1、1異面直線所成的角2例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1；ABCDD1C1B1A13例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1；ABCDD1C1B1A14例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面

2、直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1；ABCDD1C1B1A15例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A16例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；D1ABCDD1

3、C1B1A17例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A18例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A19例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA

4、 A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；D1ABCDD1C1B1A110例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1與與CDCD；ABCDD1C1B1A111例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1

5、C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1與與CDCD；（4 4）ABAB1 1與與BCBC1 1。ABCDD1C1B1A112例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1與與CDCD；（4 4）ABAB1 1與與BCBC1

6、1。ABCDD1C1B1A113例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1 1與與CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1與與CDCD；（4 4）ABAB1 1與與BCBC1 1。ABCDD1C1B1A114例例1 1 在正方體在正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求求以下各對異面直線所成的角：以下各對異面直線所成的角：（1 1）ABAB與與CCCC1 1；（2 2）ABAB1

7、1與與CDCD1 1；（3 3）ABAB1 1與與CDCD；（4 4）ABAB1 1與與BCBC1 1。ABCDD1C1B1A115例例2 2 已知空間四邊形已知空間四邊形ABCDABCD中，中， F F、G G分別是分別是BC,ADBC,AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AC=BD=2AC=BD=2，F(xiàn)G= FG= ，求異面直線，求異面直線AC,BDAC,BD所成的所成的角。角。 3FGABCD16例例2 2 已知空間四邊形已知空間四邊形ABCDABCD中，中， F F、G G分別是分別是BC,ADBC,AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AC=BD=2AC=BD=2，F(xiàn)G= FG= ，求異面直線，求異面直線AC,BDA

8、C,BD所成的所成的角。角。 3MFGABCD17例例2 2 已知空間四邊形已知空間四邊形ABCDABCD中，中， F F、G G分別是分別是BC,ADBC,AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AC=BD=2AC=BD=2，F(xiàn)G= FG= ，求異面直線，求異面直線AC,BDAC,BD所成的所成的角。角。 3MFGABCD18例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBA19例例3 3 如圖，在正方體如圖

9、，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAQ20例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAP21例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B

10、1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBA22例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD所成角的大小；所成角的大小；MA1B1C1D1DCBAR23例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正

11、方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角的大小；（2 2）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBA24例例3 3 如圖，在正方體如圖，在正方體ACAC1 1中，中，M M、N N分別是分別是A A1 1B B1 1、BBBB1 1的中的中點(diǎn)，求：點(diǎn)，求：（1 1）異面直線）異面直線AMAM與與CNCN所成角的大小；所成角

12、的大小；（2 2）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD所成角的大小；所成角的大小；（3 3）異面直線）異面直線AMAM與與BDBD1 1所成角的大小。所成角的大小。MA1B1C1D1DCBAS25長方體長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm， ADAD= =1cm1cm，求異面直線，求異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。取BB1的中點(diǎn)M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角）O

13、1MDB1A1D1C1ACB解：解：為什么？為什么？26解法二解法二：方法歸納：方法歸納：補(bǔ)形法補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。 3,52,51111=ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11=ECAA1C1與與BD1所成角的余弦值為所成角的余弦值為如圖，補(bǔ)一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面如圖，補(bǔ)一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)連結(jié)A1E，C1E，則，則 A1C1E為為A1C1與與

14、BD1所成的角所成的角(或補(bǔ)角或補(bǔ)角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體的方體B1F，5527例例5、解答題、解答題已知正方體的棱長為已知正方體的棱長為 a , M a , M 為為 AB AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn), N , N 為為 B BB B1 1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求 A A1 1M M 與與 C C1 1 N N 所成角的余弦值。所成角的余弦值。解：解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取如圖，取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)E, 連連BE, 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中點(diǎn)的中點(diǎn)G,連連BG. 有有BG C C1 1N N 則則EBG即為所求角。即為所求角。BG=BE=

15、 a, F C1 = a由余弦定理，由余弦定理， cosEBG=2/5F取取EB1的中點(diǎn)的中點(diǎn)F，連，連NF,有有BENF則則FNC為所求角。為所求角。想一想：想一想：還有其它定角的方法嗎？還有其它定角的方法嗎？2526在在EBG中中28（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小結(jié)：小結(jié)：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面 角，角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的 范圍：范圍： （1） 當(dāng)當(dāng) cos 0 時，所成角為時，所成角為 （2） 當(dāng)當(dāng) cos 0 時，所成角為時，所成角為 （3） 當(dāng)當(dāng) cos = 0 時，所成角為時，所成角為 3、當(dāng)異面直線當(dāng)異面直線垂直垂直時，還可應(yīng)用線面垂直的有時，還可應(yīng)用線面垂直的有 關(guān)知識關(guān)知識解決。解決。90o（2）補(bǔ)形法）補(bǔ)形法化歸的一般步驟是：化歸的一般步驟是： 定角定角求角求角29說明說明：異面直線所成角的范圍是（：異面直線所成角的范圍是（0， ，在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，當(dāng)形中的角，常用余弦定理求其大小，當(dāng)余弦余弦值為負(fù)值值為負(fù)值時，其對應(yīng)角為鈍角，這時，其對應(yīng)角為鈍角，這不符合不符合兩兩條