1、數學競賽輔導資料利用數形結合法巧妙解題對于有些代數題采用常規方法處理往往頗費周折,而利用“圖形”則會取得事半功倍的效果。請看:例1. 已知a ,b ,c ,d 都是正數,并且ac bd a b c d -=+=+=0112222,。 求證:a d b c =,證明:作Rt ABC 和R t A B C ''',使斜邊AB A B AC a BC b =''1,A C d ''=,B C c ''=(如圖1。 圖1由ac bd -=0得:ad bc =又C C ='90所以Rt ABC Rt A B C '&

2、#39;'又AB A B =''1所以Rt ABC Rt A B C '''即a d b c =,例2. A 、B 兩地相距64千米,甲騎車比乙騎車每小時少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A 、B 兩地相向而行,甲比乙先行40分鐘,兩人相遇時所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少?解:如圖2所示,AB 表示A 、B 兩地相距64千米,AC AB 圖2設AC =x ,表示甲的行駛速度,作BD AB設BD =x +4,表示乙的行駛速度,在AB 上,取A A x '=23,表示甲在40分鐘所行的路程,A C ''AB

3、,且A C ''=x ,連結C D '與AB 交于E ,表示甲、乙各在A 、B 處同時相向而行并相遇于E 點,于是A E x BE '=-=322332,由Rt A C E Rt D BE '',得xx x 3223432-=+解得:x x 121216=-,(舍去于是x x =+=12416,即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時和16千米/小時。例3. 甲對乙說:“當我的歲數是你現在的歲數時,你才4歲。”乙對甲說:“當我的歲數是你現在的歲數時,你將61歲。”請你算一算甲、乙現在的各自歲數。 圖3解:如圖3,畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡,

4、設乙現在的年齡為x 歲,從圖形中可以很直觀地看到。當甲為x 歲時,乙為4歲;當乙為x 歲時,甲為(x x +-=4 (24x -歲;當乙為(24x -歲時,甲為61歲。根據甲、乙的年齡差不變,可得(612424-=-x x x解得:x =23所以24232442x -=-=答:甲現在42歲,乙現在23歲。例4. 設a ,b ,c 都是正實數,求證:a c b c a b 2222+-+-證明:a b =時,顯然成立。由于a ,b 的地位相同,不妨假設a b >,這時要證的不等式轉化為a c b c a b 2222+-+-。 圖4作ABC (如圖4,CA =CB ,CD 為底邊AB 上的

5、高,E 為CD 上的一點,使得CD a ED b AD DB c =,由勾股定理得:CA CB a c EB b c =+=+2222, 又C E C D ED a b =-=-在CBE 中,CB EB CE -< 即a c b c a b 2222+-+<-綜上,命題得證。例5. 設a ,b ,c ,d 均為正數,滿足ab cd =,且a 為最大。求證:a d b c +>+。證明:不妨取線段AC a =,在AC 上取一點B ,使AB d =,則BC a d =-,以BC 為直徑作O ,如圖5。 圖5設b c ,作割線(或切線AD b =交O 于E ,作OF AD ,F 為垂足。 因為AB AC AE AD ··= 即ad b AE =·因為ad bc =,所以AE c = 又(A O A B B C d a d a d =+=+-