1、14.1 軸對稱 數學與生活以樹干為對稱軸，畫出樹的另一半，如圖14-1所示.思考討論 圖141給出了樹的一半，以樹干為對稱軸，畫出它的另一半，需要找到幾個關鍵點即關于樹干的對稱點，依次連接這些點即可，那么，我們為什么要這么做呢？知識詳解知識點1 軸對稱圖形如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.這時我們就說這個圖形關于這條直線（或軸）對稱.如圖14-2所示，ABC是軸對稱圖形.知識點2 對稱軸把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應

2、點，叫做對稱點.如圖14-3所示，ABC與ABC關于直線l對稱，l叫做對稱軸.A和A,B和B，C和C是對稱點.知識點3 線段的垂直平分線經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖144所示，直線l經過線段AB的中點O，并且垂直于線段AB，則直線l就是線段AB的垂直平分線.知識點4 對稱軸的性質對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段.即：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.探究交流成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖

3、形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？點撥 成軸對稱的兩個圖形全等；如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形全等；這兩個圖形對稱.知識點5 線段垂直平分線的性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.如圖145所示，點P是線段AB垂直平分線上的點，則PA=PB.知識點6 線段垂直平分線的判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.知識點7 成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.因此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸.典例剖析 師生

4、互動基本概念題例1 判斷下列圖形（如圖146所示）是不是軸對稱圖形.（分析）由軸對稱圖形的含義可知，（1）（3）（6）是軸對稱圖形，（2）（4）（5）不是.解：是軸對稱圖形的有（1）（3）（6）；不是軸對稱圖形的有（2）（4）（5）.例2 判斷下面每組圖形（如圖147所示）是否關于某條直線成軸對稱.（分析）本題主要考查軸對稱和讀圖能力，要仔細觀察.解：圖（1）不關于某條直線成軸對稱；圖（2）關于某條直線成軸對稱.學生做一做 如圖148所示，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱.老師評一評 主要考查軸對稱圖形和圖形成軸對稱的含義.圖（1）（3）（4）（6）（8）（10

5、）是軸對稱圖形；圖（2）（5）（7）（9）成軸對稱.基本知識應用題本節基礎知識的應用主要包括：（1）能夠找出常見軸對稱圖形的對稱軸；（2）掌握線段垂直平分線的性質.例3 如圖14-9所示，已知ABC和直線MN.求作：ABC，使ABC和ABC關于直線MN對稱.（不要求寫作法，只保留作圖痕跡）（分析）畫已知圖形關于某直線對稱的圖形，關鍵是找到對稱點.作法：如圖1410所示.例4 如圖1411所示，有一塊三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得BDC的周長為17m，請你替測量人員計算BC的長.（分析）本題主要考查垂直平分線的性質.解：ED是AB的垂直平分線，

6、DA=DB.又BDC的周長為17m，AB=AC=10m，BD+DC+BC=17，DA+DC+BC=17，即AC+BC=17.10+BC=17，BC=7m.例5 下列圖形中對稱軸條數最多的是( )A.正方形B.長方形C.等腰三角形D.等腰梯形E.等邊三角形F.角G.線段H.圓I.正五角星（分析）有一條對稱軸的是C，D，F，G；有三條對稱軸是E；有四條對稱軸的是A；有兩條對稱軸的是B；有五條對稱軸的是I；有無數條對稱軸的是H.因此，對稱軸條數最多的是H.小結 （1）對稱軸是一條直線；（2）軸對稱圖形的對稱軸至少有1條.綜合應用題本節知識的綜合應用主要是軸對稱圖形和圖形關于某直線對稱的綜合應用.例6

7、 兩個大小不同的圓可以組成如圖1412中的五種圖形，請找出每個圖形的對稱軸，并說一說它們的對稱軸有什么共同的特點.（分析）因為對于一個圓來說，它有無數條對稱軸，每條對稱軸都是經過圓心的直線，而對于由兩個圓組成的圖形來說，它的對稱軸就是同時經過兩個圓圓心的直線，因此圖14-12中五個圖形都是軸對稱圖形，并且每個圖形都只有1條對稱軸.（因為兩點確定一條直線而且只確定一條直線）解：對稱軸略.它們五種圖形的對稱軸都是經過兩圓心的直線，即直線O1O2是對稱軸.探索與創新題主要考查探索和創新的能力及與代數知識的綜合應用.例7 數的運算中會有一些有趣的對稱形式，按照等式（1）的形式填空，并檢驗等式是否成立，

8、你還能舉出一些類似的例子嗎？（1）12×231=132×21（2）12×462= × （3）18×891= × （4）24×231= × （分析）模仿（1）題，（2）題分別填：264，21，（3）題分別填198，81，（4）題分別填132，42，經檢驗等式成立.如（1）中：12×231=12×21×11=（12×11）×21=132×21，如（2）中：12×462=12×42×11=12×21×2×

9、;11=（12×2×11）×21=264×21，（3）（4）論證方法同（1）（2）類似.答案：（2）264 21 （3）198 81 （4）132 42學生做一做 我們把左右數字排列對稱的自然數叫做回文數，請你寫出下列回文數是由哪個數的平方得到的？（1）121=( )2；（2）14641=( )2；（3）40804=( )2；（4）44944=( )2；老師評一評 （1）121=11×11，121=112.（2）14641=121×121，14641=1212.（3）40804=202×202，40804=2022.（4）4

10、4944=212×212，44944=2122例8 圖1413所示，將標號為A，B，C，D的正方形沿圖中的虛線剪開后，拼成標號為P，Q，M，N的四組圖形，試按照“哪個正方形剪開后得到哪個軸對稱圖形”的對應關系填空：A與 對應；B與 對應；C與 對應；D與 對應.答案：M P Q N提高訓練題 例1 請用1個等腰三角形，2個矩形，3個圓在下面的方框（如圖1414所示）內設計一個軸對稱圖形，并用簡練的語言文字說明你的創意.（分析）這是一道開放性題，重點考查軸對稱圖形的含義和學生的想象能力，答案有多種，只要符合題意即可.本題由同學自己完成.例2 如圖1415所示，有一矩形紙片ABCD，AB

11、=10，AD=6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F，則CEF的面積為( )A.4B.6C.8D.10（分析）關于圖形的折疊實質上就是軸對稱的一種變形應用，解題時，應抓住折疊前后的圖形全等；應注意折疊前后的對應關系.畫出折疊前后的對比圖，找出對應關系.如圖1416所示，從FCE折疊前后的圖形中可知，DE=BC=AD=6，ADE是等腰直角三角形.AED=45°.FEC=45°.又C=90°ADE是等腰直角三角形.EC=DC-DE=AB-DE=4.SCEF=×4×4=8.答案：C例3 在

12、圖1417中，從幾何圖形的性質考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并簡述你的理由.答：圖形 ；理由是： .（分析）主要考查軸對稱圖形的含義，只有與另外三個不同.因為都是軸對稱圖形，而不是.答案： 都是軸對稱圖形，而不是例4 如圖1418所示，下列圖案中，是軸對稱圖形的是( )A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（2）（3）(分析)本題主要考查軸對稱圖形的含義，是軸對稱圖形的有(1)(4).故正確答案為C項.學生做一做 如圖1419所示，下列圖案中，是軸對稱圖形的是( )圖14-19A.（1）（2）B.（1）（3）（4）C.（2）（3）D.（1）（4）老師評一評 是軸對稱

13、圖形的是（1）（3）（4），故正確答案為B項.例5 如圖1420所示，下圖是由一個圓，一個半圓和一個三角形組成的圖形，請你以直線AB為對稱軸，把原圖形補成軸對稱圖形.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）（分析）主要考查畫軸對稱圖形的方法.解：如圖1421所示.例6 如圖1422所示，下列四個圖形中，對稱軸條數最多的一個圖形是( )（分析）在A，B，C，D中，除C外均是軸對稱圖形，其中A有2條對稱軸，B有4條對稱軸，D有1條對稱軸，所以正確答案為B項.例7 如圖14-23所示的是一個在19×16的點陣圖上畫出的“中國結”，點陣的每行及每列之間的距離都是1，請你畫出“中國結”的對稱軸，并

14、直接寫出陰影部分的面積圖14-23（分析）本題考查點有兩個，一是找軸對稱圖形的對稱軸，二是求陰影部分的面積.由軸對稱的性質可知，先求出對稱軸左半部分的面積，再乘以2即是陰影部分的面積.對稱軸左半部分有16個陰影小正方形，面積是2×16=32，故陰影部分的面積為32×2=64.解：（1）如圖1424所示.（2）圖中陰影部分的面積是64.例8 如圖1425所示的圖形是 對稱圖形.答案：軸自我評價 知識鞏固1.如果O是線段AB的垂直平分線與AB的交點，那么 = .2.設MN是線段AB的垂直平分線，當點P在MN上運動時，PA，PB的長度都隨之變化，但總保持 .3.如圖1427所示，

15、OM是AOB的平分線，MAOA，交OA于A，MBOB，交OB于B，如果AOB=120°，則AMO= ，BMO= ，AMB= ，AM= ，理由是 .4.如圖1428所示，AB=AC=12，BC=7，AB的垂直平分線交AB+D，交AC于E，求BCE的周長.5.（1）下面每個網格內的兩個圖形（如圖1429所示）都是成軸對稱的，請畫出它們的對稱軸；（2）如圖1430所示，以虛線為對稱軸，畫出圖形的另一半；（3）畫出如圖1431所示的圖形關于直線l的對稱圖形.6.某地有兩所大學和兩條相交叉的公路，如圖1432所示（點M，N表示大學，AO，BO表示公路）.現計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相等，到兩條公路的距離也相等.（1）你能確定倉庫應該建在什么位置嗎？在所給的圖形中畫出你的設計方案；（2）闡述你設計的理由.7.欣賞下面對聯，感悟軸對稱在文學中的蹤影.（1）秀山青雨青山秀，香柏