1、實用文檔課程名稱：高等數學試卷類別：A卷 考試形式：閉卷 考試時間：120 分鐘閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書寫，小題得分寫在每小題題號前，用正分表示，不得分則 在小題大題得分登錄在對應的分數框內；考試課程應集體閱卷，流水作業。課程名稱：高等數學A （考試性質：期末統考（A卷）、單選題（共15分，每小題3分）fy（Xo,yo）都存在，則1 .設函數f ( x, y)在P(xo, yo)的兩個偏導fx(xo, yo),()B. f (x, y)在P可微A. f (x, y)在P連續C. lim f(x, y0)及 lim f(x0,y)都存在 D. lim f(x,y)存在 xxoy >y0

2、(x,y) j(xo,yo)2.若 z = y1nx ,則 dz等于().1nx1n xlnx .A y ln y +y 1n yB y 1n yxy. x文案大全4.1n x .lnxy In y .C. y In ydx dyx1n x .y ln ydx1n x .y In xydy3.設建是圓柱面x2 +y2 =2x及平面z = 0,z = 1所圍成的區域，則0 f(x, y,z)dxdydz=().Q二22cos11A. o d? dr ° f(r cos,rsin1,z)dzB.022cosid1rdr 0 f (r cossin,z)dz2 cosrC.22d -2co

3、sxD.30011rdr ° f(rcos,rsin1,z)dz1rdr f (r cos-, r sin, z) dz0oO4.若工an（x -1）n在x = 1處收斂，則此級數在乂 = 2處（）.n 1A.條件收斂 B.絕對收斂 C.發散 D.斂散性不能確定x - y z =2 ,5.曲線422在點(1,1,2)處的一個切線萬向向量為().z = x yA. (-1, 3, 4) B. (3, -1, 4) C. (-1, 0, 3)D. (3,0,-1)二、填空題(共15分，每小題3分)1 .設x+2y-,x =貝UyZx(=1,1).e In x2 .交換I = dx I f

4、 (x, y)dy的積分次序后，I =.3 .設u = 2xy z5.函數z =x3 +y3 -3x2 3y2的極小值點是 三、解答題（共54分，每小題6-7分）y, ：:z ;z1.（本小題滿分 6分）設 z = y arctan ,求 一,一.x fx ；:y .222.（本小題滿分 6分）求橢球面2x+3y+z =9的平行于平面2x 3y + 2z+1 = 0的切,則u在點M (2,1,1)處的梯度為 .nx一，4 .已知e =Z，則nz0 n!xe八八一m221*.3 .、3 .（本小題滿分7分）求函數z=x2 + y2在點（1,2）處沿向量l = i+?j方向的方向導22數。、八.1

5、 -,4 .（本小題滿分7分）將f（x）= 展開成X-3的哥級數，并求收斂域。X5 .（本小題滿分7分）求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8= 0所確定的隱函數z = z（x, y）的極值。6 .（本小題滿分7分）計算二重積分 口（x2+y2）dD,D由曲線x =1 y2,y = 1,y = 1D及x = -2圍成.7 .（本小題滿分7分）利用格林公式計算qLxy2dy-x2ydx,其中L是圓周x2 + y2=a2逆時針方向）8 .(本小題滿分7分)計算jjjxydxdydz ,其中C 是由柱面x2+y2=1及平面z=1,x=0,y =0所圍成且在第一卦限內的區域.四、綜合題(共16分

6、，每小題8分)oO QOQ01 .(本小題滿分8分)設級數Un un,£ vn都收斂，證明級數(u (unrn)2收斂。n 3 n Wn 12 2.(本小題滿分8分)設函數f(x,y)在R內具有一階連續偏導數，且一 = 2x,二 x證明曲線積分fL 2xydx+ f (x, y)dy與路徑無關.若對任意的 t恒有(t,1)(1,t)(00)2xydx + f (x, y)dy = f(oo)2xydx+ f (x, y)dy，求 f (x, y)的表達式.參考答案及評分標準一、單選題二、填空題（共（共15分,每小題15分,每小題3 分)：1.C2 D 3 C3分)4B 5 A1.-1

7、 2. I=0dy8 f(x,y)dx 3. -2i 4 j-2k 4oO z n 0n n 1(-1) xn!5. (2,2)三、解答題（共 54分，每小題6-7分）z1.解：一；x2心; (3分):z _y=arctan +2xy 2( 6 分).x y-32切點為:(1,一1,2)或(_1,1,一2) (3 分)，切平面：2x3y+2z=9or9 ( 4分），法線方程分別為:x 1 y -1-3z - 2 T次或者2x -1y 1 z -2 ”=(6-323.解:”(1,2)= (2,4)(3 分),(7分)4.解:f(x)=3 (x-3)(2分)2.解：記切點（Xo,yo,Zo）則切平

8、面的法向量為 n =2（2xo,3yo, zo）滿足:1xW(1,1)，所以-3oO因為 (-1)nxn6二 -.n , I、n 1n工(-1) (-) (x3)，其中n63x-3一八八-1 <<1 ,即 0 < x < 6 . ( 5 分)3,二 1 ,當x=0時，級數為1 1發散；當x = 6時，級數為工（-1）n ,發散，故=n$3nJ 3x一二 n 1n工(-1)n(-)n (x-3)n , xJ0,6), (7 分)n=035.解：由«-X 1 -2z - 8y| i'z 4(y 2z)y 1 -2z -8y二0,得至iJ x=0y+2z=0

9、, ( 2 分)U0再代入 2x2 +2y2 +z2 +8yz -z +8 =0 ,得到 7z2 + z 8 = 0 即 z=1, 8。7由此可知隱函數 z= z（x, y）的駐點為（0, _2）與（0,孩）。（4 分）；：2z由x1-2z-8y二xy/z在(0, 2)點,z =1,因此.2二 z1-2z-8y,可知在駐點（0, 2）與（0,）有H >0O （ 5分）4>0 ,所以（0, -2）為極小值點，極小值為 z = 1 ； （ 615十小16、上在（0,- 2 .X一 <150,所以（0 16）為極大值點，極大值為z=-, 77(7分)6.解：記Di :-2 <

10、x <0D2:-1 <y <1v1 y2 M x M 0、i y x 0,則 D = dD2.(2 分)故-1 < y <1f(x2 + y2)dcr = 口(x2 + y2 )d。一 f(x2 + y2 )d。 ( 4 分)D1D210Q 1 q二dy Kxy )dx- 二2 d1 0 r dr 二20 二(7分)7.解：L所圍區域 D： x2 +y2 Wa2 ,由格林公式，可得 l xy.(f(xy2)；:(-x2y).x2227ta)dxdy = (x y )dxdy= 0 du 0 rrdr冗 4八a.(7 分)20 < z < 1,8.解：,

11、選取柱面坐標系計算方Q : i0<9 E，所以20 < r < 1, ixydxdydz =Q兀J：dz門d叼：rcos8 "Sinerdr分）兀1=2 sin2- d-0r3dr = (-cos2u四、綜合題（共16分，每小題1.證明：因為nmun =°,則：1= 8.(78分)Vn =0(2分)2故存在N,當nN時，（un+vn）22=Un +Vn +2UnVnW3Un,分）1io-因此Z （un +vn）2收斂。（82.證明：因為 J=2x,且“(2xy) =2x,故曲線積分(2xydx+f(x,y)dy與路徑無關.(4 ；xjyL分)因此設f (x, y) =x2 +g(y),從而(t,i) (o,0)(i,2xydx f (x, y)dy =00dx *g(y)dy = t+ Jo g(y)