1、第一章 行列式 1. 利用對角線法則計算下列三階行列式: (1); 解 =2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8 -0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3

2、-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然數從小到大為標準次序, 求下列各排列的逆序數: (1)1 2 3 4; 解 逆序數為0 (2)4 1 3 2; 解 逆序數為4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序數為5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序數為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序數為: 3 2 (1

3、個) 5 2, 5 4(2個) 7 2, 7 4, 7 6(3個) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序數為n(n-1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) × × × × × × (2n-1

4、)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項. 解 含因子a11a23的項的一般形式為(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項分別是

5、(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5. 證明: (1)=(a-b)3; 證明 =(a-b)3 . (2); 證明 . (3); 證明 (c4-c3, c3-c2, c2-c1得) (c4-c3, c3-c2得) . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d

6、); 證明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 證明 用數學歸納法證明. 當n=2時, , 命題成立. 假設對于(n-1)階行列式命題成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設n階行列式D=det(ai

7、j), 把D上下翻轉、或逆時針旋轉90°、或依副對角線翻轉, 依次得 , , , 證明, D3=D . 證明因為D=det(aij), 所以 . 同理可證 . . 7. 計算下列各行列式(Dk為k階行列式): (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解 (按第n行展開) =an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3); 解 根據第6題結果, 有 此行列式為范德蒙德行列式. . (4); 解 (按第1行展開) . 再按最后一行展開得遞推公式

8、 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an¹0. 解 . 8. 用克萊姆法則解下列方程組: (1); 解 因為 , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因為 , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性