1、2004年2月重慶大學(xué)學(xué)報Feb.2004第27卷第2期Journal of Chongqing UniversityVol.27No.2文章編號:1000-582X (200402-0087-05兩通道濾波器組和離散序列的小波變換盧山,楊浩(重慶大學(xué)電氣工程學(xué)院,重慶400030摘要:多抽樣率濾波器組理論和離散時間序列的小波變換有著密切關(guān)系。筆者從信號處理的角度研究了離散時間序列的小波變換利用樹狀濾波器組實現(xiàn)的方法,分析了兩通道共軛正交鏡象濾波器組理論及濾波器設(shè)計,離散時間序列的正交小波變換的快速實現(xiàn)以及正交小波的構(gòu)造,指出了其內(nèi)在聯(lián)系,最后舉例說明了正交小波變換通過共軛正交鏡象濾波器組來實

2、現(xiàn)信號分解和重構(gòu)的全過程。關(guān)鍵詞:濾波器組;小波變換;共軛正交;離散中圖分類號:TN911.72文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 多抽樣率濾波器組和小波變換已經(jīng)成為信號處理 領(lǐng)域兩個強有力的工具。它們有著不同的起源和理論體系1-4,但現(xiàn)在兩者卻緊密地結(jié)合起來5-6。小波變換是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的應(yīng)用數(shù)學(xué)工具,它不僅擴(kuò)展了信號時頻聯(lián)合分析7的概念,而且在分辨率方面具有對信號特點的自適應(yīng)性,小波變換在圖象壓縮8,特征提取9和閾值消噪10方面有著廣泛的應(yīng)用,而比小波變換稍早發(fā)展起來的濾波器組理論是語音子帶編碼11的基礎(chǔ)。文中將多抽樣率信號處理和離散時間序列的小波變換結(jié)合起來,分析兩者的內(nèi)在聯(lián)系和對應(yīng)關(guān)系。圖1所

3、示是一個兩通道濾波器組,其中H 0(z 和H 1(z 是分析濾波器,G 0(z 和G 1(z 是綜合濾波器。分析濾波器將輸入信號x (n 分解成2個子帶信號,由于子帶信號的頻帶減小了1倍,因此可以進(jìn)行2倍的抽取,綜合濾波器將子帶信號重建成信號x (n 。如果x (n =x (n 或x (n =cx (n -k ,其中c 和k是常數(shù),稱x (n 是對x (n 的“準(zhǔn)確重建(Perfect Re 2construction ,PR ”。圖1兩通道濾波器組小波變換可以對信號進(jìn)行多分辨率分析12,即將信號在不同分辨率下分解成“概貌”和“細(xì)節(jié)”。離散時間序列的正交小波變換(后均簡稱為離散正交小波變換可以

4、通過如圖2所示的樹狀濾波器組來實現(xiàn),亦即Mallat 算法用濾波器組表達(dá)的思路。圖中每一級只對上一級的低通部分進(jìn)行再分解,從高通濾波器出來的信號稱為“細(xì)節(jié)”,而最后從低通出來的信號稱為“概貌”。 圖2Mallat 算法的濾波組實現(xiàn)收稿日期:2003-09-05作者簡介:盧山(1980-,男,四川雅安人,重慶大學(xué)碩士研究生,主要從事生物醫(yī)學(xué)信號處理、小波分析的研究。1兩通道濾波器組理論仔細(xì)分析一下圖1中的兩通道濾波器組輸入信號x (n 和輸出信號x (n 的關(guān)系,由多抽樣率信號處理的理論可以得到:X (z =12G 0(z G 1(z H 0(z H 0(-z H 1(z H 1( -z X (

5、z X (-z (1X (z =12H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z X (z +12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z X (-z =T (z X (z +F (z X (-z (2其中T (z =12H 0(z G 0(z +H 1(z G 1(z ,F (z =12H 0(-z G 0(z +H 1(-z G 1(z F (z X (-z 稱為混疊分量,應(yīng)為0,為使F (z =0,最直觀的選取是令G 0(z =H 1(-z (3G 1(z =-H 0(-z (4T (z 稱為“失真?zhèn)鬟f函數(shù)”,實現(xiàn)PR 的充要條件是T (z 為具有線性相位的全通系統(tǒng),最簡

6、單的取法是令T (z =cz -k 的純延遲形式,經(jīng)過推導(dǎo)13 可以得到綜合濾波器的一般選取方法。G 0(z G 1(z =2z -kH 0(z H 1(-z -H 0(-z H 1(z H 1(-z -H 0(-z (5當(dāng)給定一個低通原型濾波器H (z 后,最簡單、直接的選取方法是令H 0(z =H (z ,及H 1(z =H 0(-z ,這時H 1(e i =H 0(e j (+是H 0(e i 移位后的結(jié)果,所以H 1(e i 是高通的,且H 0(e i ,H 1(e i 是相對/2為對稱的,故稱按此方法選定的濾波器組稱為“標(biāo)準(zhǔn)正交鏡像濾波器組14(QuadratureMirror Fi

7、lter Banks ,QMFB ”,它是最早提出的一種兩通道濾波器組,從(3和(4可知此時的G 0(z 是低通的,而G 1(z 是高通的,文獻(xiàn)14已經(jīng)證明這樣的選取方法,如果要實現(xiàn)PR ,那么H 0(z 和H 1(z 只能取純延遲的形式。H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 作為濾波器,總是希望它們的通帶盡量平坦,阻帶盡可能快地衰減,且過渡帶盡量窄,盡管PR 是最終目的,但濾波器的核心作用是信號的子帶分解,因此放棄H 1(z =H 0(-z 的簡單形式,取H 1(z =z -(N -1H 0(-z-1,H 1(z 仍是高通的,這時H 1(z 的幅頻特性雖然和標(biāo)準(zhǔn)正交鏡像濾波器

8、組中H 1(z 的相同,但由于z 變成了z -1,所以在相頻響應(yīng)上多了一個共軛,故稱這樣定義的濾波器組為“共軛正交鏡像濾波器組(Conjugate Quadrature Mirror Filter Banks ,CQMFB ”。此時有G 0(z =H 1(-z =-z -(N -1H 0(z-1,令P (z =H 0(z H 0(z -1,代入前面的T (z 有T (z =12z-(N -1P (z +P (-z (6若令T (z =P (z +P (-z =2,則T (z 為一純延遲,從而實現(xiàn)X (z 對X (z 的準(zhǔn)確重建,由此得到H 0(e j2+H 1(e j2=2(7即H 0,H 1

9、滿足功率互補關(guān)系,它們是一對功率互補的濾波器。CQMFB 中的2個基本事實14:事實一:滿足PR 條件的必P (Z 是一個半帶濾波器;事實二:h 0(n 和h 1(n 各自及相互之間有如下正交性:1h 0(n 和h 1(n 各自都具有偶次移位的正交歸一性,即h 0(n ,h 0(n +2k =k (8h 1(n ,h 1(n +2k =k(92h 0(n 和h 1(n 之間具有偶次移位的正交性,即h 0(n ,h 1(n +2k =0(10其中k Z 。可以通過對P (z 的譜分解來設(shè)計CQMFB ,CQMFB 中各濾波器特性和P (z 存在如下對應(yīng)關(guān)系。1正交性:如果滿足(8、(9和(10式

10、,那么H 0(z 和G 0(z 是P (z 的譜因子2線性相位:如果P (z 是線性相位的,H 0(z 和G 0(z 是它的線性相位因子,那么各濾波器也是線性相位的,不幸的是在滿足正交性的前提下分解是不能得到線性相位的15,即CQMFB 中的各濾波器不具備線性相位。3有限長:如果P (z 是FIR 的,H 0(z 和G 0(z 是它的FIR 因子,那么也是有限長的。這樣就將CQMFB 濾波器的設(shè)計歸結(jié)到P (z 的設(shè)計上。2離散正交小波變換理論在實際應(yīng)用中,處理的信號通常是離散時間采樣信號,需要高效實現(xiàn)的是這類信號的小波變換,實現(xiàn)它88重慶大學(xué)學(xué)報2004年的方法就是著名的Mallat 算法,

11、Mallat 算法有多種表現(xiàn)形式,如圖象處理中的金字塔編碼算法16,而在多抽樣率信號處理中,可以采用如圖2所示的樹狀結(jié)構(gòu)濾波器組來實現(xiàn)。通過圖2的濾波器組將原始信號分解為一系列的“細(xì)節(jié)d j (k ”和“概貌a j (k ”。d j (k 是離散信號在尺度函數(shù)空間的離散逼近系數(shù),而a j(k 是離散信號在小波函數(shù)空間的離散逼近系數(shù)。正交小波變換中的二尺度方程17揭示了濾波器系數(shù)和小波函數(shù)以及尺度函數(shù)之間的遞推關(guān)系。<(t =2+n =-h 0(n <(2t -n (11(t =2+n =-h 1(n <(2t -n (12(11、(12式中的h 0(n 和h 1(n 恰是一對

12、共軛正交濾波器組。通過推導(dǎo)18可以得到相臨兩個尺度下多分辨率離散逼近系數(shù)d i (k 和a j (k 與這對濾波器組的關(guān)系。a j +1(k =+n =-a j (k h 0(n -2k =a j (k h 0(2k (13d j +1(k =+n =-a j (k h 1(n -2k =a j (k h 1(2k (14其中,h 0(k 和h 1(k 是h 0(k 和h 1(k 序列的翻轉(zhuǎn),即h (k =h (-k 。初始化時,簡單的方法是假定a 0(k =x (k 。在用濾波器組實現(xiàn)時,由于信號的濾波可以引入FF T ,因此離散信號的小波變換就找到了一條快速實現(xiàn)的途徑,并且可以通過這對共軛

13、正交濾波器組來遞推尺度函數(shù)<(t 和小波(t 。Daubechies 通過這種方法構(gòu)造了一系列小波,即Daubechies 小波(db 小波。下面用db 小波中最簡單的 db1小波,即Haar 小波為例來闡述兩通道濾波器組和離散小波變換的內(nèi)在聯(lián)系,并用濾波器組結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)離散小波變換的分解和重構(gòu),如圖3所示。圖3Haar 小波函數(shù)、尺度函數(shù)及其所對應(yīng)的濾波器系數(shù)和頻率響應(yīng)Haar 小波的尺度函數(shù)<(t ,小波函數(shù)(t 以及對應(yīng)的濾波器組如下:<(t =10t <1其它(t =10 t <1/2-11/2t <1其它h 0(n =12,12 h 1(n =12,

14、-12為簡單起見,設(shè)定要分解的信號為a ,b ,分解和重構(gòu)的過程如圖4所示,從圖中可以清楚地看到Haar 小波實現(xiàn)信號分解和重構(gòu)的全過程。圖4Haar 小波實現(xiàn)的信號分解和重構(gòu)3共軛正交濾波器組系數(shù)和小波函數(shù)既然離散正交小波變換可以用共軛正交濾波器組的樹狀結(jié)構(gòu)來實現(xiàn),那么由這對濾波器組系數(shù)構(gòu)造出的小波的特性和濾波器組系數(shù)特性之間有什么關(guān)系呢?1正交性:如果h 0(n 和h 1(n 滿足(8、(9和(10式的正交性,那么由它們遞推出來的尺度函數(shù)<(t 和小波函數(shù)(t 滿足下面的正交性,因此稱共98第27卷第2期盧山等:兩通道濾波器組和離散序列的小波變換軛正交濾波器組實現(xiàn)的小波變換是正交小波

15、變換14。<<(t ,<(t +k >=k ,<(t ,(t +k >=k ,<<(t ,(t +k >=02有限支撐:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是FIR 濾波器,那么遞推出的尺度函數(shù)<(t 和小波函數(shù)(t 是時域有限支撐的14。3對稱性:如果H 0(z 、H 1(z 、G 0(z 和G 1(z 是線性相位的濾波器,那么構(gòu)造的尺度函數(shù)<(t 和小波函數(shù)(t 是對稱或反對稱的。從前面的推導(dǎo)可知CQMFB 中各濾波器均不是線性相位的,因此構(gòu)造的db 小波也不滿足對稱性,如果要構(gòu)造對稱或反對稱小波,只能

16、犧牲正交性,取而帶之雙正交關(guān)系19。從這3條對應(yīng)關(guān)系,可以看到,要設(shè)計的正交小波的特性,完全可以通過對其所對應(yīng)的共軛濾波器組加以相應(yīng)的約束來實現(xiàn),而滿足一定特性的濾波器組設(shè)計又可以歸結(jié)到半帶濾波器P (z 的設(shè)計上。4應(yīng)用舉例這里給出用db12小波對心電信號進(jìn)行分解和重構(gòu)的全過程,這是提取心電信號各頻段的成分的一種很簡便的方法,這個過程完全由db12小波所對應(yīng)的共軛正交鏡象濾波器組來實現(xiàn)。為簡單示意只對原始信號進(jìn)行2層分解和重構(gòu)。db12小波所對應(yīng)共軛正交鏡象濾波器組的如圖5所示,分解濾波器h 0(n 和h 1(n 與綜合濾波器g 0(n 和g 1(n 的幅頻特性顯然滿足(7式的功率互補關(guān)系。

17、分解得到的第1、2層細(xì)節(jié)信號和第2層概貌信號如圖6所示,最大重建誤差為7.1332×10-14,可以看到分解的層數(shù)越高,信號的頻段劃分越細(xì)致。如果對分解后的信號進(jìn)行一定的處理:如編碼,調(diào)制,那么就可以實現(xiàn)信號的壓縮和遠(yuǎn)距離傳輸了 。圖5db12小波函數(shù)、尺度函數(shù)和對應(yīng) 的濾波器組及其幅頻特性圖6心電信號的2層小波分解與重構(gòu)5總結(jié)從多抽樣率信號處理的角度描述了離散時間序列的正交小波變換實現(xiàn)途徑和正交小波的設(shè)計方法,它是通過樹狀濾波器組對信號頻帶進(jìn)行逐層分解來實現(xiàn)多分辨率分析的,正交小波的設(shè)計由于可以通過它所對應(yīng)的共軛正交濾波器系數(shù)來遞推,把設(shè)計要求最終放在了半帶濾波器P (z 的設(shè)計上

18、,最后舉例說明了小波變換通過濾波器組來實現(xiàn)信號分解和重構(gòu)的全過程。參考文獻(xiàn):1ING RID DAUBECHIES.Where D o Wavelets C ome From ?APersonal Point of View J .Proceedings of the IEEE ,1996,84(4:510-513.2OL IV IER RIOUL ,MARTIN V ETTERL I.Wavelets andSignal Processing J .IEEE Signal Processing Magazine ,1991,8(4:14-38.3MARTIN VETTERL I.A Theo

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