1、 差分方程模型的理論和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離散變量，根據實際背景的規律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。 2、應用：差分方程模型有著廣泛的應用。實際上，連續變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某

2、個差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經濟金融保險領域、生物種群的數量結構規律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關于變量的規律、性質，就可以適當地用差分方程模型來表現與分析求解。 3、差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據要解決問題的目標，對每個時段引入相應的變量或向量，然后通過適當假設，根據事物系統的實際變化規律和數量相互關系，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規律和運算關系（即用相應設定的變量進行四則運算或基本初等函數運算或

3、取最運算等）等式（可以多個并且應當充分全面反映所有可能的關系），從而 建立起差分方程。或者對事物系統進行劃分，劃分成若干子系統，在每個子系統中引入恰當的變量或向量，然后分析建立起子過程間的這種量的關系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時段或子系統的劃分方式是非常非常重要的，應當結合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關重要的，要仔細分析、選擇，盡量擴大對過程或系統的數量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進行結合運算、取最運算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實際

4、例子中，這方面的內容應當重點體會。 差分方程模型作為一種重要的數學模型，對它的應用也應當遵從一般的數學建模的理論與方法原則。同時注意與其它數學模型方法結合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所用的數量、等式關系的建立都需要其他的數學分析方式來進行；另一方面，由差分方程獲得的結果有可以進一步進行優化分析、滿意度分析、分類分析、相關分析等等。第一節 差分方程的基本知識一、 基本概念1、 差分算子 設數列，定義差分算子為在處的向前差分。 而為在處的向后差分。 以后我們都是指向前差分。 可見是的函數。從而可以進一步定義的差分： 稱之為在處的二階差分，它反映的是的增量的增量。 類似可定義在處的階差分為：

5、 2、 差分算子 、不變算子、平移算子記，稱為平移算子，為不變算子 。 則有： 由上述關系可得： （1） 這表明在處的階差分由在，處的取值所線性決定。 反之， 由 得 ： ，得：, 這個關系表明：第n+2項可以用前兩項以及相鄰三項增量的增量來表現和計算。即一個數列的任意一項都可以用其前面的k 項和包括這項在內的k+1 項增量的增量的增量.第k 層增量所構成。 . 得： （2） 可以看出： 可以由的線性組合表示出來3、 差分方程 由以及它的差分所構成的方程 （3）稱之為k階差分方程。由（1）式可知（3）式可化為 （4） 故（4）也稱為k階差分方程（反映的是未知數列任意一項與其前，前面k項之間的關

6、系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等價的。 我們經常用的差分方程的形式是（4）式。4、 差分方程的解與有關概念（1） 如果使階差分方程（4）對所有的成立，則稱 為方程（4）的解。（2） 如果（為常數）是（4）的解，即 則稱為（4）的平衡解或叫平衡點。平衡解可能 不只一個。平衡解的基本意義是：設是（4）的解，考慮的變化性態，其中之一是極限狀況，如果，則方程（4）兩邊取極限（就存在在這里面），應當有 （3） 如果（4）的解使得既不是最終正的，也不是最終負的，則稱為關于平衡點是振動解。（4） 如果令：，則方程（4）會變成 （5）則 成為（5）的平衡點。（5） 如果（5）的所有解是關于振動的

7、，則稱階差分方程 （5）是振動方程。如果（5）的所有解是關于非振動的，則稱階差分方程（5）是非振動方程。（6） 如果（5）有解，使得對任意大的有 則稱為正則解。（即不會從某項后全為零）（7） 如果方程（4）的解使得，則稱為穩定解。5、 差分算子的若干性質（1） （2） （3） （4） （5）6、 Z變換定義：對于數列，定義復數級數 （6） 這是關于洛朗級數。它的收斂域是：，其中可以為，可以為0。 稱為的-變換。 由復變函數展開成洛朗級數的唯一性可知：變換是一一對應的，從而有逆變換，記為： （7） 變換是研究數列的有效工具 。變換的若干重要性質：（1）線性性 （2）平移性質 變換舉例： （1）,

8、 則 （2），則 （3）設則 （4）設則 第二節 差分方程常用解法與性質分析1、 常系數線性差分方程的解 方程 （ 8） 其中為常數，稱方程（8）為常系數線性方程。 又稱方程 （9） 為方程（8）對應的齊次方程。 如果（9）有形如的解，帶入方程中可得： （10） 稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。 顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。 基本結果如下：（1） 若（10）有k個不同的實根，則（9）有通解： ，（2） 若（10）有m重根，則通解中有構成項： （3）若（10）有一對單復根 ，令：，則（9）的通解中有構成項： （4） 若有m 重復根：，則（9）的通項中有構成項

9、： 綜上所述，由于方程（10）恰有k 個根，從而構成方程 （9）的通解中必有k個獨立的任意常數。通解可記為： 如果能得到方程（8）的一個特解：，則（8）必有通解： + （11）（8） 的特解可通過待定系數法來確定。 例如：如果為n 的多項式，則當b不是特征根時，可設成形如形式的特解，其中為m次多項式；如果b是r重根時，可設特解：，將其代入（8）中確定出系數即可。2、 差分方程的z變換解法 對差分方程兩邊關于取Z變換，利用的Z 變換F（z）來表示出的Z變換，然后通過解代數方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圓環域中展開成洛朗級數，其系數就是所要求的例1 設差分方程，求 解：解法1：特征方

10、程為，有根： 故：為方程的解。 由條件得：解法2：設F（z）=Z(),方程兩邊取變換可得： 由條件得 由F（z） 在中解析，有 所以，3、 二階線性差分方程組設，形成向量方程組 （12）則 （13） （13）即為（12）的解。 為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數的方法計算。常用的方法有： （1）如果A為正規矩陣，則A必可相似于對角矩陣，對角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構成：。 （2）將A 分解成為列向量，則有 從而，（3） 或者將A相似于約旦標準形的形式，通過討論A的特征值的性態，找出的內在構造規律，進而分析解 的變化規律，獲得它的基本性質。4、 關于差

11、分方程穩定性的幾個結果（1）k 階常系數線性差分方程（8）的解穩定的充分必要條件是它對應的特征方程（10）所有的 特征根滿足 （2）一階非線性差分方程 （14） （14）的平衡點由方程決定， 將在點處展開為泰勒形式： （15） 故有：時，（14）的解是穩定的， 時，方程（14）的平衡點是不穩定的。 第三節 差分方程建模舉例 差分方程建模方法的思想與與一般數學建模的思想是一致的，也需要經歷 背景分析、確定目標、預想結果、引入必要的數值表示（變量、常量、函數、積分、導數、差分、取最等）概念和記號、幾何形式（事物形狀、過程軌跡、坐標系統等），也就是說要把事物的性態、結構、過程、成分等用數學概念、原理

12、、方法來表現、分析、求解。當然，由于差分方程的特殊性，首先應當把系統或過程進行特別分解，形成表現整個系統的各個部分的離散取值形式，或形成變化運動過程的時間或距離的分化而得到離散變量。然后通過內在的機理分析，找出變量所能滿足的平衡關系、增量或減量關系及規律，從而得到差分方程。另外，有時有可能 通過多個離散變量的關系得到我們關心的變量的關系，這實際上建立的是離散向量方程，它有著非常重要的意義。有時還需要找出決定變量的初始條件。有時還需要將問題適當分成幾個子部分，分別求解。模型1 種群生態學中的蟲口模型： 在種群生態學中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數目的變化 ，他的變化規律是：每年夏季這種昆蟲成蟲產

13、卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成一個蟲子。建立數學模型來表現蟲子數目的變化規律。 模型假設與模型建立：假設第n年的蟲口數目為，每年一個成蟲平均產卵c個（這個假設有點粗糙，應當考慮更具體的產卵分布狀況），則有：，這是一種簡單模型； 如果進一步分析，由于成蟲之間會有爭斗以及傳染病、天敵等的威脅，第n+1年的成蟲數會減少，如果考慮減少的主要原因是蟲子之間的兩兩爭斗，由于蟲子配對數為，故減少數應當與它成正比，從而有： 這個模型可化成：，這是一階非線性差分方程。這個模型的解的穩定性可以用相應一階差分方程的判斷方法，即（14）式來獲得。 如果還考慮其它的影響成蟲孵卵及成活的因素的定量關系，這個模型在

14、此基礎上仍可進一步改進，更加符合實際情形。這種關系一方面可以通過機理分析，確定減少量與影響因素的定量關系，另一方面也可以用統計的方法來線性估計影響程度。或者還可以用影響曲線的方法來直觀表現影響的比例關系、周期關系、增量關系等等。 模型2 具周期性的運動過程的差分方程模型 建立差分方程描述振動臺上的乒乓球垂直運動的方程，即把運動過程中的某些離散變化取值的變量的變化規律表現出來。 假設：乒乓球與振動臺之間的振動恢復系數為振動臺臺面的上下位移是，乒乓球初始時刻在離臺面垂直距離為H處為自由落體運動。 又假設為第j 次碰撞時刻，第 j次碰撞前的速度為，碰撞后的速度為。假設。振動臺臺面的運動速度為；又記，

15、則有：， （3.1）另外，由碰撞規律分析可知： 該式經簡化處理后可得： （3.2）由（1）和（2）式聯立可得二階差分非線性方程組 模型3 蛛網模型（1） 經濟背景與問題：在自 由市場經濟中，有些商品的生產、銷售呈現明顯的周期性。農業產品往往如此，在工業生產中，許多商品的生產銷售是有周期性的，表現在：商品的投資、銷售價格、產量、銷售量在一定時期內是穩定的，因而整個某個較長的時期內這些經濟數據表現為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關心的是商品的銷售價格與生產產量這兩個指標，它們是整個經營過程中的核心因素，要想搞好經營，取得良好的經濟效益，就必須把握好這兩個因素的規律，作好計劃。試分析市場經濟中

16、經營者根據市場經濟的規律，如何建立數學模型來表現和分析市場趨勢的。（2） 模型假設與模型建立 將市場演變模式劃分為若干段，用自然數n來表示；設第n個時段商品的數量為，價格為，n=1,2.;由于價格與產量緊密相關，因此可以用一個確定的關系來表現：即設有 （3. 3）這就是需求函數，f 是單調減少的對應關系; 又假設下一期的產量是決策者根據這期的價格決定的，即：設，h是單調增加的對應關系， 從而，有關系： （3.4）g 也是單調增加的對應關系. 因此可以建立差分方程： （3.5） （3.6） 這就是兩個差分方程。屬一階非線性差分方程。（3） 模型的幾何表現與分析。 為了表現出兩個變量和的變化過程，

17、我們可以借助已有的函數f和g ,通過對應關系的幾何表現把點列，和在坐標系中描繪出來，進而分析它們的變化規律、趨勢、找穩定點等等。其中 將點列連接起來，就會形成象蛛網一樣的折線，這個圖形被稱作為蛛網模型。可以設想，這種形式可作為差分方程分析與求解的重要手段，它的主要數學技術是：圖形的描繪，曲線上點列的描繪（設法由前一個點的一個坐標分量來算出下一個點的一個坐標分量，并確認它在哪條曲線上，就可以畫出這個點；有時或者可由前兩個點決定下一個點的一個坐標分量），也就是通過直觀、幾何形式，把我們關心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因為在曲線上如果知道了一個分量，就可以作出另一個

18、分量。可見幾何形式表示有關系的變量是既方便又有意義的。ypgPOfx 易見：如果點列最后收斂于點，則，并且就是兩條曲線的交點，從而穩定的。這也表明，市場在長期運行之后會保持一種穩定的狀態，說明市場處于飽和狀態。要想進一步發展就必須打破這種平衡，在決策機制和方法上有所改進。 幾何上的進一步分析表明，如果曲線和在交點處切線的斜率的絕對值記為：，則 當時，是穩定的； 當 時，是不穩定的。(4) 模型的差分方程分析設點滿足：，在點附近取函數的一階近似： 合并兩式可得： 這是關于 的一階線性差分方程。當然它是原來方程的近似模型。作為數學模型，本來就是客觀實際問題的近似模擬，現在為了處理方便，適當取用其近

19、似形式是合理的。 其中，為f 在點處的切線斜率；為g(x)在點處切線的斜率。 方程（3.9）遞推可得： 所以，點穩定的充要條件是：即： 這個結論與蛛網模型的分析結果是一致的。（4） 模型推廣 如果決策時考慮到與都有關系，則可假設 這時數學模型為： 對此模型仍用線性近似關系可得：首先求出平衡點，即解方程 則有： 再結合（3.7）可得： 即： 特征方程為： 特征根為： 所以：時，此時解不穩定。 時，則時， 從而解是穩定的。 這個條件比原來的模型解的穩定性條件放寬了。說明決策水 平提高了。 進一步來看，對這個模型還可以進行進一步的分析：考慮下一年的產量時，還可以近三年的價格來決定，例如：設，；另外還

20、可以考慮引入投資額，并建立有關的離散方程關系。模型4 人口的控制與預測模型 背景分析：人口數量的發展變化規律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現和模擬。但在實際應用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應用。人口數量的變化取決于諸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性別比、人口基數等。試建立離散數學模型來表現人口數量的變化規律。 模型假設：以年為時間單位記錄人口數量，年齡取周歲。（1） 設這個地區最大年齡為m歲（2） 第t年為i歲的人數為， 這個數量指標是整個問題分析、表現的目標和載體，我們的目的就是找出這些變量的變化規律、內在的普遍聯系。（3） 設第t年為i歲的人口平均死亡率為，即

21、這一年中i歲人口中死亡數與基數之比： 即： （4） 設第t 年i歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒 數為 ，為生育區間。 為第t年i歲人口的女性比（占全部i歲人口數） 由此可知：第t 年出生的人數為： （5） 記第t 年嬰兒的死亡率為，則（6） 設，它表示i歲女性總生育率，則，如果假設年后女性出生率保持不變，則 可見，表示每位婦女一生中平均生育的嬰兒數，稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。 模型建立：根據上面的假設 . 為了全面系統地反映一個時期內人口數量的狀況， 令 則此向量滿足方程： 即：這是一階差分方程 其中是可控變量，是狀態變量，并且關于和都是線性的，故稱其為雙線性方程。

22、 模型分析： 在穩定的社會環境下，死亡率 、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設為不變的，故為常數矩陣。從而， 只要總生育率確定下來，則人口的變化規律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關信息，下面再引入一些重要的指標：（1） 人口總數：（2） 人口平均年齡：（3） 平均壽命：，這里假定從第t年分析，如果以后每年的死亡率是不變的，即：則表示 t 年出生的人活到第j+1年期間的死亡率，這也表明其壽命為j歲，j=1,2m.而表示壽命。 通過求出的變化規律，就可以對上面引入的3個指標進行更具體的分析，從而對人口的分布狀況、變化趨勢、總體特征等有科學的認識和把握。具體求解分析這里不再進行。 模

23、型5 線性時間離散彌漫網絡模型 引言：一個國家在一定時間段內的財富依賴于許多因素，不同國家的相互交流是重要的方面。建立數學模型，表現國家財富的變化與國家間財富的流動之間的關系。 模型假設：設有n個國家，用表示在時期的財富。假設只考慮這些國家之間僅僅兩兩國家之間有交流關系。并且假設財富流動的系數是。 模型的建立：國家間的財富關系應當滿足 . 用矩陣形式表示： 令表示時期t 各個國家的財富狀態； 令則有： 記 ，則 模型計算與分析： 計算可知 的特征值為； 的特征值為 對應的特征向量為 其中 為討論方便起見，引入如下記號： 則有：n 為偶數時： n 為奇數時： 記：為由張成的子空間， 則： 由此式

24、進一步分析可以獲得：當時，的漸進變化狀態規律(略)。 模型 6 金融問題的差分方程模型1、 設現有一筆p萬元的商業貸款，如果貸款期是n年，年利率是 ，今采用月還款的方式逐月償還，建立數學模型計算每月的還款數是多少？模型分析：在整個還款過程中，每月還款數是固定的，而待還款數是變化的，找出這個變量的變化規律是解決問題的關鍵。 模型假設：設貸款后第 k個月后的欠款數是元，月還款為元，月貸款利息為。模型建立：關于離散變量，考慮差分關系有： ， 即： （3.15） 這里已知有： 模型求解：令，則 這就是差分方程（3.15）的解。把已知數據代入中，可以求出月還款額。例如： 時，可以求出：元。模型的進一步拓

25、廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標的改變、某些特殊結果等。如果令，則，并且 當時，總有，即表明：每月只還上了利息。只有當時，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。2、 養老保險模型 問題：養老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，分析如果已知所交保費和保險收入，按年或按月計算實際的利率是多少？也就是說，保險公司需要用你的保費實際獲得至少多少利潤才能保證兌現你的保險收益？ 模型舉例分析：假設每月交費200元至60歲開始領取養老金，男子若25歲起投保，屆時養老金每月2282元；如35歲起保，屆時月養老金1056元；試求出保險公司為了兌

26、現保險責任，每月至少應有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。 模型假設：這應當是一個過程分析模型問題。過程的結果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設投保人到第月止所交保費及收益的累計總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費數和領取數，N表示停交保險費的月份，M表示停領養老金的月份。 模型建立：在整個過程中，離散變量的變化規律滿足：， 在這里實際上表示從保險人開始交納保險費以后，保險人帳戶上的資金數值，我們關心的是，在第M個月時， 能否為非負數？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負數，則表明保險公司出現虧損。當為零時，表明保險公司

27、最后一無所有，表明所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。從這個分析來看，引入變量，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關系，特別是引入收益率 ，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但是從問題系統環境中來看，必然要考慮引入另一對象：保險公司的經營效益，以此作為整個過程中各種量變化的表現基礎。 模型計算：以25歲起保為例。假設男性平均壽命為75歲，則有 ，初始值為，我們可以得到：在上面兩式中，分別取和并利用可以求出： 利用數學軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為： 同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為 練習題： 1、金融公司支付基金的流動模型：某金融機構設立一筆總額為5

28、40 萬的基金，分開放置位于A城和B城的兩個公司，基金在平時可以使用，但每周末結算時必須確保總額仍為540 萬。經過一段時間運行，每過一周，A城公司有10%的基金流動到B城公司，而B城公司則有12%的基金流動到A城公司。開始時，A城公司基金額為260萬，B城公司為280萬。試建立差分方程模型分析：兩公司的基金數額變化趨勢如何？進一步要求，如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少于220萬，那么是否需要在什么時間將基金做專門調動來避免這種情況？ 2、某保險公司推出與養老結合的人壽保險計劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險費1540元，交費期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時（投保滿5年）可獲返還補貼4000元，50歲時（投保滿10年）可獲返還補貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補貼。另外，在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元 。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？而壽命若為74歲時，實際年利率又是多少？3、Leslie種群年齡結構的差分方程模型 已知一種昆蟲每兩周產卵一次，六周以后死亡（給除了變化過程的基本規律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產卵100個，四周齡的成