1、第九章 期權定價模型在資產價值評估中的應用一、 練習題1、三周前你買了一份100股看漲期權合約。該看漲期權的到期日自今天算起還有五周。在那天，標的股票的價格將是120元或95元。兩種狀態的出現是等可能的。目前，該股票售價為96元；其執行價格是112元。你能夠購買32股股票。你能以10%年利率借到錢。你的看漲期權合約的價值是多少？2、假設戴爾塔運輸公司股票在今天算起的一年后到期時只存在兩種狀態。到那天戴爾塔公司股票的價格將是60元或40元。今天戴爾塔股票以55元交易。看漲期權的執行價格是50元。你能以9%的利率借款。你愿意為此看漲期權支付的款額是多少？3、現有計算機普拉斯公司股票的看漲期權。該期

2、權將于今天起的一年后到期，執行價格是35元。無風險利率是7%。計算機普拉斯公司股票正以每股37元出售，而你對股票收益方差的估計值是0.004。(1)利用布萊克-模型為該看漲期權定價。(2)你發現方差的估計值應該修改為0.0064。看漲期權的新價格應是多少？(3)在公布該公司即將關閉其在加利福尼亞的三家工廠后，股票價格跌至35元。利用(2)中的結果，該期權的新價格應該是多少？4、你已應顧客的要求確定他們將愿意為購買金斯利看漲期權而支付的最高價格。該期權具有執行價格25元，且在120天后到期。金斯利股票的現行價格是27元，無風險年利率是7%，股票的估計方差是0.0576。預期在下六個月期間沒有任何

3、股利被宣布。你的顧客應該支付的最高價格是多少？5、環球不動產合伙有限公司正在進行一個新項目。若該項目成功，一年后公司的價值將是6.5億元，但若最終失敗，公司將只值2.5億元。公司的現有價值是4億元。公司已公開發行的一年期債券的總面值為3億元。短期國庫券利率是7%。權益的價值是多少？負債的價值是多少？6、假設上一題中的環球不動產合伙有限公司決定實施一項較有風險的項目：一年后公司的價值要么是8億元，要么是1億元，這取決于計劃是否成功。權益的價值是多少？負債的價值是多少？債權人更喜歡哪一個項目？7、某公司發行了億元的零息票債券，年后到期。公司近些年來的利息和稅前收入（EBIT）約為4億元（稅率為40

4、%）。預計收入以每年5%的速度永續增長。公司不付紅利。公司的股權資本成本為12%，加權資本成本為10%。可比公司價值波動的年標準差為12.5%（5年期國債利率為5%）。請你用貼現現金流和期權定價兩種方法計算該公司的股權資本的價值。二、 參考答案1、期權的有效期限為八周。假設到期日時股票價格是95元，則策略1放棄執行看漲期權；相應的與之等值的策略2的合計額也應該是0，由此我們可以計算出復制的借貸金額本金是2994元，而期權的有效期限為八周，借貸金額年利為10%。具體計算見表9-1。表9-1初始交易到期日盈利若股票價格是120元若股票價格是95元策略1：購進看漲期權（含100股的合約）執行看漲期權

5、100（120-112）=800放棄看漲期權0策略2：購進32股股票借貸2994元策略2的合計32120 = 3840-2994(1+10%8/52) = -30408003295 = 30402994(1+10%8/52) =-30400由于采取的是復制資產組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權合約的價值C=元。另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發。策略1的凈收益=800-C，策略2的凈收益=32（120-96 ）-299410%*8/52（利息支出）= 3224-46=722元因此看漲期權合約的價值C=800-722=78元2、期權的有效期限為一年。假設到期日時股

6、票價格是40元，則策略1放棄執行看漲期權；相應的與之等值的策略2的合計額也應該是0，由此我們可以計算出復制的借貸金額本金是1835元，而期權的有效期限為一年，借貸金額年利率為9%。具體計算見表9-2。表9-2初始交易到期日盈利若股票價格是60元若股票價格是40元1、購進看漲期權 100（60-50） =1000（含100股的合約）放棄看漲期權2、購進50股股票 5060 = 3000 借貸2994元 -1835(1+9%) =-2000策略2的合計 10005040 = 2000-1835(1+9%) =-20000 由于采取的是復制資產組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲

7、期權合約的價值C=元。另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發。策略1的凈收益=1000-C，策略2的凈收益=50（60-55 ）-18359%（利息支出）= 505-165=85元因此看漲期權合約的價值C=1000-85=915元3、(1)運用布萊克斯科爾斯模型計算，公式如下：C=SN（）-Ee N（）=(S/E)+(r+1/2)t =-公式中：S現行股價, 股票價格S是37元；E看漲期權的執行價格, 執行價格E是35元；連續無風險收益率（年度的）, 無風險利率是0.07；股票的連續收益之方差（每年）, 普拉斯公司的方差估計為每年0.004；至到期日的時間（單位：年）, 我們將以年為單位表示

8、成1。此外，還有一個統計概念：N（）即標準正態分布隨機變量將小于或等于的概率。利用上述五個參數，我們分三個步驟計算期權的布萊克斯科爾斯值：步驟1：計算和。我們可以將參數值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(37/35)+(0.07+1/20.004) 1=(0.0556+0.072)/0.063 = 2.0254=-= 2.0254-0.063 = 1.9624步驟2：計算N()和（）。值N（）和N（）可以通過查標準正態分布的概率表得出。N()= N(2.0254)0.9786 N（）= N(1.9624)0.9751步驟3：計算C。我們有C=SN（）-

9、Ee N（）=37N（）-35e N（）=370.9786-350.93240.9751=4.3868元(2)普拉斯公司的方差估計為每年0.0064時:步驟1：計算和。我們可以將參數值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(37/35)+(0.07+1/20.0064) 1=(0.0556+0.0732)/0.08=1.61=-=1.53步驟2：計算N()和（）。值N（）和N（）可以通過查標準正態分布的概率表得出。N()= N(1.61)0.9463 N（）= N(1.53)0.9370步驟3：計算C。我們有:C=SN（）-Ee N（）=37N（）-35e

10、N（）=370.9463-350.93240.9370=4.435元(3)普拉斯公司的股票價格S下跌至35元每股。步驟1：計算和。我們可以將參數值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:=(S/E)+(r+1/2)t =(35/35)+(0.07+1/20.0064) 1=(0+0.0732)/0.08=0.915=-=0.835步驟2：計算N()和（）。值N（）和N（）可以通過查標準正態分布的概率表得出。N()= N(0.915)0.8199 N（）= N(0.835)0.7981步驟3：計算C。我們有:C=SN（）-Ee N（）=35N（）-35e N（）=350.8199-350.932

11、40.7981=2.6513元4、股票價格S是27元；執行價格E是25元；無風險利率是0.07；此外，距到期日的時間可以很快算出：公式要求以年為單位來表示，我們將120天以年為單位表示成120/365；金斯利公司的方差估計為每年0.0576。利用上述五個參數，我們分三個步驟計算期權的布萊克斯科爾斯值：步驟1：計算和。我們可以將參數值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有=(S/E)+(r+1/2)t =(27/25)+(0.07+1/20.0576) 120/365=(0.0770+0.0325)/0.1376=0.7957=-=0.6581步驟2：計算N()和（）。值N（）和N（）可以通過查

12、標準正態分布的概率表得出。N()= N(0.7957)0.7868 N（）= N(0.6581)0.7448步驟3：計算C。我們有C=SN（）-Ee N（）=27N（）-25e N（）=270.7868-250.97720.7448=3.0481元5、買賣權平價關系用公式可以表述為：S+p-c=Xe 既 S+p=c+Xe 公式中：T為期權有效期，t為有效期內已經過去的時間，X為股票期權的執行價格，S為股票的現行價格，r為無風險利率。它表明，具有某一確定執行價格和到期日的歐式看漲期權的價格可根據相同執行價格和到期日的歐式看跌期權的價值推導出來，反之亦然。用看漲期權和看跌期權來描述公司的股東權益和

13、負債，我們可以把上述買賣權平價關系改寫成： 公司看漲期權價值=公司價值+公司看跌期權價值-無違約債券價值期權的有效期限為一年。假設到期日時公司價值是2.5億元，則策略1放棄執行看漲期權；相應的與之等值的策略2的合計額也應該是0，由此我們可以計算出復制的借貸金額本金是2.044億元，而期權的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計算見表9-3。表9-3初始交易到期日盈利若公司價值是6.5億元若公司價值是2.5億元1、購進看漲期權 6.5億元-3億元 =3.5億元放棄看漲期權2、購進 0.875的公司 0.875 6.5億元 = 5.6875億元借貸2.044元 -2.044億元(1+7%)

14、=-2.1875億元策略2的合計 3.5億元2.5億元0.875=2.1875億元-2.044(1+7%)=-2.1875億元0 由于采取的是復制資產組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權合約的價值C=億元。另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發。策略1的凈收益=3.5-C，策略2的凈收益=(6.5-4) 7%（利息支出）= 2.1875-0.143=2.044億元因此看漲期權合約的價值C=3.5-2.044=1.456億元,由前可知,公司的權益價值=公司看漲期權合約的價值=1.456億元在得出公司看漲期權合約的價值后我們用買賣權平價關系公式計算公司看跌期權價值。代入買

15、賣權平價關系公式S+p-c=Xe即 S+p=c+Xe此時標的資產是公司本身。公式中：T為期權有效期，此時是1年；t為有效期內已經過去的時間,此時為0；X為公司看漲期權的執行價格，即公司發行的債券的面值3億元；S為公司目前的價值4億元；為無風險利率7%。求出公司看跌期權價值p=c+Xe-S=1.456+-4=1.456+30.9324-4=0.2532億元公司負債的價值=公司價值-公司看漲期權價值=4-1.456=2.544億元或者公司負債的價值=無違約債券價值-公司看跌期權價值=-0.2532=3=2.544億元兩者的結果是一樣的,由此也驗證了買賣權平價關系的存在。6、期權的有效期限為一年。假

16、設到期日時公司價值是1億元，則策略1放棄執行看漲期權；相應的與之等值的策略2的合計額也應該是0，由此我們可以計算出復制的借貸金額本金是0.6676億元，而期權的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計算見表9-4。表9-4初始交易到期日盈利若公司價值是8億元若公司價值是1億元1、購進看漲期權 8億元-3億元=5億元放棄看漲期權2、購進 5/7的公司 5/7 8億元= 40/7億元借貸0.6676億元-0.6676億元(1+7%) =-5/7億元策略2的合計 5億元1億元5/7=5/7億元-0.6676(1+7%)=-5/7億元0 由于采取的是復制資產組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同

17、的成本，得出看漲期權合約的價值C=億元。另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發。策略1的凈收益=5-C，策略2的凈收益=(8-4) 5/7-0.66767%（利息支出）= 2.8571-0.0467=2.8104億元因此看漲期權合約的價值C=5-2.8104=2.1896億元(兩者的微小差異是由于計算中的四舍五入引起的)。由前可知,公司的權益價值=公司看漲期權合約的價值=2.1895億元在得出公司看漲期權合約的價值后我們用買賣權平價關系公式計算公司看跌期權價值。代入買賣權平價關系公式S+p-c=Xe 即 S+p=c+Xe此時標的資產是公司本身。公式中：T為期權有效期，此時是1年；t為有效期內

18、已經過去的時間,此時為0；X為公司看漲期權的執行價格，即公司發行的債券的面值3億元；S為公司目前的價值4億元；為無風險利率7%。求出公司看跌期權價值p=c+Xe-S=2.1895+-4=2.1895+30.9324-4=0.9867億元公司負債的價值 = 公司價值-公司看漲期權價值 = 4-2.1895 = 1.8105億元或者公司負債的價值 = 無違約債券價值-公司看跌期權價值=-0.9867=3=1.8105億元兩者的結果是一樣的,由此也驗證了買賣權平價關系的存在。分析前面的計算結果，我們明顯地發現當公司選擇風險大的項目時，公司的權益價值增加了，從1.456億元增加到了2.1896億元；而公司負債的價值從2.544億元下降到了1.8105億元，因此債權人更喜歡風險小的第五題中的項目。（即項目成功公司價值變成6.5億元,如果項目失敗公司價值變成2.5億元的項目）7、(1)采用貼現現金流方法，股權資本成本為12%，預期增長率g為5%（此處把收入增長率近似看成股權現金流量的增長率）。由于公司發行的是億元的零息票債券，因此沒有利息支出。因而股權現金流量CFE= =4（1-40%）=2.4億元代入股權價值評估中的一階段模型公式計算股權資本價值。股權資本價值=億元(2)采用期權定價方法，由于公司的股權