a)22(a2a) 1(a2a1)2應(yīng)選擇 Cx5 x4 x 3和 x2 x 1分例 2. 分解因式 x5 x4 x 3 x2 x 1分析：這是一個六項式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；此題也可把 x5 x4 ，x3 x2和X 1分別看作一組，此時的六項式變成

3、三項式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解法 1：原式5(x43xx )(x2x 1)3(x31)(x2 x1)(x1)(x2 x1)(x2x 1)解法 2：原式 (x4x)3(xx2)(x1)x4(x 1)2x (x1)(x1)(x1)(x42 x1)(x41)( x 42x21)2 x(x1)(x2x 1)(x2x1)2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用證明：以 a、b、c 為三邊能構(gòu)成三角形分析：構(gòu)成三角形的條件,即三邊關(guān)系定理,是“兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊證明2：ac2 b2 2ac2222ac 0acb22 a2ac2 cb 2 0,即 (a c) 2b20(ac b)(ac b) 0又ac

4、bacbacb0,acb0ab c,abc即abcab以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形例：三條線段長分別為a、b、c,且滿足a b, a2 c2 b2 2ac3. 在方程中的應(yīng)用 例：求方程 x y xy 的整數(shù)解分析： 這是一道求不定方程的整數(shù)解問題, 故可考慮借助因式分解求解解：xyxy直接求解有困難, 因等式兩邊都含有 x 與 y,xyxy0xyxy11即 x(y 1) (y 1) 1(y1)(x1)1x,y是整數(shù)x11x11或y11y11x0x2或y0y24、中考點撥例 1. 分解因式：221 m n2mn 。解： 12 m2n 2mn1(m22mn n2)1(m2n)2(1mn)(1

5、m n)說明：觀察此題是四項式，應(yīng)采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在起不能分解到底，應(yīng)把后三項結(jié)合在一起，再應(yīng)用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式：22xyxy解： x 2 y 22x y (x2y2)(xy)(xy)(xy)(x y)(xy)(xy1)說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結(jié)合，看成整體提取公因式。32例 3. 分解因式： x3 3x2 4x 12 3 2 3 2解： x 3 3x 2 4x 12 x3 4x 3x2 12 22x(x 4) 3(x 4)(x 3)(x 2)(x 2)說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。5、題型展示：分解因式：m2(n21)24

6、mn n 122 m (n1) 4mnn2122 mn2m 4mnn2122 (m n2mn 1)(m22mn n 2 )(mn 1)222 (m n)2(mn mn 1)(mnmn 1)例 1.解：說明：觀察此題， 直接分解比擬困難， 配成完全平方和平方差公式。口號，不妨先去括號， 再分組， 把 4mn 分成 2mn 和 2mn，2 2 2例 2. ： a2 b2 1， c22d2 1，且 ac bd 0 ，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab 1 cd 1ab(c2 d2)cd(a2b2) abc2 abd2 cda2 cdb2(abc2cdb2)(abd2cda2)bc(ac

7、bd) ad(bd ac)(ac bd)( bc ad)ac bd 0原式 0說明：首先要充分利用條件 a2 b2 1, c2 d2 1中的1任何數(shù)乘以 1,其值 不變，其次利用分解因式將式子變形成含有 ac+bd因式乘積的形式，由ac+bd=0可算出結(jié) 果。3例3.分解因式：x 2x 3分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項。觀察多項式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時，它的值為0,這就意味著x 1是x3 2x 3的一個因式，因此變形的目的是湊x 1這個因式。解一拆項：3 x2x 33x33 2x32x3(x(x1)( x2 x1)( x2 x1)3)2x(x21)解二添項：3 x2x 33 x2 2 xx2x

8、32 x(x 1) (x1)(x3)(x1)(x2x3)說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法，請同學(xué)們試拆一次項和常數(shù)項，看看是否可解？【實戰(zhàn)模擬】1.填空題：1分解因式：2 a3a2b2 3b2分解因式：2 x2x4xy 4y2 4y3分解因式：1mn(1mn) m3 n32.：abc0,求a3a2c abc b2c b3 的值。53. 分解因式： a a 14. ：x y z 0, A是一個關(guān)于x, y,z的一次多項式，且xy z (x y)(x z)A ,試求 A 的表達(dá)式。5.證明：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2 (a 1)2(b 1)2試題答案】1解：原式(a2

9、b2)3(ab)(ab)(ab)3(a b)(ab)(ab 3)2解：原式(x24xy4y2)2(x 2y)(x2y)22(x2y)(x2y)(x2y2)3解：原式1mn m2n2m3n3(1mn)2 mn2(1 mn)(1mn)(12 mn2)解：原式(ab)(a2abb2)c(a2 ab(a2abb2 )(a bc)a1.2.bc0b2)原式 0說明：因式分解是一種重要的恒等變形，在代數(shù)式求值中有很大作用。53. 解： a5 a 1a5 a2a2 (a3a2 (a 1 (a2 aa21) (a)(a21)(a3a12a a 1)a21)(a21)a1)解：2 x2 yz20222222yxz ， zxy333xyz(x3 y3)z z2(xy)(x2xyy2)z(x22y2)(xy)x2xyy2z(xy)(xy)x(x z)y(xz)(x2z2)(xy)(xz)(xyxz)(xy)(xz)(2xyz)A2x yz5. 證明： (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)22 2 2 2 2 2a2ab 2a ab b22 b2a 2b2ab24ab 1 2ab a 2b 2a22