1、第一章 問題概述1.1本題目來源于2011年研究生數(shù)學(xué)建模競賽，以下是問題重述。小麥高產(chǎn)、超高產(chǎn)的研究始終是小麥育種家關(guān)注的熱點問題。隨著產(chǎn)量的增加，小麥的單莖穗重不斷增加。但穗重的增加同時使莖稈的負(fù)荷增大，導(dǎo)致容易倒伏。倒伏不但造成小麥減產(chǎn)，而且影響小麥的籽粒品質(zhì)。因此要實現(xiàn)小麥高產(chǎn)優(yōu)質(zhì)的跨越，就必須解決或盡量減少小麥的倒伏問題。解決倒伏問題的方法之一就是針對不同的產(chǎn)量，尋找小麥抗倒伏能力最佳的莖稈性狀（包括株高、莖長、各節(jié)間長、各節(jié)莖外徑、壁厚、莖稈自重、穗長、穗重等）。目前已經(jīng)得到了一些結(jié)果，但是對抗倒伏能力最佳的莖稈性狀還沒有定論。小麥倒伏從形式上可分為“根倒”和“莖倒”，一般都發(fā)生在

2、小麥發(fā)育后期。“根倒”主要與小麥種植區(qū)域的土壤品種與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，本題不做討論。“莖倒”是高產(chǎn)小麥倒伏的主要形式，尤其是發(fā)生時間較早的“莖倒”，往往造成大幅度的減產(chǎn)。“莖倒”的原因是莖稈與穗的自重和風(fēng)載作用的迭加超過了小麥莖稈的承受能力。解決倒伏問題的方法之一就是針對不同的產(chǎn)量，尋找小麥抗倒伏能力最佳的莖稈性狀（包括株高、莖長、各節(jié)間長、各節(jié)莖外徑、壁厚、莖稈自重、穗長、穗重等）。各方面的專家通過分析影響小麥倒伏的各種因素，目前已經(jīng)得到了一些結(jié)果，但是對抗倒伏能力最佳的莖稈性狀還沒有定論。通過物理力學(xué)類比研究小麥抗倒伏性是一個新方向，已有一些工作。值得我們進(jìn)行探討。困難在于缺乏相關(guān)試驗參考數(shù)據(jù)

3、，我們只能在作較多假設(shè)下先進(jìn)行粗略研究，為進(jìn)一步試驗提供根據(jù)。題目的附件中收集了一批各個品種小麥的莖稈性狀、產(chǎn)量、倒伏情況的數(shù)據(jù)。顯然還不夠完整，各年參數(shù)選取不一致，也有數(shù)據(jù)缺漏。但農(nóng)業(yè)數(shù)據(jù)一年只有一次，短期內(nèi)無法做到完整、全面、詳盡，期望以后能逐漸完善。通過處理給定數(shù)據(jù)解決以下問題：(1) 判斷莖稈抗倒性的倒伏指數(shù)公式：莖稈倒伏指數(shù)=莖稈鮮重×莖稈重心高度/莖稈機械強度,并建立莖稈機械強度與莖稈粗厚的關(guān)系模型。(2)研究倒伏指數(shù)與莖稈外部形態(tài)特征之間的關(guān)系。即給出倒伏指數(shù)與株高、穗長、各節(jié)間長、節(jié)間長度比、各節(jié)壁厚、穗重、鮮重等莖稈性狀在最易引起倒伏期的相關(guān)性指標(biāo)。(3)探討單穗重

4、分別是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g時小麥的理想株型結(jié)構(gòu)。1.2稈機械強度與莖稈粗厚的關(guān)系模型。名詞解釋：機械強度、莖稈粗厚、莖稈倒伏指數(shù)。機械強度：指抗壓強度、抗折強度、抗拉強度。 抗壓強度：指外力是壓力時的受正壓力時的極限折斷應(yīng)力。 抗折強度：指材料單位面積承受彎矩時的極限折斷應(yīng)力。 抗拉強度：指試樣在拉伸過程中，在拉斷時所承受的最大力,它表示金屬材料在拉力作用下抵抗破壞的最大能力。莖稈粗厚：可以理解為莖稈的粗和莖稈的壁厚，即莖稈的外徑大小和莖稈的外徑與內(nèi)徑的差的大小。莖稈倒伏指數(shù):指數(shù)（index），廣義地講，任何兩個數(shù)值對比形成的相對數(shù)都可以稱為

5、指數(shù)；狹義地講，指數(shù)是用于測定多個項目在不同情景或條件下綜合變動的一種特殊相對數(shù)。所以莖稈倒伏性指數(shù)（Lodging index of wheat）是指在主客觀因素的影響下固定試驗田的倒伏小麥數(shù)量與整塊麥田小麥數(shù)量比的相對數(shù)。記作LIOW。建立小麥莖稈機械強度與莖稈粗厚的關(guān)系模型。由于數(shù)據(jù)有缺失，所以首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的處理，缺失數(shù)據(jù)情況如下：小麥植株 性狀年份莖稈鮮重莖稈重心（含穗）莖稈重心（去穗）莖稈機械強度株高莖稈單節(jié)粗莖稈單節(jié)壁厚莖稈單節(jié)長單穗鮮重單穗籽粒重穗長是否有性狀數(shù)據(jù)完全缺失備注2007年有有無有*有有有有無無有*表示可以直接計算得到。#表示可以通過建立的模型計算得到。2008

6、年無無無#*有有有無有有有2011年有有有有*有有有有無有有表1.1 通過上表可以清楚的看出題目所給數(shù)據(jù)的情況，然而該表只反映了是否有性狀數(shù)據(jù)完全缺失，所謂性狀數(shù)據(jù)完全缺失是指性狀列是否存在。通過查看數(shù)據(jù)表我們發(fā)現(xiàn)即使性狀列存在，該列的數(shù)據(jù)仍然有缺失。下面就來處理該部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失。對2007年“矮抗58”測量數(shù)據(jù)excel處理，第二節(jié)不同生長期莖稈粗的量變趨勢見下圖。圖1.1圖1.2圖1.3圖1.4由以上圖形分析可得，莖稈同一節(jié)間不同生長期莖稈粗皆集中在一個相對固定的范圍內(nèi)，即數(shù)據(jù)絕大部分在0.2mm-0.4mm這個范圍內(nèi)。同時我們發(fā)現(xiàn)在這24組數(shù)據(jù)在途中反映的數(shù)據(jù)變化存在固定走勢，數(shù)據(jù)變化呈倒

7、“S”字型走勢。所以我們運用缺失數(shù)據(jù)一半徑（=3）的去心領(lǐng)域內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值來填補缺失數(shù)據(jù)。以后的缺失數(shù)據(jù)全部運用這種方法來填充。由于數(shù)據(jù)缺失量相對已給數(shù)據(jù)來說非常小，所以這樣來填補數(shù)據(jù)造成的誤差很小。但是我們常識認(rèn)為小麥莖稈的粗細(xì)變化是漸變的，然而給定數(shù)據(jù)的漸變不明顯。出現(xiàn)這樣的誤差也許是由于儀器或是人為失誤造成。對于存在性狀列完全缺失的數(shù)據(jù)中的部分可以通過建立數(shù)學(xué)模型然后利用已有數(shù)據(jù)來求解。比如我們可以運用2007年的數(shù)據(jù)建立莖稈機械強度與莖稈粗厚的數(shù)學(xué)模型，并利用該模型和2011年給定的莖稈粗厚數(shù)據(jù)來求得2011年給定數(shù)據(jù)中的莖稈機械強度。下面介紹回歸分析有關(guān)知識回歸分析是指分析若干個預(yù)測

8、變項和一個效標(biāo)變項間的關(guān)系 。 回歸分析的基本思想是: 雖然自變量和因變量之間沒有嚴(yán)格的、確定性的函數(shù)關(guān)系, 但可以設(shè)法找出最能代表它們之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。 回歸分析主要解決以下幾個方面的問題，(1) 確定幾個特定的變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系, 如果存在的話, 找出它們之間合適的數(shù)學(xué)表達(dá)式； (2) 根據(jù)一個或幾個變量的值, 預(yù)測或控制另一個變量的取值, 并且可以知道這種預(yù)測或控制能達(dá)到什么樣的精確度； (3) 進(jìn)行因素分析。例如在對于共同影響一個變量的許多變量(因素)之間, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 這些因素之間又有什么關(guān)系等等。 多元回歸分析是研究多個變量之間關(guān)系的回歸分析

9、方法, 按因變量和自變量的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系可劃分為一個因變量對多個自變量的回歸分析(簡稱為“一對多”回歸分析)及多個因變量對多個自變量的回歸分析(簡稱為“多對多”回歸分析), 按回歸模型類型可劃分為線性回歸分析和非線性回歸分析。 一元線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)于之間有線性關(guān)系其中，表示自變量和應(yīng)變量的一組觀測值；為回歸參數(shù)，也就是回歸分析要求解的未知數(shù)；稱為殘差，通常假定.所以一元線性回歸模型也可以這樣表示，其中回歸參數(shù)的求解求未知參數(shù)的估計值，就是求解最小二乘方程使得成立。經(jīng)計算可得其中回歸方程的顯著性檢驗這里只簡單介紹檢驗法和相關(guān)系數(shù)檢驗法，假設(shè)檢驗方法。當(dāng)成立時，統(tǒng)計量其中.對于給定的顯著性水

10、平，檢驗的拒絕域為相關(guān)系數(shù)檢驗方法。記稱為樣本相關(guān)系數(shù)，對于給定的顯著性水平，檢驗的拒絕域為其中可以查相關(guān)系數(shù)臨界值表。當(dāng)拒絕時，認(rèn)為線性回歸方程是顯著的。多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型設(shè)變量與變量間有線性關(guān)系，其中和為未知的參數(shù)， ，稱以上模型為多元線性回歸模型。設(shè)是的次獨立觀測值，則多元回歸線性模型可以表示為，其中，且獨立同分布。即， ，.則多元線性回歸模型亦可表示為.回歸系數(shù)的估計求解參數(shù)的估計值，就是求最小二乘函數(shù)使得達(dá)到最小的值，.回歸方程的顯著性檢驗，當(dāng)成立時，統(tǒng)計量其中，.通常稱為回歸平方和，稱為殘差平方和。對于給定的顯著水平，檢驗的拒絕域為.相關(guān)系數(shù)的平方定義為，用它來衡量與之間相關(guān)的

11、密切程度，其中為總體離差平方和，即并且滿足下面運用回歸分析來建立、驗證模型。1.3莖稈機械強度與莖稈重心高度模型運用excel分析莖稈的機械強度與莖稈的重心高度的關(guān)系，首先觀察莖稈機械強度與莖稈重心高度的散點圖，以2007年測量數(shù)據(jù)中“新麥208數(shù)據(jù)”作為研究數(shù)據(jù)。由于探討莖稈機械強度時不考慮莖稈的質(zhì)地對其得影響，所以只去該數(shù)據(jù)組中的“乳熟期”，“臘熟期”數(shù)據(jù)來研究。假設(shè)在相同的莖稈壁厚情況下，莖稈外徑的大小的差異很小，所以莖稈的機械強度主要受莖稈重心的高度的影響。Excel線性回歸分析“臘熟期”莖稈機械強度與莖稈重心高度的結(jié)果，回歸統(tǒng)計Multiple R0.491431R Square0.

12、241505Adjusted R Square0.115089標(biāo)準(zhǔn)誤差0.092135觀測值8方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析10.0162170.0162171.9103990.216172殘差60.0509330.008489總計70.06715Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueIntercept-0.482260.590377-0.816870.445219X Variable 10.0156310.0113091.3821720.216172t>1,有一定的影響RESIDUAL OUTPUT觀測值預(yù)測 Y殘差10.283653-0

13、.0736520.39307-0.1430730.346177-0.0461840.3305460.06945450.30710.042960.4087010.09129970.275838-0.0258480.3149150.085085圖1.6圖1.7通過該回歸可以得到，P-value > 0.05,說明機械強度與莖稈的重心高度的一次項弱相關(guān)。下面我們運用R軟件來討論機械強度是否與莖稈重心高度二次相關(guān)。結(jié)果如下，由該圖可以得到機械強度與莖稈重心高度的二次項也弱相關(guān)，所以這里就不在討論機械強度與莖稈重心高度關(guān)系，下面主要解決機械強度與莖稈粗、厚的關(guān)系并建立合理模型，以及通過機械強度來討

14、論倒伏指數(shù)。1.3莖稈重心高度（）模型如果小麥莖稈（含穗）的質(zhì)量（）分布均勻且莖稈的長度（）已知，那么莖稈的重心就是該莖稈的幾何中心。即然而，現(xiàn)實中小麥莖稈不可能是質(zhì)量分布均勻的，顯然以上的理想假設(shè)難以滿足。因此我們放寬假設(shè)條件，假設(shè)小麥的每一節(jié)莖稈的內(nèi)部是粗細(xì)一致，且質(zhì)量分布均勻，而每節(jié)之間不同。在此假設(shè)下得到：假設(shè)小麥有節(jié)莖稈，總重（含穗），第節(jié)的重心高度為，第節(jié)莖稈的重量，為麥穗的重心高度，為麥穗重，則即又其中表示第節(jié)長，從而有因此 （.）由公式（.）可以利用給定莖稈每節(jié)長度（）、重量（）、穗長（）、穗重（）來求解莖稈的含穗重心高度。那么在沒有給定麥穗的數(shù)據(jù)情況下，求莖稈的重心高度，即去

15、穗的莖稈重心高度為，（1.2）該模型的驗證如下圖，2011年測量數(shù)據(jù)實驗結(jié)果如下圖圖1.8由上圖可以看出莖稈重心高度的預(yù)測值要略大于測量值，這樣的情況可能是由于沒有考慮莖稈的第五節(jié)，只計算穗下四節(jié)的數(shù)據(jù)，所以預(yù)測重心高度會偏低。下面考慮第五節(jié)時莖稈重心高度模型的合理性，以2011年測量數(shù)據(jù)“矮58 ”數(shù)據(jù)來做實驗，該組數(shù)據(jù)包含了莖稈的全部五節(jié)的完整數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果如下圖，圖1.9 由上圖可以發(fā)現(xiàn)，這兩組實驗，一組比較計算所得的莖稈重心高度（含穗）的預(yù)測值與實際莖稈重心高度（含穗），另外一組比較計算去穗莖稈的預(yù)測值與實際的測量值。通過圖形可以清楚地發(fā)現(xiàn)，兩組曲線的變化趨勢基本一致，且預(yù)測值都小于實

16、際測量值。造成實驗結(jié)果較小的原因是莖稈的粗（外徑）是漸變的，而在計算莖稈重心高度的時候假設(shè)莖稈單節(jié)是粗細(xì)均勻的。由于實際莖稈是基部粗壯，所以實際測量值會大于預(yù)測值。從該圖還可以得到這樣的結(jié)論，測量值和預(yù)測值的走勢一致縱向可以抵消，所以該模型只能用于定性分析，而不適合定量求解。莖稈機械強度與莖稈粗厚模型。莖稈機械強度與莖稈的粗（外徑）大小及莖稈粗厚（壁厚）大小的關(guān)系可以見下表：壁厚機械強度外徑厚壁薄壁備注粗外徑機械強度大不確定該討論都是在相同的株高及相同的莖稈的質(zhì)地的假設(shè)下進(jìn)行討論。細(xì)外徑不確定機械強度小表1.3由機械強度的定義可知，在該處莖稈的機械強度是指莖稈的抗折強度（抗彎強度），即莖稈在受

17、到風(fēng)、雨、自身的重力等外力的作用而使得莖稈彎曲甚至折斷時所能承受的最大正應(yīng)力（）。在這里可以假設(shè)莖稈受到正應(yīng)力主要是受到的風(fēng)力。那么莖稈的機械強度可以認(rèn)為是小麥莖稈受到的臨界力。通過附件三“有關(guān)力學(xué)的資料”可得其中， 最大彎矩（N·mm）；試樣彎曲截面積系數(shù)（）；載荷(N)；跨度(mm)； 莖稈外徑（cm）； 莖稈壁厚(mm)。莖稈的橫截面如下圖，圖1.8所以莖稈的機械強度與精干的粗厚的模型為 又莖稈的截面面積為 由以上公式可以得到莖稈機械強度與莖稈截面面積正相關(guān)。1.4模型驗證下面就利用題目給定的數(shù)據(jù)，即向量來求向量。并且分析模型的精確度及模型的修改。就以2007年測量數(shù)據(jù)中“矮抗

18、58數(shù)據(jù)”做實驗。由莖稈的機械強度與莖稈粗厚的模型知，莖稈的機械強度與莖稈的粗的二次項相關(guān)。所以我們設(shè)，“矮抗58數(shù)據(jù)”基部第五節(jié)粗（cm）“矮抗58數(shù)據(jù)”基部第四節(jié)粗（cm）“矮抗58數(shù)據(jù)”基部第三節(jié)粗（cm）“矮抗58數(shù)據(jù)”基部第二節(jié)粗（cm）“矮抗58數(shù)據(jù)”莖稈壁厚 （cm）“矮抗58數(shù)據(jù)”莖稈機械強度（kg）下面運用R統(tǒng)計軟件進(jìn)行擬合方程如下：Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 + x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.49682 -0.11079 -0.01056 0.08222

19、 0.54442 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.8699 0.1686 -5.160 2.05e-06 *x1 -0.2388 0.7451 -0.320 0.749535 x2 2.5596 0.7186 3.562 0.000653 *x3 1.3776 0.8824 1.561 0.122777 x4 -0.2405 0.6448 -0.373 0.710208 x5 7.7039 1.4194 5.427 7.12e-07 *-Signif. codes: 0 * 0.001 *

20、 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1861 on 73 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5886, Adjusted R-squared: 0.5604 F-statistic: 20.89 on 5 and 73 DF, p-value: 6.757e-13 在該結(jié)果的基礎(chǔ)上加入二次項得，Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + I(x12) + I(x22) + I(x32) + I(x42), data = blood)Residu

21、als: Min 1Q Median 3Q Max -0.48582 -0.11101 -0.01124 0.08639 0.55271 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.71687 0.81360 -0.881 0.381 x1 -0.03497 4.02016 -0.009 0.993 x2 2.82657 4.34369 0.651 0.517 x3 3.83307 6.71288 0.571 0.570 x4 -4.22435 4.37999 -0.964 0.338 x5 7.70

22、808 1.52366 5.059 3.33e-06 *I(x12) -0.49074 12.61374 -0.039 0.969 I(x22) -0.62756 8.01553 -0.078 0.938 I(x32) -4.24983 11.75452 -0.362 0.719 I(x42) 7.08400 7.67463 0.923 0.359 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1902 on 69 degrees of freedomMultiple R-squared:

23、0.5938, Adjusted R-squared: 0.5408 F-statistic: 11.21 on 9 and 69 DF, p-value: 1.417e-10 對比以上兩個結(jié)果，可以得到這樣的結(jié)論，當(dāng)機械強度和莖稈粗、厚二次項相關(guān)時，F(xiàn) 檢驗得到的p-value值顯著增大。說明機械強度與莖稈的粗、厚的二次項不相關(guān)。所以堅持機械強度與一次項相關(guān)。并且通過逐步回歸來改進(jìn)擬合方程得到最合理的擬合方程。結(jié)果如下，Start: AIC=-259.94y x1 + x2 + x3 + x4 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC- x1 1 0.00356 2.5309 -2

24、61.83- x4 1 0.00482 2.5321 -261.79<none> 2.5273 -259.94- x3 1 0.08439 2.6117 -259.35- x2 1 0.43919 2.9665 -249.28- x5 1 1.01984 3.5472 -235.16Step: AIC=-261.83y x2 + x3 + x4 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC- x4 1 0.00377 2.5346 -263.71<none> 2.5309 -261.83- x3 1 0.08140 2.6123 -261.33- x2 1 0.4

25、5592 2.9868 -250.75- x5 1 1.08582 3.6167 -235.63Step: AIC=-263.71y x2 + x3 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC<none> 2.5346 -263.71- x3 1 0.09150 2.6261 -262.91- x2 1 0.45274 2.9874 -252.73- x5 1 1.08330 3.6179 -237.60 對逐步回歸的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)得，Call:lm(formula = y x2 + x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q M

26、ax -0.46552 -0.10303 -0.01980 0.09437 0.53963 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -0.8625 0.1509 -5.715 2.04e-07 *x2 3.3539 0.4243 7.904 1.68e-11 *x5 8.5479 1.2948 6.602 4.89e-09 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1859 on 76 degr

27、ees of freedomMultiple R-squared: 0.5725, Adjusted R-squared: 0.5612 F-statistic: 50.89 on 2 and 76 DF, p-value: 9.455e-15 由以上結(jié)果得到擬合方程：對該擬合方程進(jìn)行分析如下（矮抗58擬合數(shù)據(jù)對照圖），圖1.9由上圖可知，機械強度與莖稈莖稈基部第四節(jié)粗和莖稈壁厚顯著相關(guān)。為了提高擬合方程的精度，下面對“新麥208”、“周麥18”的擬合方程的系數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，小麥品種系數(shù)矮抗58新麥208周麥18平均系數(shù)常數(shù)項-0.8625-0.8625-0.6637-0.79623基部第四節(jié)

28、（x2）3.35393.35402.45973.055867壁厚（x5）8.54798.548010.17029.0887得到最終的擬合方程為. 通過以上機械強度與莖稈粗、厚擬合，在面就用該公式來計算機械強度。倒伏指數(shù)（）模型 題目給出抗倒伏指數(shù)公式， 利用該公式計算2008年數(shù)據(jù)計算六個小麥品種的抗倒伏指數(shù)如下表，矮抗58周18國信智9998早聯(lián)豐85TM458.50 653.90 682.00 1001.90 515.10 618.20 對比題目附錄中給出的抗倒性從強到弱排序為：矮58>聯(lián)豐85> TM >周18>國信=智9998，可以得出這樣的結(jié)論，通過該公式算出

29、的定性結(jié)論與題目附錄中所給的結(jié)論完全吻合。說明該公式是可以定性來分析小麥的倒伏性問題，該公式也符合倒伏指數(shù)的定義，可以用于下面的分析。第二章倒伏指數(shù)與莖稈外部形態(tài)特征之間的關(guān)系本章主要定性的研究倒伏指數(shù)與莖稈外部形態(tài)特征（株高、穗長、各節(jié)間長、節(jié)間長度比、各節(jié)壁厚、穗重、鮮重）的相關(guān)性，主要運用皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)來研究。2.1皮爾遜相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：考察變量之間的相關(guān)程度。皮爾遜相關(guān)系數(shù)就是通常所指的線性相關(guān)系數(shù)，用來描述的是兩個變量間線性相關(guān)強弱的程度。通常用來表示。的取值范圍-1,1之間。設(shè)為、兩組數(shù)據(jù)，則.對于元總體，其樣本為,其中第個樣本為.則該樣本的第個分量的均值為該樣本的第個分量的

30、中心距為該樣本的第個分量與第個分量的協(xié)方差為稱為樣本的協(xié)方差矩陣。該樣本第個分量與第個分量的相關(guān)系數(shù)為稱為樣本的皮爾遜（Pearson）相關(guān)矩陣。相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系如下表，相關(guān)性 相關(guān)系數(shù)< 0> 0不相關(guān)-0.09 0.000.00 0.09弱相關(guān)-0.3 -0.10.1 0.3較強相關(guān)-0.5 -0.30.3 0.5顯著相關(guān)-1.0 -0.50.5 1.0表 2.1 皮爾遜相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系2.2節(jié)間比與倒伏指數(shù)模型由于一般情況下莖稈的第六節(jié)數(shù)據(jù)缺失嚴(yán)重甚至沒有第六節(jié)，所以這里只研究莖稈五節(jié)的節(jié)間比與穗重的關(guān)系。假設(shè)莖稈不同節(jié)間，節(jié)間的粗、厚、質(zhì)量分布均勻，因此.令則得

31、:代入得：.又令代入可得：由以上推到也可得莖稈倒伏指數(shù)和莖稈節(jié)間比存在正相關(guān)，令 所以抗倒伏性強，即倒伏指數(shù)取得最小值時，應(yīng)該取得最小值。又，是常數(shù)，所以由均值不等式得，等號成立條件為，即穗重與節(jié)間比模型考慮到使用矮抗58 數(shù)據(jù)建立的模型效果較好，因此我們采用由矮抗58 擬合得到的系數(shù)，設(shè)“矮抗58 ”基部第二節(jié)長（cm）x1“矮抗58 ”基部第三節(jié)長（cm）x2“矮抗58 ”基部第四節(jié)長（cm）x3“矮抗58 ”基部第五節(jié)長（cm）x4“矮抗58 ”穗長（cm）x5“矮抗58”穗重（g）y運用R軟件擬合結(jié)果如下，Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 +

32、x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.8255 -0.2490 0.0281 0.2908 1.0545 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -1.65207 2.16718 -0.762 0.4533 x1 0.46746 0.19939 2.344 0.0277 *x2 -0.04142 0.05904 -0.702 0.4897 x3 0.01647 0.07631 0.216 0.8310 x4 -0.08299 0.0383

33、1 -2.166 0.0404 *x5 0.34531 0.13165 2.623 0.0149 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.4834 on 24 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.4599, Adjusted R-squared: 0.3474 F-statistic: 4.088 on 5 and 24 DF, p-value: 0.007948通過對該結(jié)果的進(jìn)一步修正改進(jìn)的擬合方程系數(shù)為：Call:lm(formula

34、= y x1 + x4 + x5, data = blood)Coefficients:(Intercept) x1 x4 x5 -2.15677 0.49224 -0.07607 0.35888 所以擬合方程為， 由以上兩個模型得，穗重分別是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g時小麥的理想株型結(jié)構(gòu)為，假定穗長為“矮抗58 ”的平均穗長（7.97 cm），來求理想的節(jié)間長。又 倒伏指數(shù)與莖稈的節(jié)長、莖稈鮮重、粗、壁厚及莖稈重心高度的皮爾遜系數(shù)。2008年數(shù)據(jù)三種小麥品種的結(jié)果。表 矮抗58 倒伏指數(shù)與莖稈節(jié)間長皮爾遜相關(guān)系數(shù)倒伏指數(shù)基部第五節(jié)長（cm）基部第四

35、節(jié)長（cm）基部第三節(jié)長（cm）基部第二節(jié)長（cm）倒伏指數(shù)1基部第五節(jié)長（cm）-0.56227241基部第四節(jié)長（cm）0.35969774-0.79146281基部第三節(jié)長（cm）0.31025726-0.60404750.839425481基部第二節(jié)長（cm）0.31446416-0.34456890.620737110.722036811新麥208伏指數(shù)與莖稈節(jié)間長皮爾遜相關(guān)系數(shù)倒伏指數(shù)基部第五節(jié)長（cm）基部第四節(jié)長（cm）基部第三節(jié)長（cm）基部第二節(jié)長（cm）倒伏指數(shù)1基部第五節(jié)長（cm）0.181649941基部第四節(jié)長（cm）0.157074470.221995971基部第

36、三節(jié)長（cm）-0.02701330.000631960.613026511基部第二節(jié)長（cm）-0.0381366-0.20900150.231849860.51326031周麥18伏指數(shù)與莖稈節(jié)間長皮爾遜相關(guān)系數(shù)倒伏指數(shù)基部第五節(jié)長（cm）基部第四節(jié)長（cm）基部第三節(jié)長（cm）基部第二節(jié)長（cm）倒伏指數(shù)1基部第五節(jié)長（cm）0.330309181基部第四節(jié)長（cm）-0.16015570.439947631基部第三節(jié)長（cm）-0.06477670.169082180.855080141基部第二節(jié)長（cm）0.310808440.631736570.476029630.433681161矮抗58伏指數(shù)與莖稈節(jié)間粗皮爾遜相關(guān)系數(shù)倒伏指數(shù)基部第五節(jié)粗（cm）基部第四節(jié)粗（cm）基部第三節(jié)粗（cm）基部第二節(jié)粗（cm）倒伏指數(shù)1基部第五節(jié)粗（cm）-0.63301491基部第四節(jié)粗（cm）-0.60614030.805316331基部第三節(jié)粗（cm）-0.5139720.612491190.769109211基部第二節(jié)粗（cm）-0.43142330