1、關于圓需要分類討論的幾種類型 圓是對稱圖形，既是軸對稱也是中心對稱，還具有旋轉不變形性，所以會有許多的分類討論情況。尤其是當題設中未畫出圖像時，更有可能要分類討論。解答這一類問題時，需要按照一定的標準（定理、模型），分成若干種情況，逐一加以討論。1、 根據點與圓的位置關系，需要分類討論例一：若O所在平面內一點P到O上的點的最大距離為a，最小距離為b，則此圓的半徑為 例二：P在O內，距圓心O的距離為4，O半徑長為5，經過P點，交于O的弦為整數的有多少條？例三：如圖，O的半徑為2.5，動點P到定點O的距離為2，動點Q到P的點的距離為1，則點P、Q與O有何位置關系？ 2、 弦與弦的位置關系不唯一，需

2、要分類討論例四：1、O的半徑為5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（   ）。A.7cm      B.8cm     C.7cm或1cm       D.1cm 2、 已知弓形的弦長為8cm，所在圓的半徑為5cm，則弓形的高為 例五：如圖，已知AB是O的直徑，AC是O的弦，AB=2，AC=，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度數。 例六：1、油桶問題：一個橫截面為圓的圓柱形油桶，放倒后油面為60c

3、m，其半徑為50cm，求油面的最大深度？ 2、拱橋問題：某地有一座圓弧形拱橋圓心為O，橋下水面寬度為7.2m，過O作OCAB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面AB=2m的貨船要經過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？3、 點在直徑上的位置不唯一，需要分類討論例七：已知O的直徑AB=10cm，弦CDAB于點于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？4、 弦所對圓周角的不唯一，需要分類討論例八：圓的一條弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角為（   ）。A.30°或60° B.60° C.1

4、50° D.30°或150°例九：半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條線所對的圓周角的度數等于 5、 點與弦的相對位置時，需要分類討論例十：O是ABC的外接圓，ODBC于D，且BOD48°，則BAC_。例十一：在O中，AB為直徑，CD為弦，ABCD，P為圓周上與C、D不重合的任意一點。判斷與的數量關系，并嘗試證明你的結論。6、 圓心與角的位置，需要分類討論例十二：在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為和，則BAC的度數是_。7、 點在弧上的位置，需要分類討論例十三：如下圖，在平面直角坐標系中，P是經過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的

5、圓上的一個動點（P與O、B不重合），則OPB_度。8、 相交圓圓心與公共弦的位置關系不唯一時，需要分類討論例十四：已知半徑為4和的兩圓相交，公共弦長為4，則兩圓的圓心距為_。9、 直線與圓的位置，需要分類討論例十五：兩圓的半徑分別為4和2，如果它們的兩條公切線互相垂直，求兩圓的圓心距。十：圓和三角形的關系中，需要分類討論例十六：1、ABC內接于O，=1000，則= 2、ABC是半徑為2cm的園內接三角形，若BC=2cm，則A的度數為 例十七：已知ABC內接于O，AB=AC，OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長。解答一、點與圓的位置關系，需要分類討論例1：若所在O所在平面內一點P

6、到O上的點的最大距離為a，最小距離為b（ab），則此圓的半徑為（   ）。分析：P可在園內，也可在圓外（A）a+b2   （B）  （C）或    （D）a+b或ab            圖11             

7、0;         圖12P在圓內時。如圖11。連接O、P所在的直線交O于A、B。則PA=a，PB=b  直徑AB=PA+PB=a+b，半徑OA=OB=AB=（a+b）P在圓外時。如圖12。此時直徑AB=PAPB=ab，半徑OA=OB=AB=（ab）由可知，應選（C）。例二：過不在O上的一點A，作O的割線，交O于B、C，且AB·AC64，OA10，則O的半徑R為_。解：依題意，點A與O的位置關系有兩種：（1）點A在O內，如圖1，延長AO交O于F，則由相交弦定理得：所以（負值已舍去）（

8、2）點A在O外，如圖2，此時由割線定理得：所以（負值已舍去）故O的半徑R為或6。二、弦與弦的位置關系不唯一，需要分類討論例3：O的半徑為5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（   ）。（A）7cm    （B）8cm   （C）7cm或1cm     （D）1cm分析：弦AB與CD可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側。        

9、;     圖21                          圖22弦AB與CD在圓心的同側。如圖21。過O作弦AB的垂線，交AB于M，交CD于N。連接OB，OD。ABCD，OMAB，ONCD由垂徑定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在RtBMO中，OM=4cm

10、，同理ON=3cm MN= OMON=43=1 cm弦AB與CD在圓心的異側。如圖22。此時，MN=OM+ON=4+3=7cm        故選（C）。例4：如圖，已知AB是O的直徑，AC是O的弦，AB=2，AC=，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度數。分析：弦AC與弦AD可能在直徑AB的同側，可能在直徑AB的異側。弦AC與弦AD在直徑AB的同側。如圖31。連OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=OC+OD=AC AOC=90°，CAO=ACO=45°又O

11、A=OD=AD，DAO=60°DAC=DAOCAO=15°弦AC與弦AD在直徑AB的異側。此時，DAC=DAO+CAO=115° 三、點在直徑上的位置不唯一，需要分類討論例5：已知O的直徑AB=10cm，弦CDAB于點于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。M在半徑OA上。如圖41。連接OC。OC=OA=AB=5cm，  又OM：OA=3：5，OM=3cmAB是直徑，弦CDAB    在RtOMC中，  MC=4cm又AM=O

12、AOM=2cm在RtAMC中，AC=2（cm）M在半徑OB上。如圖42.此時，AM=OA+OM=8cmAC=4（cm）四、弦所對圓周角的不唯一，需要分類討論例6：圓的一條弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角為（   ）。（A）30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°分析：弦（不是直徑）所對的弧有兩條，一條優弧，一條劣弧，因此，一條弦所對的圓周角也有兩個，并且這兩個圓周角互補。如圖5。劣弧所對的角為ACB，優弧所對的角為ADB。 由AB=0A=OB，AOB=60°ACB=

13、AOB=30°ADB=（360°AOB）=（360°60°）=150°   故選（D）五、點與弦的相對位置，需要分類討論例7：O是ABC的外接圓，ODBC于D，且BOD48°，則BAC_。解：（1）點A和圓心O在弦BC同側，如圖3，可求得BACBOD48°（2）點A和圓心O在弦BC異側，如圖4，可求得BAC132° 六、圓心與角的位置，需要分類討論例8：在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為和，則BAC的度數是_。解：如圖7，當圓心在BAC內部時，連接AO并延長交O于E在RtABE中

14、，由勾股定理得：所以BAE30°同理，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45°，當圓心O在BAC的外部時（BAC'），由軸對稱性可知：所以BAC為75°或15°七、點在弧上的位置，需要分類討論圖8例9：如圖8，在平面直角坐標系中，P是經過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），則OAB_度，OPB_度。解：依題意可知AOB是等腰直角三角形，所以OAB45°當動點P在上時，OPBOAB45°當動點P在上時，OPB180°45°135°故OPB為45°或135°。八、相交圓圓心與公共弦的位置關系不唯一，需要分類討論例10：已知半徑為4和的兩圓相交，公共弦長為4，則兩圓的圓心距為_。分析：相交兩圓圓心的位置有在公共弦的同側和異側兩種情況。解：如圖9、圖10，在中，在中，（1）當圓心在公共弦AB的同側時，如圖