1、第三章第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入宣漢縣第二中學(xué)宣漢縣第二中學(xué) 袁永紅袁永紅一個(gè)人因?yàn)槔硐攵昝溃驗(yàn)閵^斗而精彩，因?yàn)槌晒Χ鴤ゴ螅∫粋€(gè)人因?yàn)槔硐攵昝溃驗(yàn)閵^斗而精彩，因?yàn)槌晒Χ鴤ゴ螅?1.知識(shí)與技能：了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要知識(shí)與技能：了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位性；理解并掌握虛數(shù)的單位I2.過(guò)程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位過(guò)程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部虛數(shù)、純虛

2、數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念一、學(xué)習(xí)目標(biāo)一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)活動(dòng)安本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)活動(dòng)安排排“預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)后，你后，你了解了了解了什么什么? ?有什么有什么疑疑問(wèn)問(wèn)?”/?”/“匯報(bào)匯報(bào)一下你一下你們收集們收集來(lái)的數(shù)來(lái)的數(shù)據(jù)、信據(jù)、信息、資息、資料。料。”活動(dòng)安排活動(dòng)安排講評(píng)、板講評(píng)、板書書點(diǎn)評(píng)時(shí)間時(shí)間問(wèn)題導(dǎo)學(xué)探究一，找出疑惑問(wèn)題導(dǎo)學(xué)探究一，找出疑惑第一小組第一小組第十小組第十小組5分鐘分鐘問(wèn)題導(dǎo)學(xué)探究二，找出疑惑問(wèn)題導(dǎo)學(xué)探究二，找出疑惑第二小組第二小組第九小組第九小組5分鐘分鐘請(qǐng)你試試請(qǐng)你試試1第三小組第三小組第八小組第八小組2分鐘分鐘請(qǐng)你試試請(qǐng)你

3、試試2第四小組第四小組第七小組第七小組2分鐘分鐘例例1第五小組第五小組第六小組第六小組2分鐘分鐘變式變式1第六小組第六小組第五小組第五小組2分鐘分鐘例例2第七小組第七小組第四小組第四小組2分鐘分鐘變式變式2第八小組第八小組第三小組第三小組2分鐘分鐘能力提升例能力提升例3第九小組第九小組第二小組第二小組2分鐘分鐘課堂小結(jié)課堂小結(jié)第十小組第十小組第一小組第一小組3分鐘分鐘教師前后點(diǎn)評(píng)教師前后點(diǎn)評(píng),學(xué)生討論學(xué)生討論13分鐘分鐘當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂檢測(cè)全班全班5分鐘分鐘各組得分各組得分導(dǎo)學(xué)案完成導(dǎo)學(xué)案完成情況情況課堂展示課堂展示情況情況課堂點(diǎn)課堂點(diǎn)評(píng)情況評(píng)情況總分總分先進(jìn)先進(jìn)個(gè)人個(gè)人第一組第一組10第二組第二

4、組9第三組第三組10第四組第四組10第五組第五組9第六組第六組10第七組第七組10第八組第八組10第九組第九組9第十組第十組10優(yōu)秀小組優(yōu)秀小組計(jì)數(shù)的需要計(jì)數(shù)的需要自然數(shù)（正整數(shù)與零）自然數(shù)（正整數(shù)與零）表示相反意義的量表示相反意義的量解方程解方程 x+3=1整數(shù)整數(shù)測(cè)量、分配中的等分測(cè)量、分配中的等分解方程解方程 3 x=5有理數(shù)有理數(shù)度量的需要度量的需要解方程解方程 x2=2實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)NZQR解方程解方程 x2=1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)？C x2=2x2=-1規(guī)定：規(guī)定：2( 2)2規(guī)定：規(guī)定：i2=-12 可以與其它數(shù)進(jìn)可以與其它數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算行四則運(yùn)算,在進(jìn)行四在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)則運(yùn)算時(shí),原有的加法原有

5、的加法與乘法的運(yùn)算律與乘法的運(yùn)算律(包括包括交換律、結(jié)合律和分交換律、結(jié)合律和分配律配律)仍然成立仍然成立.i可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)時(shí),原有的加法與乘法原有的加法與乘法的運(yùn)算律的運(yùn)算律(包括交換律、包括交換律、結(jié)合律和分配律結(jié)合律和分配律)仍然仍然成立成立. 復(fù)數(shù)的發(fā)展史復(fù)數(shù)的發(fā)展史 虛數(shù)這種假設(shè)虛數(shù)這種假設(shè),是需要勇氣的是需要勇氣的,人們?cè)诋?dāng)時(shí)人們?cè)诋?dāng)時(shí)是無(wú)法接受的是無(wú)法接受的,認(rèn)為她是想象的認(rèn)為她是想象的,不存在的不存在的,但但這絲毫不影響數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)單位這絲毫不影響數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)單位 的假設(shè)研究的假設(shè)研究:第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)

6、興時(shí)期意第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是1545年年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭詭辯量辯量”.幾乎過(guò)了幾乎過(guò)了100年，年，笛卡爾笛卡爾才給這種才給這種“虛幻之?dāng)?shù)虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字取了一個(gè)名字虛數(shù)虛數(shù)但是又過(guò)了但是又過(guò)了140年，年，歐拉歐拉還是說(shuō)這種數(shù)只是存還是說(shuō)這種數(shù)只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用 （imaginary，即，即虛幻的縮寫）來(lái)表示它的單位虛幻的縮寫）來(lái)表示它的單位. 后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家家高斯高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@給出了復(fù)數(shù)的定

7、義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無(wú)縹緲，盡管他們也感到它的作種數(shù)有點(diǎn)虛無(wú)縹緲，盡管他們也感到它的作用用1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù) ，使復(fù)數(shù)有了立足，使復(fù)數(shù)有了立足之地之地,人們才最終承認(rèn)了復(fù)數(shù)人們才最終承認(rèn)了復(fù)數(shù).到今天復(fù)數(shù)已經(jīng)到今天復(fù)數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代科技中普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一成為現(xiàn)代科技中普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一.探究（一）：探究（一）：虛數(shù)單位的引入虛數(shù)單位的引入 思考思考1 1：由：由 得得 ，這與這與 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？11xx+=2211xx+= -2210 xx+ 答：答：方程方程x

8、x2 2x x1 10 0無(wú)實(shí)無(wú)實(shí)根根 思考思考2 2：方程：方程x x2 2x x1 10 0無(wú)實(shí)根的根本無(wú)實(shí)根的根本原因是什么？原因是什么？答：答： 1 1不能開平方不能開平方 二問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：自學(xué)課本二問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：自學(xué)課本102-103頁(yè)頁(yè),思考探究并回答下列問(wèn)題思考探究并回答下列問(wèn)題 只有孜孜不倦只有孜孜不倦地求索，才有地求索，才有源源不斷的收源源不斷的收獲獲 思考思考3 3：我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，用字：我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，用字母母i i表示，使這個(gè)數(shù)是表示，使這個(gè)數(shù)是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是的根是什么？什么

9、？1322i思考思考4 4：若：若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,則則x x等于等于什么？什么？答：答： 1 1，1 1，i i，i. i. 你已經(jīng)達(dá)到第一個(gè)目你已經(jīng)達(dá)到第一個(gè)目標(biāo)了，標(biāo)了，了解引進(jìn)復(fù)數(shù)了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位握虛數(shù)的單位i i 思考思考5 5：滿足：滿足i i2 21 1的新數(shù)的新數(shù)i i顯然不是實(shí)顯然不是實(shí)數(shù)，稱為虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原數(shù)，稱為虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則，應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位則，應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位i i和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？滿足哪些運(yùn)算律？答：答：乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法

10、和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律乘法對(duì)加法滿足分配律. .思考思考6 6：設(shè)：設(shè)aRR，下列運(yùn)算正確嗎？，下列運(yùn)算正確嗎？a i i a a ii a ( )aiai 32ii ii 21iiii 思考思考7 =_14 ni24 ni=_ ni4=_34 ni=_i-11-i 你已經(jīng)達(dá)到第二個(gè)目你已經(jīng)達(dá)到第二個(gè)目標(biāo)了，標(biāo)了，過(guò)程與方法：過(guò)程與方法： 過(guò)過(guò)程與方法：理解并掌握程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律則運(yùn)算的規(guī)律 探究（二）：探究（二）：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 思考思考1 1：虛數(shù)單位：虛數(shù)單位i i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，與實(shí)數(shù)進(jìn)

11、行四則運(yùn)算，可以形成哪種一般形式的數(shù)？可以形成哪種一般形式的數(shù)？ abi i（a，bRR）思考思考2 2：把形如：把形如abi i（a，bRR）的數(shù)叫）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作集，記作C C，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？示？ C C abi|i|a，bRR 思考思考3 3：復(fù)數(shù)通常用字母：復(fù)數(shù)通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），這一表示形式叫），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a與與b分別叫做分別叫做復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z的實(shí)部與虛部，那么復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，那么復(fù)

12、數(shù) z z3i3i的實(shí)部和虛部分別是什么？的實(shí)部和虛部分別是什么？答答: :實(shí)部實(shí)部為為0,0,虛虛部為部為3.3.思考思考4 4：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：可以相等，并且規(guī)定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要條件是）的充要條件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要條件是什么？的充要條件是什么？ 答：答：ab0 0思考思考5 5：對(duì)于復(fù)數(shù)：對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)當(dāng)b b0 0時(shí)，時(shí)，z z為什么數(shù)？由此說(shuō)明實(shí)數(shù)集為什么數(shù)？由此說(shuō)明實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？答：當(dāng)答：當(dāng)b0 0時(shí)時(shí)z

13、 z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). . 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R是復(fù)數(shù)集是復(fù)數(shù)集C C的真子集的真子集. . 思考思考6 6：對(duì)于復(fù)數(shù)：對(duì)于復(fù)數(shù)z zabi i（a，bRR）當(dāng)當(dāng)b00時(shí)，時(shí)，z z叫做虛數(shù)，當(dāng)叫做虛數(shù)，當(dāng)a0 0且且b00時(shí)，時(shí)，z z叫做純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之叫做純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？間如何？答：答： 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集. . 思考思考7 7：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？ 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)思考思考8 8：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)

14、實(shí)：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小數(shù)與一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？嗎？ 答：答：虛數(shù)不能比較大小虛數(shù)不能比較大小. .i72618. 0i725 +8，i 29331i2i0 0合作、探究、展示合作、探究、展示 例例1 1 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z zm1 1( (m1)i1)i分別是實(shí)數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？分別是實(shí)數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？ 解：當(dāng)解：當(dāng)m-1=0即即m1時(shí)，時(shí)，z是實(shí)數(shù)；是實(shí)數(shù)；當(dāng)當(dāng)m-10即即m1時(shí)，時(shí)，z是虛數(shù)；是虛數(shù)；當(dāng)當(dāng)m-10且且m+1=0即即m1時(shí)，時(shí)，z是是純虛數(shù)純虛數(shù). 變式變式1：復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù) 為虛數(shù)，為虛數(shù)，則

15、實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)x滿足滿足( )A.x= B.x=2或或 C.x2 D.x1且且x2ixxxx) 2() 252 (222121D“沒(méi)有用心嘗試，沒(méi)有用心嘗試，不要輕易說(shuō)不要輕易說(shuō)“不不”!” 例例2 2 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若，若z z1 1z z2 2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)x x，y y的值的值. . 答：答：x x9 9，y y6. 6. 變式變式2：已知集合：已知集合M=1，2，( 3m1)+( 5m6)i，集合，集合P=1，3.MP=3，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為的值為( )A.1 B.1或或4 C.6 D.6或

16、或12m2mA希望你能與粗希望你能與粗心告別，與細(xì)心告別，與細(xì)心交朋友心交朋友 能力提升：能力提升：例例3、若方程、若方程 +(m+2i)x+(2+mi)=0至至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值的值.2x你已經(jīng)達(dá)到第三個(gè)目標(biāo)了，你已經(jīng)達(dá)到第三個(gè)目標(biāo)了，情感、態(tài)度與價(jià)值觀情感、態(tài)度與價(jià)值觀：激：激情投入、高效學(xué)習(xí)，情投入、高效學(xué)習(xí)，自主自主學(xué)習(xí)、合作交流、展示，：學(xué)習(xí)、合作交流、展示，：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念念( (復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) ) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有

17、關(guān)概念關(guān)概念四、學(xué)習(xí)小結(jié)四、學(xué)習(xí)小結(jié) 1.1.將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系是源于解方將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀(jì)中葉已建立了一程的需要，到十九世紀(jì)中葉已建立了一套完整的復(fù)數(shù)理論，形成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)套完整的復(fù)數(shù)理論，形成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支學(xué)分支. . 2.2.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的引入解決了負(fù)數(shù)不能的引入解決了負(fù)數(shù)不能開平方的矛盾，并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)開平方的矛盾，并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，它使得任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫成數(shù)集，它使得任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫成 abi（a，bR）的形式的形式. . 3.3.復(fù)數(shù)包括了實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)的某復(fù)數(shù)包括了實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)的某些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中不成立，

18、如些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，則，則x xy y等，今后在數(shù)學(xué)解題等，今后在數(shù)學(xué)解題中，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，一般都在實(shí)數(shù)中，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，一般都在實(shí)數(shù)集內(nèi)解決問(wèn)題集內(nèi)解決問(wèn)題.復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集虛數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集純虛數(shù)集CR (1)、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)z=a+bi0)00)0)00)babbab實(shí)數(shù)(純虛數(shù)(，虛數(shù)(非純虛數(shù)(，(2). 復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系五、當(dāng)堂檢測(cè)：每題五、當(dāng)堂檢測(cè)：每題5分，共分，共20分，分，5分鐘完成分鐘完成1.a=0是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)a+bi(a,bR）為純虛數(shù)的）為純虛數(shù)的 （ ） A 必要不充分條件必要不充分條件 B 充分不必要條件充分不必要條件 C 充要條件充要條件 D 非必要非充分條件非必要非充分條件