1、第六節 常用空間曲面一、曲面方程的概念在第四節中，我們已經知道了，在空間中一個平面可以用一個三元一次方程來表示；反過來，一個三元一次方程的圖形是一個平面。在一般情況下，如果曲面與三元方程 （1）有下述關系：圖6-21（1） 曲面上任一點的坐標都滿足方程（1）；（2） 不在曲面上的點的坐標都不滿足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的圖形（圖6-21）。象在平面解析幾何中把平面曲線當作動點軌跡一樣，在空間解析幾何中，我們常把曲面看作一個動點按照某個規律運動而成的軌跡。運用這個觀點，我們來建立球面方程。例1 若球心在點，半徑為，求該球面方程。解：設是球面上任一點，那么又

2、 故 （2）這就是球面上的點的坐標所滿足的方程，而不在球面上的點的坐標都不滿足該方程，所以該方程就是以為球心，為半徑的球面方程。如果球心在原點，那么，從而球面方程為將（2）式展開得所以，球面方程具有下列兩個特點：（1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項；（2） 的系數相同且不為零。 現在我們要問，滿足上述兩個特點的方程，它的圖形是否為球面呢？例2 方程表示怎樣的曲面？解：配方，得所以所給方程為球面，球心為，半徑為。 例3 方程是否表示球面？解：配方，得顯然沒有這樣的實數能使上式成立，因而原方程不代表任何圖形。以上表明作為點的幾何軌跡的曲面可以用它的點的坐標間的方程來表示，反之，變量間的方程通常

3、表示一個曲面。因此在空間解析幾何中關于曲面的研究，有下面兩個基本問題。（1） 已知一曲面作為點的幾何軌跡時，建立曲面方程。（2） 已知坐標間的一個方程時，研究這方程所表示的曲面形狀。例1是從已知點的軌跡建立曲面方程的例子，例2、例3是由已知間方程研究它所表示的曲面的形狀的例子。下面，作為基本問題（1）的例子，我們討論旋轉曲面；作為基本問題（2）的例子，我們討論柱面和二次曲面。二、旋轉曲面一條平面曲線繞該平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面。旋轉曲線和定直線依次叫做旋轉曲面的母線和軸。圖6-22設在坐標面上有一條已知曲線，它的方程為，曲線繞軸旋轉一周，得到一個以軸為軸的旋轉曲面（圖6

4、-22）設為曲線上一點，則有 （3）當曲線繞軸旋轉時，點隨繞到另一點，這時，且點到軸的距離為 將，代入（3）式，便得到 （4）這就是所求的旋轉曲面的方程。由此可知，在曲線的方程中將改成便得曲線繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程。同理，曲線繞軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為 （5）例1 求坐標面上的拋物線繞軸旋轉而成的旋轉曲面的方程。解：繞軸旋轉所成的旋轉曲面叫旋轉拋物面（圖6-23），它的方程為圖6-23 例5 將坐標面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程。解：繞軸旋轉所生成的旋轉曲面叫做旋轉單葉雙曲面，它的方程為繞軸旋轉所生成的旋轉曲面叫做旋轉雙葉雙曲面，它的方程為 例6 直線繞另

5、一條與相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫做圓錐面。兩直線的交點叫做圓錐面的頂點，兩直線的夾角（）叫做圓錐面的半頂角。試建立頂點在原點，旋轉軸為軸，半頂角為的圓錐面的方程（圖6-24）。解：在坐標面上直線的方程為，因為旋轉軸為軸，所以只要將方程中的改成，便得到這圓錐面的方程圖6-24或 其中。三、柱面設直線平行于某定直線并沿定曲線移動，則直線形成的軌跡叫做柱面。定曲線叫做柱面的準線，直線叫做柱面的母線。我們只討論準線在坐標面上，而母線垂直于該坐標面的柱面。這種柱面方程有什么特點呢？下面舉例說明。問方程表示什么曲面？圖6-25圖6-26在坐標面上，方程表示圓心在原點，半徑為的圓。在空間直角坐標系中

6、，方程缺，這意味著不論空間中的點的豎坐標怎樣，凡是橫坐標和縱坐標滿足這方程的點都在方程所表示的曲面上；反之，凡是點的橫坐標和縱坐標不滿足這個方程的，不論豎坐標怎樣，這些點都不在曲面上，即點在曲面上的充分必要條件是點在圓上。而是在過點且平行于軸的直線上，這就是說方程表示：由通過坐標面上的圓上的每一點且平行于軸（即垂直于坐標面）的直線所組成，即方程表示柱面，該柱面稱為圓柱面（圖6-25）。一般地，如果方程中缺，即，類似于上面的討論，可知它表示準線在坐標面上，母線平行于軸的柱面。而方程分別表示母線平行于軸和軸的柱面方程。圖6-27例如方程，方程中缺，所以它表示母線平行于軸的柱面，它的準線是面上的拋物

7、線，該柱面叫做拋物柱面（圖6-26）。又例如，方程表示母線平行于軸的柱面，其準線是面上的直線，所以它是過軸的平面（圖6-27）。四、二次曲面圖6-28最簡單的曲面是平面，它可以用一個三元一次方程來表示，所以平面也叫做一次曲面。與平面解析幾何中規定的二次曲線類似，我們把三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面。選取適當的空間直角坐標系，可得它們的標準方程，下面就二次曲面的標準方程來討論二次曲面的形狀。（1） 橢圓錐面 以垂直于軸的平面截此曲面，當時得一點；當時，得平面上的橢圓當變化時，上式表示一族長短軸比例不變的橢圓，當從大到小變為0時，這族曲線從大到小并縮為一點。綜合上述討論，可得橢圓錐面（1）的

8、形狀（如圖6-28） 平面與曲面的交線成為截痕。通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法稱為截痕法。本節前面討論過旋轉曲面，我們還可以利用伸縮變形的方法，由已知的旋轉曲面來得出二次曲面的大致形狀。先介紹伸縮變形法。曲面沿軸方向伸縮倍，曲面的點變為點，其中，因為點在曲面上，所以有，故。例如將圓錐面的圖形沿軸方向伸縮倍，則圓錐面即變成橢圓錐面。（2） 橢球面 圖6-29O把面上的橢圓繞軸旋轉，所得的曲面方程為，該曲面稱為旋轉橢球面。再把旋轉橢球面沿軸方向伸縮便得橢球面（2）（圖6-29）。（3）雙曲面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 圖6-30圖6-31圖6-32把面上的雙曲線繞軸旋轉，得旋轉單葉雙曲面，把

9、此旋轉曲面沿軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面（如圖6-30）。類似的方法可得雙葉雙曲面（如圖6-31） （4）拋物面 橢圓拋物面 雙曲拋物面（馬鞍面）把面上的的拋物線繞軸旋轉，得旋轉拋物面，把此旋轉曲面沿軸方向伸縮，即得橢圓拋物面（如圖6-32）。我們用截痕法來討論雙曲拋物面的形狀（如圖6-33）。用平面截此曲面，得截痕為平面上的拋物線圖6-33此拋物線開口向下，其頂點坐標為。當變化時，的形狀不變，只是位置平移，而的頂點的軌跡為平面上的拋物線。還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準線的柱面依次為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面。柱面的形狀在前面已經討論過，這里不再冗述。習題6-61建立以點為球心，且過原點的球面方程。2將面上的拋物線分別繞軸，軸旋轉，分別求出旋轉后所得的曲面方程。3一動點與點的距離為與平面的距離的一半，試求其所生成的軌跡，并確定它為何種二次曲面。4說明下列二次曲面的名稱，若它們是旋轉曲