1、習(xí)題及參考答案5.1 一個點電荷Q與無窮大導(dǎo)體平面相距為d,如果把它移動到無窮遠處，需要作多少功？ 解：用鏡像法計算。導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷的影響用鏡像電荷來代替, 鏡像電荷的大小為-Q，位于和原電荷對稱的位置。當(dāng)電荷 Q離導(dǎo)體 板的距離為x時，電荷Q受到的靜電力為-Q2F =24 二；0(2x)靜電力為引力，要將其移動到無窮遠處，必須加一個和靜電力相反的 外力24 二;(2x)0在移動過程中，外力f所作的功為fdx = dQ216二 qX2dx =Q216 二；d0當(dāng)用外力將電荷Q移動到無窮遠處時，同時也要將鏡像電荷移動 到無窮遠處，所以，在整個過程中，外力作的總功為 q2/8_0d。也可以用靜

2、電能計算。在移動以前，系統(tǒng)的靜電能等于兩個點電 荷之間的相互作用能：-Q4二；(2d)01(-Q)4二；(2d)0Q2& ； d0移動點電荷Q到無窮遠處以后，系統(tǒng)的靜電能為零。因此，在這y-q/q /d a1 r）處，/ x q q即外力作功為q2 /8二；0d5-1）,求出所有鏡像電荷圖5-1RqQ D2DDRq(D-R )個過程中，外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增量, 5. 2 一個點電荷放在直角導(dǎo)體內(nèi)部（如圖 的位置和大小。解：需要加三個鏡像電荷代替導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷。在（-a, d） 處，鏡像電荷為-q，在 （錯誤！鏈接無效 鏡像電荷為4，在（a，-d）處，鏡 像電荷為-q。5. 3

3、證明：一個點電荷q和一個帶有電 荷Q、半徑為R的導(dǎo)體球之間的作用力為其中D是q到球心的距離（D >R）。證明：使用鏡像法分析。由于導(dǎo)體球不接地，本身又帶電 Q，必須在 導(dǎo)體球內(nèi)加上兩個鏡像電荷來等效導(dǎo)體球?qū)η蛲獾挠绊憽?在距離球心 b=R2/D處，鏡像電荷為 q / = -Rq/D ;在球心處，鏡像電荷為q =Q-q:Q Rq/D。點電荷q受導(dǎo)體球的作用力就等于球內(nèi)兩個鏡2像電荷對q的作用力，即qQ+Rq_RqF Lf坐葺D4 0 D2 (D -b)24 0 D2 (D _ R2)2D 延長線上，分別距離球心 D和-D。DRq2 2 2 (D R )5. 4兩個點電荷+Q和-Q位于一個半

4、徑為a的接地導(dǎo)體球的直徑的（1）證明：鏡像電荷構(gòu)成一電偶極子，位于球心，偶極矩為2a3Q/D2（2） 令Q和D分別趨于無窮，同時保持 Q/D2不變，計算球外的電 場。解：（1）使用導(dǎo)體球面的鏡像法疊加原理分析。在球內(nèi)應(yīng)該加上兩個 鏡像電荷：一個是 Q在球面上的鏡像電荷，qi = -aQ/D，距離球心 b=a2/D ;第二個是-Q在球面上的鏡像電荷，q2= aQ/D，距離球心 bi =-a2/D。當(dāng)距離較大時，鏡像電荷間的距離很小，等效為一個電偶 極子，電偶極矩為-2a3Qp呻-叩一D2（2）球外任意點的電場等于四個點電荷產(chǎn)生的電場的疊加。設(shè)+Q和-Q位于坐標(biāo)z軸上，當(dāng)Q和D分別趨于無窮，同時保

5、持Q/D2不變時， 由+Q和-Q在空間產(chǎn)生的電場相當(dāng)于均勻平板電容器的電場，是一個均勻場。均勻場的大小為2Q/4：;0D2，方向在-ez。由鏡像電荷產(chǎn)生的 電場可以由電偶極子的公式計算：匕（er2如弋0'-2a3Q4 二；°r3D2(er 2cos8 + e& sin 日)5. 5接地?zé)o限大導(dǎo)體平板上有一個半徑為 a的半球形突起，在點（0,0, d）處有一個點電荷q （如圖5-5）,求導(dǎo)體上方的電位。z、d q-b -pv-d q1圖5-5解：計算導(dǎo)體上方的電位時，要保持 導(dǎo)體平板部分和半球部分的電位都為 零。先找平面導(dǎo)體的鏡像電荷 qi = -q， 位于（0，0，-

6、d）處。再找球面鏡像 電荷 q2 = -aq/d，位于（0，0，b）處， b= a2/d。當(dāng)疊加這兩個鏡像電荷和原電 荷共同產(chǎn)生的電位時，在導(dǎo)體平面上和 球面上都不為零，應(yīng)當(dāng)在球內(nèi)再加上一個鏡像電荷 q 3二aq/d,位于（0，0，-b）處。這時，三個鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的電位在導(dǎo)體平 面和球面上都為零。而且三個鏡像電荷在要計算的區(qū)域以外。導(dǎo)體上方的電位為四個點電荷的疊加，即q q q，亠(S _! Z)4兀 e R r r r0123其中2 2 2 12R =x y (z - d) 22229r 二x y (z d) 2 12229r =x y (z -b) 2 2r x2 y2 - (

7、z - b)2 2 35. 6求截面為矩形的無限長區(qū)域（0<x<a，0<y<b）的電位，其 四壁的電位為:(a, y)=b-:y b2解：由邊界條件(x,0) =(x,b)=0知，方程的基本解在y方向應(yīng)該:(0, y) 0U0yJ byU (1)0 b為周期函數(shù)，且僅僅取正弦函數(shù),Y = sin k ynn(knn 二b)在x方向，考慮到是有限區(qū)域，選取雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)，使用 邊界條件:(0, y)0，得出僅僅選取雙曲正弦函數(shù)，即n 二=sh一 xb將基本解進行線性組合,QO= zn 二 1nxC sh -n bsin bnx n x待定常數(shù)由x=a處的邊界條件確

8、定,(a , y)二、 C sh sin n=1 n bb使用正弦函數(shù)的正交歸一性質(zhì)，有bC sh2 n0 (a,y) si門十 dy協(xié)干亦罟d廠半(衛(wèi))2 sin 必-衛(wèi) y cosbn兀bU0b2()sinbn二2b22n 二n 二cos 2b U0Y)b dyubn 二ycos(衛(wèi))2sin n 二b n 二y y cos n 二bb bcos n 二sin -2 b nnb /二 _U -(coscos 0 n二U0 b 2nn)()2亠2 bU .0 b b n 二cosb n二 22化簡以后得b -C2n 二abn 二ysh0 (a, y) sin dy = 2Un bbbsin0

9、n2 二2求出系數(shù)，代入電位表達式，得味 4U sin忙v02 nny , nJixsin sh n1 “2仃2 . nabbn =1 n . sinb5.7 個截面如圖5-7所示的長槽，向y方向無限延伸,兩則的電位是零，槽內(nèi)yx,0,底部的電位為y彳求槽內(nèi)的電位。解：由于在x=0和x=a兩個邊界的© =0© =0電位為零，故在x方向選取周期解，且僅僅取正弦函數(shù)，即© =U1>:(x,0)= UxaX = sin k x (k nn n圖5-7在y方向，區(qū)域包含無窮遠處，故選取指數(shù)函數(shù)，在 yX時，電位趨于零，所以選取由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為由基本解

10、的疊加構(gòu)成電位的表示式為nyL C sin業(yè)e a n =1 n aaU0 (1 - cos n 二)待定系數(shù)由y=0的邊界條件確定。在電位表示式中，令 y=0，得C 旦=0*U sin dx = n 20 0 a當(dāng)n為奇數(shù)時，c二4U0當(dāng)n為偶數(shù)時,C = 0。最后，電位的解0oOzn =1,3,54U 0 . sinnya5. 7若上題的底部的電位為:(x,0)Usin0重新求槽內(nèi)的電位。解：同上題，在X方向選取正弦函數(shù)，即n 二、)，在yn n a方向選取Y = en-k yn。由基本解的疊加構(gòu)成電位的表示式為nyQO=' C sin en = 1 n a將y=0的電位代入，得U

11、 sin3X0 an =1 nn rxa應(yīng)用正弦級數(shù)展開的唯一性，可以得到 n=3時，C二C，其余系數(shù)3 0C =0,所以05. 9 一個矩形導(dǎo)體槽由兩部分構(gòu)成，如圖5-9所示，兩個導(dǎo)體板的電位分別是U0和零，求槽內(nèi)的電位。 解：將原問題的電位看成是兩個電 位的疊加。一個電位與平行板電容 器的電位相同（上板電位為 U0，下 板電位為零），另一個電位為U，即U=0 y Uay .© =10aa2© =U0圖5-9其中，U滿足拉普拉斯方程，其邊界條件為y=0 , U=0y=a , U=0x=0 時,U =(0, y)U0yU0yU0yx-K時，電位U應(yīng)該趨于零。U的形式解為n:

12、xU 二 ' C sin n =1 n a待定系數(shù)用x=0的條件確定ZU (0,y) unn yC sina -CqU (0, y) sidy a-U y0. n 二 ysin dy aa-U0a(a 2 . n 二y )sin n 二aan 二yn 二2n 二n 二cos2-y)si nEdyUa a0an 二-cos )2U0(ycFaa-Ucos n 二0 n二a 2()2 sina n二2U0 aa cosn二a n 二a a n 二 cos n 二 22化簡以后，得到qU (0, y) sindy =cos只有偶數(shù)項的系數(shù)不為零。將系數(shù)求出，代入電位的表達式，得U- 2U一0

13、y0_ssinn y - n 二xycos sinea n =2,4, n 二 2 a a5. 10將一個半徑為a的無限長導(dǎo)體管平分成兩半，兩部分之間互 相絕緣，上半（0 n）接電壓Uo，下半（n 2 n ）電位為零，如圖5-10,求管內(nèi)的電位解：圓柱坐標(biāo)的通解為QO(r, )(A B )(C ln r D )二 rn (A cosn B sin n ) 0000 n = 1 nQOx亠二 r-n （C cosn：；亠 D sin n ） n =1nn通解中不能有Inr和r-n項，即有由于柱內(nèi)電位在r=0點為有限值，柱內(nèi)電位是角度的周期函數(shù)，A°=0。C =0, D =0, C =0

14、(n =1,2,) nn 0因此，該題的通解取為cd（r, ） = B D 亠 二 rn （A cosnB sin n ）0 0 n = nn各項系數(shù)用r=a處的邊界條件來定。QO® (a, 0) = B D + bn (A cosn© + B sin n©) = * 0 0 n = nn2 :anAnJI二 0(a, ) cos d 二 0n a Bn柱內(nèi)的電位為1U00(a, ) sin d =(1 - cosn二)4 2U CO 4 =_UQ -()n sin n20 二 n =1,3,5 n a5. 11半徑為無窮長的圓柱面上，有密度為，八 cos，的面電

15、荷,s S0求圓柱面內(nèi)、外的電位。解：由于面電荷是余弦分布，所以柱內(nèi)、外的電位也是角度的偶函數(shù)。柱外的電位不應(yīng)有 <n項。柱內(nèi)、外的電位也不應(yīng)有對數(shù)項，且是角 度的周期函數(shù)。故柱內(nèi)電位選為cdA 亠二 rn A cos n 10 n =1 n柱外電位選為oO二 CrnC cosn20 n = 1n假定無窮遠處的電位為零，定出系數(shù) C = 00在界面r=a上，w = w1 2砂一；21 _ - cos0 ：r0；:rs0即QOQOAzanAcos n 二' a_nCcosn0n =1 1nn =1n0QOna _ n - 1C cos n；znan-1A cosn-cos°

16、;n =1n0n =1ns0解之得Pa2?A =0,A -s0,Cs0012 ；12 ；0A 二0,C 二0(n1)nn最后的電位為f Pr : as0 r cos ,20a2s0 cos , 2； r05. 12將一個半徑為a的導(dǎo)體球置于均勻電場 Eo中，求球外的電位、 電場。圖 5-12解：采用球坐標(biāo)求解。設(shè)均勻電場沿 正z方向，并設(shè)原點為電位零點（如 圖5-12）。因球面是等位面，所以在 r=a處，© =0;在r處，電位應(yīng)是 ©二-EorcosB。球坐標(biāo)中電位通解具 有如下形式：n n 1:(r,巧=、 (Ar B r )P (cos"n =0 nnn用無窮

17、遠處的邊界條件 s及©二-E°rcos 0，得至U,A二-E°,其余 A=0。再使用球面上（r=a）的邊界條件:_ n - 1(aj) -E a cos：' B a P (cosj = 00n=0 nn上式可以改寫為.n - 1E acos' B a P （cosR0n =0 nn因為勒讓德多項式是完備的，即將任意的函數(shù)展開成勒讓德多項式的系數(shù)是惟一的，比較上式左右兩邊，并注意P (COST) = COST，得1E a二B 2，即B二E a3,其余的B =0。故導(dǎo)體球外電位為0110na3r3電場強度為fP.:r=E (102a3z軸，柱外為空氣，

18、如圖5-13 ,圖 5-13二E (1 一 jr：-0 r35. 13將半徑為a、介電常數(shù)為£的無限長介質(zhì)圓柱放置于均勻電 場E0中，設(shè)Ed沿x方向，柱的軸沿求任意點的電位、電場。解：選取原點為電位參考點，用1表示柱內(nèi)電位，表示柱外電位。2在r處，電位因幾何結(jié)構(gòu)和場分布關(guān)于y=0平面對稱，故電位表示式中不應(yīng)有的正弦項。令0A 一 二(A rn B r n)cosn1 0 n 才 nnoOC 亠二(C r n Dr n) cos n2 0 n 勺 nn因在原點處電位為零，定出Ao=0, B=0。用無窮遠處邊界條件r及二-E°rcos，定出G=-Eo，其余C0=O。這樣，柱內(nèi)、

19、外電位簡化 2為QOA rn cosn1 n =1 nOQC r c o S ' Dr cos21n =1再用介質(zhì)柱和空氣界面r=a）的邊界條件八及；1 220 汀oocoZ A an cosn$ =-E a cos* + Z0n =1 nD a 一 n cos n；nA an 一1 cosn 二 n:nD a_ n 一1 cosn 0 n比較左右n=1的系數(shù)，得Ea200a2解之得，D1E a20比較系數(shù)方程左右n>1的各項，得DDA n=0,；An=0n a2nn 0 a2n由此解出A =D =0。最終得到圓柱內(nèi)、外的電位分別是n n2 ;-E r cos'1 0 ；0-Er cos E 220 cos '0r02 ；E亠： 00cos er20sin e2E =二 E cos (1 Je220亠：2 r0 ra2)er20 r5. 14在均勻電場中，設(shè)置一個半徑為a的介質(zhì)球，若電場的方向沿電場強度分別為z軸，求介質(zhì)球內(nèi)、外