1、3.4生活中的優化問題舉例溫故知新1. 在區間上的最大值是（ ）A. -2 B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】，令可得0或2（2舍去），當10，當01時，0，所以當0時，（）取得最大值為2.2.設M，m分別是函數在上的最大值和最小值，若，則A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不確定【答案】A【解析】因為，所以為常數函數，故.互動課堂知 識 構 建知識點一 利用導數解決生活中的實際問題1.在生產實踐及科學實驗中，常遇到質量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利潤最大、投入最小等問題，這些問題通常稱為優化問題.2. 利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟：（1）分析實際問題中各量之

2、間的關系，列出實際問題的數學模型，寫出實際問題中變量之間的函數關系；（2）求函數的導數，解方程；（3）比較函數在區間端點和使的點的函數值的大小，最大（小）者為最大（小）值.【疑難點撥】1.在求實際問題的最大值、最小值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應舍去，在寫函數的解析式時要注明函數的定義域；2.在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使的情形，如果函數在這點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大（小）值； 3.利用導數解決優化問題的基本思路：建立數學模型解決數學模型作答用函數表示的數學問題優化問題用導數解決數學問題優化問題的答案要 點 探 究類型一 關

3、于面積、體積的最值問題例1如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值【思路】根據題意建立坐標系，確定梯形的高，得到面積表達式，然后再借助于導數求其最值.【解析】（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為【點評】在求有關面積、體積最大值問題時，應先從文字信息中找出相關量

4、（如邊長、半徑等），列出表達式，進而利用導數求解. 類型二 用料最省問題例2（2009湖南卷）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元. （）試寫出關于的函數關系式； （）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？【思路】 弄懂題中所涉及問題中的余下工程費用的組成由橋墩和橋面組成，將橋墩與橋面的費用分別表示出即可.【解析】 （）設需要新建個橋墩，,所以 =. （） 由（）知， 令，得，

5、所以=64, 當064時0. 在區間（64，640）內為增函數，所以在=64處取得最小值，此時，故需新建9個橋墩才能使最小.【點評】解決實際優化問題時，要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系表示的同時，還要確定關系式中自變量的定義區間.類型三 利潤最大問題例3（2009漢沽一中月考文）某市旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是元，銷售價是元，月平均銷售件.通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是（元）.()寫出與的函數關系式；()改進工藝后，確定

6、該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.【思路】收入減去成本可得出利潤函數，再用導數求最大利潤【解析】 ()改進工藝后，每件產品的銷售價為，月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），與的函數關系式為 . ()由得，（舍）, 當時；時， 函數 在取得最大值.故改進工藝后，產品的銷售價為元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.【點評】在實際問題中，遇到函數在區間內只有一個點使的情形，如果函數在這點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大（小）值.當堂體驗1.要做一個圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大,則高為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】

7、設高hcm,底半徑為rcm,+=400.又體積V=h， 則V=（400-）h，令=0，得唯一極值點h=.2.進貨原價為80元的商品400個，按90元一個售出時，可全部賣出。已知這種商品每個漲價一元，其銷售數就減少20個，所獲得利潤最大時售價應為 （ ）90 95 100 105 【答案】A【解析】 設售價為元時利潤為，此時售量為當時，（元）。即售價為95元時獲利最大，其最大值為4500元.3. 若函數的圖象的頂點在第四象限，則函數的圖象是（ ）【答案】A【解析】對稱軸，直線過第一、三、四象限.4.用以長為16m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則矩形場地面積最大值為 .【答案】16 【解析】設矩形長

8、為xm,則寬為（8-x）m, 矩形面積s=x(8-x) (0x8)， 令=8-2x=0,得x=4，所以=16（）.課時作業一、選擇題1內接于半徑為R的圓的矩形，周長最大值為（ ）A. 2R B. 3R C. 4R D. 4R【答案】D A【解析】設矩形邊長為a,b.ABC=,則 周長L=4R(sin+cos) (00),為使利潤最大，應生產（ ） A9千臺 B8千臺 C6千臺 D.3千臺【答案】C【解析】.3.欲制作一個容積為立方米的圓柱形儲油罐（有蓋），為能使所用的材料最省, 它的底面半徑與高分別為 ( )底面半徑為0.5米，高為1米 底面半徑為1米，高為1米 底面半徑為1米，高為2米 底面

9、半徑為2米，高為2米【答案】C【解析】設圓柱的底面半徑為，高為，表面積為，則由題意有：， 且，則，令，得.當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增， 所以，當時，函數有極小值也是最小值（平方米），所以當底面半徑為1米，高為2米時，所用材料最省. 4.某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到100人的團體，每人收費1000元。如果團體的人數超過100人，那么每超過1人，每人平均收費降低5元，但團體人數不能超過180人(不到100人不組團),要使旅行社的收費最多?, 旅游團組團人數為 ( ) 130； 140； 150； 160【答案】C【解析】設參加旅游的人數為x，旅游團收費為y 則依題意有

10、=1000x-5（x-100）x （100x180） 令得x=150又， ，所以當參加人數為150人時，旅游團的收費最高，可達112500元.由于參加旅游的人數x為整數，即函數不連續，不適合采用求導數的方法解決本題.二、填空題5.要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3m，長和寬的和為20m，則倉庫容積的最大值為 .【答案】1800m3【解析】設長為，則寬為，倉庫的容積為V則，令得，當時，；當時，時，.6. 要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使體積為最大，則其高應為_.【答案】【解析】 kh20設圓錐底面半徑為r，高為，則，圓錐體積一天，令得，當時，；時，時，V最大，當應填.三、解答

11、題7.已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為求產量q為何值時，利潤L最大？【解析】收入，利潤，令，即，求得唯一的極值點答：產量為84時，利潤L最大8.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最小？【解析】設船速度為時，燃料費用為元，則，由可得，總費用，令得，當時，此時函數單調遞減，當時，此時函數單調遞增，當時，取得最小值，此輪船以20公里/小時的速度使行駛每公里的費用總和最小 選做題9.設某物體一天中的溫度T是時間t的函數，已知，其中溫度的單位是，時間的單位是小時中午12:00相應的t=0，中午12:00以后相應的t取正數，中午12:00以前相應的t取負數（如早上8：00相應的t=-4，下午16：00相應的t=4）若測得該物體在早上8:00的溫度為8，中午12:00的溫度為60，下午13:00的溫度為58，且已知該物體的溫度早上8:00與下午16:00有相同的變化率.（1）求該物體的溫度T關于時間t的函數關系式；（2）該物體在上午10:00到下午14:00這段時