1、2007年考研數(shù)學(xué)二真題一選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（1） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是 （ ） A. B. C. D.（2）函數(shù)在區(qū)間上的第一類間斷點(diǎn)是( )A. 0 B. 1 C. D. （3）如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是： （ ） . (4)設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是 ( )A. 若存在，則 B. 若存在, C. 若存在, 則 D. 存在, （5）曲線漸近線的條數(shù)為 （ ） 0 1

2、2 3(6)設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且, 令= 則下列結(jié)論正確的是 ( )A.若，則必收斂 B. 若，則必發(fā)散 C. 若，則必收斂 D. 若，則必發(fā)散（7）二元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微的一個(gè)充分條件是 （ ）A. B. ，且C. D. 且（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （ ） （9）設(shè)向量組線形無關(guān)，則下列向量組線形相關(guān)的是： ( ) （A） （B） （C） （D）（10）設(shè)矩陣A=，B=,則A于B， （ ） (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上_.曲線上對(duì)應(yīng)于的

3、點(diǎn)處的法線斜率為_設(shè)函數(shù)，則_.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解y_.設(shè)是二元可微函數(shù)，,則.設(shè)矩陣，則的秩為_.三、解答題：1724小題，共86分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分） 設(shè)D是位于曲線 下方、軸上方的無界區(qū)域.（）求區(qū)域D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（）當(dāng)為何值時(shí)，最小？并求此最小值.（19）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且1，函數(shù)由方程所確定.設(shè)求，.(21)（本題11分） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的

4、最大值，證明：存在使得.（22）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分其中(23)（本題滿分11分）設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解 (24)設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征向量值是A的屬于的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.2007年考研數(shù)學(xué)二真題解析一選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）（2） 當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是 （B） A. B. C. D.（2）函數(shù)在區(qū)間上的第一類間斷點(diǎn)是(A)A. 0 B. 1 C. D. （3）如圖.連續(xù)函

5、數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是：（C） . (4)設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是 (C)A. 若存在，則 B. 若存在, C. 若存在, 則 D. 存在, （5）曲線漸近線的條數(shù)為 （D） 0 1 2 3(6)設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且, 令= 則下列結(jié)論正確的是 (D)A.若，則必收斂 B. 若，則必發(fā)散 C. 若，則必收斂 D. 若，則必發(fā)散（7）二元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微的一個(gè)充分條件是 （B）A. B. ，且C. D. 且（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （B） （9）設(shè)向量組線形無關(guān)，則下

6、列向量組線形相關(guān)的是： (A) （A） （B） （C） （D）（10）設(shè)矩陣A=，B=,則A于B， （B）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為（）.設(shè)函數(shù)，則.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解y_.設(shè)是二元可微函數(shù)，,則.設(shè)矩陣，則的秩為_1_.三、解答題：1724小題，共86分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.【詳解】：設(shè)則. 則

7、原式可化為： 等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得： （18）（本題滿分11分） 設(shè)D是位于曲線 下方、軸上方的無界區(qū)域.（）求區(qū)域D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（）當(dāng)為何值時(shí)，最??？并求此最小值.【詳解】： 得 故 即是唯一駐點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，最小值（19）求微分方程滿足初始條件的特解.【詳解】：設(shè)，則代入得： 設(shè) 則 即 由于 故 即 由或 特解為或（20）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且1，函數(shù)由方程所確定.設(shè)求，.【詳解】： 兩邊對(duì)求導(dǎo)得 得 （當(dāng) 故有 （本題11分） 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在使得.【詳解】：證明：設(shè)在內(nèi)某點(diǎn)同時(shí)取得最大值，則，此時(shí)的c就是所求點(diǎn).若兩個(gè)

8、函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同則有設(shè)故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在由羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點(diǎn)0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即.（22）（本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分其中【詳解】：D如圖（1）所示，它關(guān)于x,y軸對(duì)稱，對(duì)x,y均為偶函數(shù)，得，其中是D的第一象限部分.22xyx1212y(1)(2)由于被積函數(shù)分塊表示，將分成（如圖（2）：,且于是.而 所以 得 （本題滿分11分）設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.【詳解】：因?yàn)榉匠探M(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即矩陣方程組(3)有解的充要條件為.當(dāng)時(shí)，方程組(3)等價(jià)于方程組(1)即此時(shí)的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎(chǔ)解系為此時(shí)的公共解為：當(dāng)時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣為此時(shí)方程組(3)的解為，即公共解為： (24)設(shè)3階對(duì)稱矩陣A的特征向量值是A的屬于的一個(gè)特征向量,記其中為3階單位矩陣驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.【詳解】：（）可以很容易驗(yàn)證，于是 于是是矩陣B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關(guān)系得到，