1、WORD格式"概率論與數理統計"習題及答案習題二1.一袋中有5 只乒乓球，編號為1， 2， 3， 4，5，在其中同時取 3 只，以 X 表示取出的3 只球中的最大，寫出隨機變量X 的分布律 .【解】X3,4,5P( X3)10.1C53P( X4)30.3C 53P( X5)C 420.6C53故所求分布律為X345P0.10.30.62.設在 15 只同類型零件中有 2只為次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽樣，以 X 表示取出的次品個數，求： 1 X 的分布律； 2 X 的分布函數并作圖；(3)P X1, P1 X3, P1X3, P1 X 2 .222【解

2、】X 0,1,2.P( X0)C13322 .C33515P( X1)C12C13212 .C15335P( X2)C1311C153.35故 X 的分布律為X012P22121353535專業資料整理WORD格式1專業資料整理WORD格式（ 2 當 x<0 時， F x =P X x =0當 0x<1 時， F x =P X x =P(X=0)= 2235當 1x<2 時， F x =P X x =P(X=0)+ P(X=1)= 3435當 x2 時， F x =P Xx =1故 X 的分布函數0,x022 ,0x1F (x)3534 ,1x2351,x2(3)P( X1

3、)F (1)22 ,2235P(1X33) F(1)34340)F (353522P(1X3)P( X1) P(1 X3 )122235P(1X2)F (2)F(1) P(X2)34110.35353.射手向目標獨立地進展了3 次射擊，每次擊中率為0.8，求 3 次射擊中擊中目標的次數的分布律及分布函數，并求3 次射擊中至少擊中2 次的概率 .【解】設 X 表示擊中目標的次數.那么 X=0， 1， 2， 3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C31 0.8(0.2)20.096P(X2)C32 (0.8) 2 0.2 0.384P(X3)(0.8)30.512故 X 的分布律為X012

4、3P0.0080.0960.3840.512分布函數0,x00.008,0x1F (x)0.104,1x20.488,2x31,x3P( X2)P(X 2)P( X3)0.896專業資料整理WORD格式2專業資料整理WORD格式4. 1 設隨機變量X 的分布律為kP X=k= a，k!其中 k=0， 1， 2，, ， 0為常數，試確定常數 a.2 設隨機變量 X 的分布律為P X=k= a/N，k=1， 2， , ， N，試確定常數 a.【解】 1 由分布律的性質知k1P( Xk)ak!a ek 0k0故ae(2) 由分布律的性質知1NP( XNaak)Nk1k1即a1.5.甲、乙兩人投籃，投

5、中的概率分別為0.6,0.7,今各投3 次，求： 1 兩人投中次數相等的概率 ; 2 甲比乙投中次數多的概率 .【解】 分別令 X、Y 表示甲、乙投中次數，那么Xb 3， 0.6 ,Yb(3,0.7)(1)P( XY)P(X0,Y0)P( X1, Y1)P( X2,Y2)P( X3,Y3)(0.4)3 (0.3)3C130.6(0.4)2 C31 0.7(0.3)2+C32 (0.6)2 0.4C32 (0.7)2 0.3(0.6)3 (0.7)30.32076(2)P( XY)P(X1, Y0)P( X2,Y0)P( X3,Y0)P( X2,Y1)P( X3,Y1)P(X3,Y2)C13 0

6、.6(0.4)2 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4(0.3)3(0.6)3 (0.3)3C32 (0.6)2 0.4C13 0.7(0.3)2(0.6)3 C31 0.7(0.3)2(0.6)3 C32 (0.7)2 0.3=0.243專業資料整理WORD格式3專業資料整理WORD格式6.設某機場每天有 200 架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率設為0.02，且設各飛機降落是相互獨立的 .試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】 設 X 為某一時刻需立即降落的飛機數，那么Xb(200,0

7、.02) ，設機場需配備N 條跑道，那么有P( XN )0.01200即C200k(0.02) k (0.98) 200 k0.01k N 1利用泊松近似np2000.02 4.P(X N)e 4 4k0.01k N 1k !查表得 N9.故機場至少應配備9 條跑道 .7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001, 在某天的該時段內有 1000 輛汽車通過，問出事故的次數不小于 2 的概率是多少利用泊松定理？【解】 設 X 表示出事故的次數，那么Xb 1000， 0.0001P(X2)1P(X0)P(X1)1 e 0.1 0.1 e 0.18.在五

8、重貝努里試驗中成功的次數X 滿足 P X=1= P X=2 ，求概率 P X=4.【解】 設在每次試驗中成功的概率為p，那么C51 p(1p) 4C52 p2 (1p) 3故p1314 210所以4P(X 4)C5 (3)3243.9.設事件 A 在每一次試驗中發生的概率為0.3，當 A 發生不少于3 次時，指示燈發出信號，1進展了 5 次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率；2進展了 7 次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率.【解】 1 設 X 表示 5 次獨立試驗中A 發生的次數，那么X6 5， 0.35C 5k (0.3) k (0.7) 5kP(X 3)0.16308k 3(2) 令 Y

9、 表示 7 次獨立試驗中A 發生的次數，那么Yb 7， 0.37C7k (0.3) k (0.7) 7kP(Y 3)0.35293k3專業資料整理WORD格式4專業資料整理WORD格式10.某公安局在長度為t 的時間間隔內收到的緊急呼救的次數X 服從參數為 1/2t 的泊松分布，而與時間間隔起點無關時間以小時計. 1 求某一天中午12 時至下午3 時沒收到呼救的概率； 2 求某一天中午12 時至下午5 時至少收到1 次呼救的概率 .35【解】 1P( X0)e 2(2)P( X1) 1P(X 0) 1e 211.設 P X=k= C2kpk(1p)2 k, k=0,1,2P Y=m= C4mp

10、m(1p)4m ,m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X， Y 的概率分布，如果P X 1=5，試求 P Y 1.9【解】 因為 P( X1)54，故 P(X 1).99而P( X1)P(X 0)(1p) 2故得(1p)24 ,9即p1 .365從而P(Y1)1 P(Y0)1(1p) 40.802478112.某教科書出版了2000 冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000 冊書中恰有 5 冊錯誤的概率 .【解】 令 X 為 2000 冊書中錯誤的冊數，那么Xb(2000,0.001). 利用泊松近似計算 ,np20000.001 2得P( X5)e 2 250.00185

11、!13.進展某種試驗， 成功的概率為3 ，失敗的概率為1.以X表示試驗首次成功所需試驗的次44數，試寫出X 的分布律，并計算X 取偶數的概率.【解】 X1,2, k,P(X k)( 1)k 1 344P(X 2)P(X 4)P( X 2k)13(1)3 3( 1)2k 1 3444444專業資料整理WORD格式5專業資料整理WORD格式31144 1(1)25414.有 2500 名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1 月 1 日須交 12 元保險費， 而在死亡時家屬可從保險公司領取 2000 元賠償金 .求： 1 保險公

12、司賠本的概率 ; 2 保險公司獲利分別不少于10000 元、 20000 元的概率 .【解】 以“年為單位來考慮 . 1 在 1 月 1 日，保險公司總收入為2500× 12=30000 元 .設 1 年中死亡人數為 X，那么 Xb(2500,0.002) ，那么所求概率為P(2000 X30000)P( X15)1P( X14)由于 n 很大， p 很小，=np=5，故用泊松近似，有14e 55kP( X15)10.000069k0k !(2) P(保險公司獲利不少于 10000)P(30000 2000 X10000) P( X10)10 e5 5k0.986305k 0k !即

13、保險公司獲利不少于10000 元的概率在98%以上P保險公司獲利不少于20000P(300002000 X20000) P( X 5)5e5 5k0.615961k !k0即保險公司獲利不少于20000 元的概率約為 62%15.隨機變量X 的密度函數為f(x)=Ae |x|,<x<+ ,求： 1 A 值； 2 P0< X<1;(3)F(x).【解】 1 由f ( x)dx 1得1Ae |x|dx20Ae x dx2A故1A.2(2)p(0X 1)11xdx1e1)2e(102(3)當 x<0 時，F ( x)x 1 xdx1xe2e2專業資料整理WORD格式6專

14、業資料整理WORD格式當 x 0 時，F ( x)x 1|x|0 1 xx 1xdxedxe dxe220211 ex21 ex,x0故F ( x)211 e * 0216.設某種儀器內裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X 的密度函數為100 ,x100,f(x)=x20,x100.求： 1 在開場 150 小時內沒有電子管損壞的概率；（ 2 在這段時間內有一只電子管損壞的概率；（ 3 F x .【解】1P( X150)150 1001100 x2dx.3p1P( X150) 3( 2)38p2 C311 ( 2) 24327(2)339(3)當 x<100 時 F x=0xf (t

15、)dt當 x 100 時F ( x)100f (t )dtxf (t)dt100x 100dt100100t21x1100100故F ( x)x, x0,x 017.在區間 0， a上任意投擲一個質點，以X 表示這質點的坐標，設這質點落在0， a中任意小區間內的概率與這小區間長度成正比例，試求X 的分布函數 .【解】由題意知 X 0, a，密度函數為10 xaf ( x),a0,其他故當 x<0 時 F x =0當 0 x a 時F ( x)xxx 1xf (t )dtf (t)dt0 adt0a專業資料整理WORD格式7專業資料整理WORD格式當 x>a 時， F x =1即分布

16、函數0,x0F ( x)x ,0 xaa1,xa18.設隨機變量X 在 2， 5上服從均勻分布 .現對 X 進展三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于 3的概率 .【解】 XU 2,5 ，即12 x5f ( x),30,其他P( X3)5 12dx33 3故所求概率為p C32 ( 2 )21C33( 2)3203332719.設顧客在某銀行的窗口等待效勞的時間X以分鐘計 服從指數分布E (1) .某顧客在窗口5等待效勞， 假設超過 10 分鐘他就離開 .他一個月要到銀行5 次，以 Y 表示一個月內他未等到效勞而離開窗口的次數，試寫出Y 的分布律，并求P Y 1.【解】 依題意知 X E(1)

17、 ，即其密度函數為5xf ( x)1e 5,x05x00,該顧客未等到效勞而離開的概率為xP( X 10)1 e 5dxe 210 5Y b(5,e 2 ) ,即其分布律為P(Yk)C5k (e 2 )k (1e 2 )5 k , k 0,1,2,3, 4,5P(Y1)1 P(Y 0)1 (1 e 2 )50.516720.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X 服從 N 40， 102；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X 服從 N50， 42 .（ 1假設動身時離火車開車只有 1 小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些？（ 2 又假設離火車開車時間只有

18、 45 分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些？【解】 1假設走第一條路， XN 40， 102，那么專業資料整理WORD格式8專業資料整理WORD格式P( X60)Px406040(2)0.977271010假設走第二條路， XN 50， 42，那么P( X60)PX506050(2.5)0.9938 +44故走第二條路乘上火車的把握大些. 2假設 XN40， 102，那么P( X45)PX404540(0.5)0.69151010若 XN 50， 42，那么P(X45) PX 5045 50( 1.25)441(1.25)0.1056故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設 XN3， 22，

19、1 求 P2< X5 ， P4<X10 ， P X 2 ， P X 3;（ 2 確定 c 使 P Xc= P X c.專業資料整理WORD格式【解】 1P(2X5)P23X353專業資料整理WORD格式222(1)1(1)11220.841310.69150.5328P(4 X10)43X 3103P2227720.99962P(|X|2)P( X2)P( X2)X323X32 3PP222211515222120.691510.99380.6977專業資料整理WORD格式9專業資料整理WORD格式X 33-30.5P(X 3) P(2)1(0)2(2) c=322.由某機器生產的

20、螺栓長度cmXN 10.05,0.062,規定長度在10.05±0.12 內為合格品 ,求一螺栓為不合格品的概率 .【解】 P(| X 10.05| 0.12)PX 10.050.120.060.061(2)(2)21(2)0.045623.一工廠生產的電子管壽命X小時服從正態分布2，假設要求 P120 X 200N 160， 0.8，允許最大不超過多少？【解】 P(120 X 200)P120160X160200 160專業資料整理WORD格式故24.設隨機變量X 分布函數為4040400.8214031.251.29專業資料整理WORD格式A Be xt ,x0,F x =x(0

21、),0,0.（ 1 求常數 A，B；（ 2 求 P X2 ，P X3；（ 3 求分布密度 f x.limF ( x)1A1【解】 1由x得lim F ( x)lim F ( x)B1x 0x02P( X2)F(2) 1e 2P( X3)1F (3)1(1e 3 )e 3(3) f ( x)F (x)e x ,x00,x025.設隨機變量 X 的概率密度為x,0x1,f x =2x,1x2,0,其 他.求 X 的分布函數F x，并畫出f x及 F x .專業資料整理WORD格式10專業資料整理WORD格式【解】 當 x<0 時 F x =0當 0x<1 時F ( x)xtdt0當 1

22、x<2 時F ( x)x0xf (t )dtf (t )dtf (t )dt0x22xf (t )dt01x專業資料整理WORD格式f (t )dtf (t)dtf (t)dt011xt )dttdt(20 11 x2 32x2 2 2x212x2當 x2 時F ( x)x1f (t )d t專業資料整理WORD格式0,x0x2,0x1故F ( x)2x22x1,1x221,x226.設隨機變量 X 的密度函數為 1 f(x)=ae|x|, >0;bx,0x1,(2)f(x)=1 ,1x2,x20,其他.試確定常數 a,b，并求其分布函數F x .【解】 1 由f ( x)dx1知

23、1ae|x|dx2aexdx0故a22ex ,即密度函數為f (x)2e x當 x 0 時F ( x)xxexdx1 exf (x)dx222 ax 0x 0專業資料整理WORD格式11專業資料整理WORD格式當 x>0 時F (x)x0e xdxxe xdxf ( x)dx1 ex20212故其分布函數11 ex ,x0F ( x)21 ex,x02(2) 由1f ( x)d x121b1bxdxx2 dx2201得b=1即 X 的密度函數為x,0x1f (x)11x2x2 ,0,其他當 x 0 時 F x =0xf ( x)dx0x當 0<x<1 時F ( x)f (x)

24、dxf (x)dx0x x2xdx0 2當 1x<2 時F ( x)x01x1f ( x)dx0dxxdxx2 dx31012 x當 x 2 時 F x =1故其分布函數為0,x0x20x1,F ( x)231 , 1x22x1,x227.求標準正態分布的上分位點，（ 1 =0.01，求z ; 2=0.003，求z，z/ 2 .【解】 1P( Xz )0.01專業資料整理WORD格式12專業資料整理WORD格式即1( z )0.01即( z ) 0.09故z2.332 由P(Xz ) 0.003得1(z )0.003即( z ) 0.997查表得z2.75由P( X z /2 )0.00

25、15得1( z /2 )0.0015即( z /2 )0.9985查表得z / 22.9628.設隨機變量X 的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求 Y=X2的分布律 .【解】 Y 可取的值為0， 1， 4， 9P(Y0)P( X0)15P(Y1)P( X1171) P(X 1)15306P(Y4)P( X12)5P(Y9)P( X3)1130故 Y 的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3029.設 P X=k=(1)k, k=1,2,令2Y1,當 X 取偶數時1,當X取奇數時 .專業資料整理WORD格式13專業資料整理WORD格式求隨機變量X 的函數

26、Y 的分布律 .【解】 P(Y1)P( X2)P(X4)P( X2k )( 1)2( 1)4( 1)2 k222( 1) /(11)1443P(Y21) 1 P(Y 1)330.設 XN0， 1 .（ 1 求 Y=eX的概率密度；（ 2 求 Y=2X2+1 的概率密度；（ 3 求 Y= X的概率密度 .【解】 1 當 y 0 時，FY(y)P(Yy)0當 y>0 時，( )()(ex)(ln)y P XyFY y P Y y Pln yf X (x)dxfY( y)dFY ( y)11 1eln2 y / 2故dyyf x (ln y), y 0y2(2) P(Y2X 211)1當 y 1 時()()0FYyP Yy當y>1時 FY ( y)P(Yy)P(2X21y)P X 2y 1Py 1Xy 1222( y1)/ 2fX ( x)