1、2 1(x 1) sin -limx_-x 1 x 1,求 y；解：yxx (In x1)ax ln a。3、(Inlnx二)dx ；In x解:InIn xdx Xnln x丄dx，貝U (InlnInxx 丄)dx xlnln x c。 Inx4、f(x,y) xy (y1)2arcsin ,x，求 5 ；解:y 1fx(x, y) yx(y 1)2(1/ 1x)(1/(2 X)1,、fx(x,1)1 01y . y y5、(xDy)ex y dxdy,；其中 D(x,y)|x2 y21;解:(xD2 2 2y)ex y dxdy 0 (sincos )d 1er2dr 0。0華中師范大學

2、06年研究生入學考試數學分析試題、(30)計算題2 1 sin (x 1)sin 1、limx 1x 12、設y&求Ixsin ydy cosydx，其中 L是從點0(0,0)到點(,的正弦曲線y sin x。L解: I xsin ydy cosydxxsin ydy cos ydx xsin ydy cosydx ,L,0)的線段，由格林公式有sin y)dxdy 0 ,LL L其中L是從點0( 0, 0)到點A (xsin ydy cosydx (sin yL LDxsin ydy cos ydxo 1dxL所以I xsin ydy cosydxL(20)設f(x)在(a,)上可導，且f

3、(x)在(a,)上有界，證明:1、f(x)在(a,)上一致連續；2、f(a ) lim f (x)存在，但 lim f (x)不一定存在；x ax3、假設lim f (x)存在，且lim f (x) lim f (x)，貝U f (x)在(a,)上至少有一個零xxx a點。證明：1、設存在M 0，使得在(a,)上有f(X) M，由微分中值定理存在 I，使得對(a,)上任意兩點X ,X都有f (X ) f (X ) I f ( ) X x M x x ,所以對任意的o,取0，對(a,)上滿足X X任意兩點X ,x有Mf (x) f(x)|,因此f (x)在區間(a,)上一致連續。2、對任意的 0

4、,取o，當x,x (a,a )有f(x) f(x)，由極限M存在的柯西準那么知f(a ) lim f (x)存在；x a例：f(x) X, X (a,)，顯然 f (x)1 有界，但 lim f (x) ，不存在。X3、記 lim f (x)Xlim f (x) A，取 box amax a,0，(bo a)t bo t那么函數 g(t) f (bo a)t 在(a,bo)上滿足 lim g(x) lim g(x) A，作bo tx box ag(t),t (a,bo)A,ta, bo故有G(t)在a,bo連續，G(a) G(bo)，由羅爾定理且存在t。(a,b。)使得G (to)g (to)

5、(bo a)to (boa)bobo to(bo to)2即有f o這里(bo a)to，在(a,)內。bo to三、(20)設 f(x)在o，1上連續，f(o)=f(1),證明1 11、 證明：存在 Xo 0,2,使得 f(Xo)f (Xo 2)；n 112、 試推測I：對任意正整數n，是否存在Xo 0,，使得f(Xo) f(Xo )，nn并證明你的結論。1、證明：作g(x) f(x) f(x 1)，那么g(x)在0,-上連續，且2 21g(0) g匕)2f(0) f(-) f(-) f(1) 0,2 2又 m -g(0) g(-) M，其中M,m分別為f (x)在0,1上的最大值和最小值。

6、由介值定理有存在x00,1，使得1gS 獰(0)1f(x)f(x)22、1-)，那么 g(x)在0, nn 1g()nf(0) f(T f(-) f(2)n n作 g(x) f (x) f (x上連續，且n12g(0) g() g() lnn1、_n-g(1) g(2) Lg(n nn1m -g(0)n1)值和最小值。由介值定理有存在Xo1 1g(xc) -g(0) g() nf(X。),、1 L.n1 f(X0 ) n四、(10)設 f (x)在0,)上連續,1、求 limx 0(x)；2、證明:(x)在(0,f (口)f(1) 0， nM，其中M,m分別為f(x)在0,1上的最大0,1，使

7、得g(2) ln且 f(x)上是嚴格單調遞增。,n1、小g( ) 0nx0 記0tf(t)dt0，記(x) +0 f(t)dt解：1、lim (x) limx 0x 0xxxf ( x ) f (t) dt f ( x) tf (t )dt00x(f (t ) dt ) 20xf (x) (x t) f (t)dt0x(f (t)dt)20x2f (x) (x t) f(t)dt0x(f (t)dt)20所以(X)在(0,)上是嚴格單調遞增。五、(10)證明：假設 an絕對收斂，那么 &(a a3n 1n 1a出)也絕對收斂證明：an絕對收斂，那么ann 1n 1M，所以a2n 1 M，故n

8、14佝 a3 +a2n1)n 1Man，n 1由比擬判別法知an(a1 a3+春)也絕對收斂。n 1六、(15)設f (x)在0,上連續，證明21、sin n x在0, 上不一致收斂;2、(sinnx) f(x)在0,上一致收斂的充要條件是f()o2 20,x證明：1、記fn(x) Sinnx,極限函數為f(x)2 ,不連續，故fn(x) Sin“X，在1,x -20, x20,亍上不一致收斂;2、假設 gn(x) (sinn x) f (x),那么 g(x)f(?x先證必要性：gn(x) (si nnx) f (x)在0, ?上一致收斂，那么g(x)在0,三上連續， 故f() 0 ;2下證充

9、分性：假設f()0，由f(x)在x 上連續，那么對任意的0,取0，2 2當 x 牙，才時，f(x)，那么有 gn(x) g(x) (sinnx) f(x) f(x)，即 gn(x) (sinn x) f (x),在,上一致收斂,2 2又 x 0,2時，gn(x) g(x) M sinn(2)所以當 n 時，gn(x) g(x) M si nnq)0 ,所以 gn(x) (si nnx) f(x),在忤 上一致收斂，因此有(sinnx) f (x)在0,才上一致收斂。七、(10 )設f (x, y, z)為R3上的n次齊次函數(即對任意t0, f (tx,ty,tz) tn f (x,y,z)且

10、具有一階連續的偏導數，fz(x, y,z) 0。假設方程f (x, y, z) 0確定了可微的隱函數z g(x, y)，證明：z g(x, y)必為一次齊次函數。證明：由 f (x, y, g(x, y) 0，得 gx(x, y)f1,gy(x, y)上，且f3f3f (tx,ty,tg(x, y) tn f (x, y, g(x, y)0，所以對 t 求導得xf!(tx,ty,tg(x,y) yf2(tx,ty,tg(x, y) g(x, y) f3(tx,ty,tg(x, y)0，所以有 xf1 yf2 g(x, y) f3 0，故有xgx(x,y) ygy(x,y) g(x, y)，令

11、h(t) g(tx,ty) tg(x, y),有1h (t) xgx(tx,ty) ygy(tx,ty) g (x, y)(txgx(tx,ty) tygy(tx,ty) tg(x,y)1 1Jg(tx,ty) tg(x, y) J(t)，解得 h(t) kt，又 h(1) 0，故 k 0，即 h(t) 0，因此 g(tx,ty) tg(x,y)，即 z g(x, y)必為一次齊次函數。八、(20)設f(x, y)在R2上具有二階連續的偏導數，證明：2#2 #2 #r1、 對R內任意光滑簡單閉曲線L,總有4ds( 22)dxdy，其中n為L的Ln d x y外法方向，4是f(xj)沿n的方向導

12、數，D是L圍成的有界閉區域；n2 r2 rc2、 f(x,y)為r2是的調和函數(即 L L 0 )的充要條件是對R2內的任意光x y滑簡單閉曲線L，總有一ds0。l n證明：n (cos ,cos ), 4 fcos 丄 cos ，而 cos ds dy,cos ds dx，所以由 n xy格林公式有-rdsdy f dxL n L x x2)dxdy。 y2、由第一局部證明知必要性顯然,下證充分性，-Tds 0，對(xo,yo) r2，l n2f 2閉曲線L(x汀(y yj2 r2所圍的區域為D，那么有 丄2)dxdy 0，由積分中值定 d x y2 r2 r理存在(xr, yr) D，使得詔f(齊,y)o。令rx y2 r2 r由(Xo,y) R2的任意性有 27 0。x yo，有：x2(x),yo) o，再y九、(15)設n是正整數，給定方程xn x 1，證明1、此方程僅有惟一的正根xn；2、lim xn1。