1、恒成立、能成立、恰成立問題分析及應用 恒成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內總是成立的,例如:，在實數范圍既xR內恒成立. 能成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內存在值使之成立,使之成立的值有可能是一個,兩個或是無窮多個,即個數是不定的,而在這個給定的范圍內可以存在使之不成立的值,也可以不存在這樣的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一個等式或不等式在某一個給定的范圍內恰好是成立的,或是說只有在這個范圍內成立,在這個范圍外的值都不能成立.例如:，在x1時恰成立. 可以說恰成立是恒成立的一種特例,在給定的范圍內恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立

2、的條件中還有可能符合代數式的在給定的范圍之外,即恒成立不一定包含了滿足這個代數式的所有的值,但是恰成立包含了滿足這個代數的所有值,并且給定的范圍也全都滿足這個代數式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.如下表：問題類型關鍵詞1關鍵詞2恒成立問題對任意，一切，所有恒成立，都成立，都有，總有，總是，能成立問題存在實數使得，解集不是空集，有恰成立問題解集是，值域是，遞增區間是一次函數型：例1：方程在恒成立，則a的范圍. 例2：例1：當時，恒成立，求a的范圍解：方法一：，由得，故.總結：方法是

3、分離變量將不等式中的兩個變量分別置于不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解. 恒成立；恒成立.簡單記作：“大大于最大，小小于最小”.方法二：數形結合，當時，恒成立等價于當時，函數 的函數值大于0，也即圖像位于x軸的上方.下面分情況討論：由左圖：，或由右圖：.綜上：.更進一步思考：總結：時，恒成立的條件是.不管法一還是法二都與求這一區間最大或是最小值有關.方法二中更進一步這種方法只是作為一次函數可行.二次函數型：例1：若不等式的解集是R，求m的范圍.解析：二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0.（1）當m-1=0時，原不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需

4、，所以，. 對稱軸為.當時，則，；時，；當時，. 綜上，.例3：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍.方法一：解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將原不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是.練習：1.當0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是（ ） （A）(1，) （B）(，1) （C）(0，) （D）(，2)2.已知關于的不等式在R上恒成立，則實數的取值范圍是_.3（1）已知函數（為常數），若在區間上是增函數，則的取值范圍是 .(2)若函數的單調遞增區間是，則=_.3、設其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍.或者方法二：時，恒成立，可化為

5、時，恒成立.可分情況討論但較為麻煩.則，則；時，方法三：分情況分離變量：，在恒成立； 或 ，在恒成立.即時，例4：（1）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：由于函，顯然函數有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數a的范圍。解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫分離參數法。四：數形結合法 對一些不能把數放在一側的，可以利用對

6、應函數的圖象法求解。例5：已知，求實數a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數的圖象，所以，要想使函數在區間中恒成立，只須在區間對應的圖象在在區間對應圖象的上面即可。當才能保證，而才可以，所以。 例6：若當P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側，而點P(m,n)在圓上，實質相當于是在直線的右側并與它相離或相切。，故選D。同步練習1、設其中，如果時，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時，恒有意義，則

7、可轉化為恒成立，即參數分離后，恒成立，接下來可轉化為二次函數區間最值求解。解：如果時，恒有意義，對恒成立.恒成立。令，又則對恒成立，又在上為減函數，。2、設函數是定義在上的增函數，如果不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍。分析：本題可利用函數的單調性把原不等式問題轉化為對于任意恒成立，從而轉化為二次函數區間最值求解。解：是增函數對于任意恒成立對于任意恒成立對于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。3、 已知當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實數a的取值范圍。方法一）分析：在不等式中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（xR）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a

8、及x分離構造函數利用函數定義域上的最值求解a的取值范圍。解：原不等式當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立設則方法二）題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關于t的二次不等式，從而可利用二次函數區間最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化為a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t-1,1,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。設f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在-1，1內單調遞

9、減，f(t)min=f(1)=2-a,2-a>0a<24、 設f(x)=x2-2ax+2,當x-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等號的左邊，則原問題可轉化為二次函數區間恒成立問題。解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2<a<1時，對一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）當=4（a-1)(a+2) 0時由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。5、當x(1,2)時，不等式(x-1)2&

10、lt;logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，右邊為對數函數，故可以采用數形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2), <恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只需故loga2>1,a>1,1<a2.6、已知關于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實數a的取值范圍。分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),

11、從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別構造函數即二次函數y= x2+20x與一次函數y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=;當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。7、對于滿足|p|2的所有實數p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現了兩個變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述