1、返回 矩 陣 理 論返回導導 引引1、矩陣方法在電路網絡中的應用、矩陣方法在電路網絡中的應用E(t)abcd1R2R5R4R3RR6返回)(0)()()(621atititi結點結點 KCL(基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律: :在集總電路中，任何時刻，在集總電路中，任何時刻，對任意結點對任意結點,所有流出結點的支路電流的代數和恒等所有流出結點的支路電流的代數和恒等于零于零 ) )的矩陣表示的矩陣表示)(0)()()(541btititi結點結點 )(0)()()(532ctititi結點結點 )(0)()()(643dtititi結點結點 返回0)()()()()()(10110001011

2、0011001100011654321 titititititi返回12221111111111(,),jnjnnnnnjnnxxxxxxV xxxxxxxC ，其其中中（）2. 在數值計算中的應用（在數值計算中的應用（Vandermonder矩陣）矩陣）出現在多項式插值中出現在多項式插值中, 諧波恢復中諧波恢復中返回22121242(1)12(1)(1)2(1,)1111111.其其中中 nnnnnninFVe F稱為稱為Fourier矩陣，出現在離散矩陣，出現在離散Fourier分析分析及快速及快速Fourier變換中變換中.返回3. 盲信號分離中的應用盲信號分離中的應用在離散時間t時刻，

3、n個未知源信號S(t)=s1(t), sn(t)T被m個傳感器觀測到的信號X(t)=x1(t), xm(t)T，加性噪聲V(t)=v1(t), vm(t)T，則觀測信號和源信號之際的關系如下： X(t)=AS(t)+V(t)，其中A=(aij)為mn的未知列滿秩混合矩陣， AT表示矩陣A的轉置。為了討論方便，這里假設無噪音，因此模型如下： X(t)=AS(t) (簡記X=AS)。返回假設傳感器的個數m大于等于信號源的個數n，各信號源si(t) (i=1, , n)之間相互獨立，在此情況下，BSS的目標就是根據累積量矩陣找到一個mn的分離矩陣W，使得 Y=WX=WAS是S的一個近似。 從上述表達

4、式可以看出，分離矩陣W可以看作是混合矩陣A的某種“廣義逆矩陣”。返回根據假設源信號的統計規律，觀測信號的二階和高階累積量矩陣組具有可聯合對角化結構，可歸結為數學問題如下：首先，根據觀測信號得到一組實對稱的矩陣組G1, , Gk，其中Gi具有如下結構 Gi=AiAT，i=1, , k，其中i是nn的未知的對角矩陣；其次，對給定矩陣組G1, , Gk利用聯合對角化算法，估計混合矩陣A或者分離矩陣W；最后，計算得到源信號的估計 Y=WX。此類算法屬于非正交算法。返回 利用正交矩陣具有的性質，可把觀測信號作白化預處理，然后再利用白化后的信號計算累積量矩陣，此時獲得的累積量矩陣組具有可正交聯合對角化結構

5、。歸結為數學問題如下：首先，對觀測信號X作白化處理得到白化后的信號Z=BX，其中B為白化矩陣；其次，根據白化后觀測信號Z計算得到一組實對稱的累積量矩陣組G1, , Gk，其中Gi具有如下結構 Gi=UiUT，i=1, , k, 其中i是nn的未知的對角矩陣，UUT=UTU=I，I表示單位矩陣。返回 最后，對給定累積量矩陣組G1，Gk利用正交聯合對角化算法，估計混合矩陣U，并計算得到源信號的估計 Y=UTZ= UTBX。返回 nnnnnngggggggggG2122221112114、信號濾波的矩陣分析：、信號濾波的矩陣分析： NsX s 返回5. Google矩陣。遷移概率矩陣，仍記為鏈接數。

6、這個矩陣稱為矢量除以各自（全概率），把各個列總和為轉置。為了將各列失量矩陣是把矩陣，的方陣，稱為為數，那么來表示頁面。如果；否則有鏈接，則向頁面若從頁面。用來表達網頁鏈接關系為網頁關聯矩陣，矩陣定義：AAPageRankGoogleNNANaajiaAijijij101 : )(Google 返回返回 在互聯 網上，如果一個網頁被很多其它網頁所鏈接，說明它受到普遍的承認和信賴，那么它的排名就高。這就是 PageRank 的核心思想。 當然 Google 的 PageRank 算法實際上要復雜得多。比如說，對來自不同網頁的鏈接對待不同，本身網頁排名高的鏈接更可靠，于是給這些鏈接予較大的權重。Pa

7、geRank 考慮了這個因素，可是現在問題又來了，計算搜索結果的網頁排名過程中需要用到網頁本身的排名，這不成了先有雞還是先有蛋的問題了嗎？ 返回Google 的兩個創始人拉里佩奇 （Larry Page ）和謝爾蓋.布林 (Sergey Brin) 把這個問題變成了一個二維矩陣相乘的問題，并且用迭代的方法解決了這個問題。他們先假定所有網頁的排名是相同的，并且根據這個初始值，算出各個網頁的第一次迭代排名，然后再根據第一次迭代排名算出第二次的排名。 他們兩人從理論上證明了不論初始值如何選取，這種算法都保證了網頁排名的估計值能收斂到他們的真實值。值得一提的是，這種算法是完全沒有任何人工干預的。 返回

8、 理論問題解決了，又遇到實際問題。因為互聯網上網頁的數量是巨大的，上面提到的二維矩陣從理論上講有網頁數目平方之多個元素。如果我們假定有十億個網頁，那么這個矩陣 就有一百億億個元素。這樣大的矩陣相乘，計算量是非常大的。拉里和謝爾蓋兩人利用稀疏矩陣計算的技巧，大大的簡化了計算量，并實現了這個網頁排名算法。今天 Google 的工程師把這個算法移植到并行的計算機中，進一步縮短了計算時間，使網頁更新的周期比以前短了許多。 返回6 機械力學全長370米，寬4米，主跨144米，2000年6月10日開通。返回中新浙江網11月7日電 倫敦千禧橋在2000年剛開放兩天之后就關閉了，原因是在2000年6月這座橋的

9、開放的那一天，當擁擠的人群走過的時候，這個鋼筋結構的，320米長的大橋開始從一邊向另一邊搖晃。據路透社倫敦報道科學家最新發現，千禧橋的搖晃不穩，是一種自然現象，而不是設計上的失誤，引起這個搖晃的原因是一種叫做集體同步的現象。“這種現象是指隨意地，按照他們自己最喜歡的速度行走的人們，在沒有任何組織的情況下，不自覺地使用同一種頻率行走。”紐約康奈爾大學(Cornell University)的斯蒂文斯道格茲說。“就是這種現象。人們為什么會開始同步移動？他們完全是下意識的。這種情況是誰也沒有想到，而設計橋的工程師也不曾預料到的。”應用數學家和有關專家說，現在，集體同步現象應該是橋梁工程師在設計的時候

10、就應該考慮到的問題。返回斯道格茲和他在康奈爾大學以及美國、英國和德國其他大學的同事基于發生在千禧大橋身上的事，設計出了一種理論，用來計算一座步行橋需要多少阻尼和穩定減搖作用。他們的這一發現將在科學期刊自然上發表。在一次采訪中，他說：“我們認為我們的這個理論會為幫助橋梁設計師避免這樣的問題提供一些指導。” 一定會有其他的可能發生集體同步現象的巧合情況。在倫敦千禧橋搖晃的事件中，是大批的人群穿過一步行橋，而這座橋的震動頻率在每秒一周，恰好和人的步行頻率相等。“人和橋產生了共振”，斯道格茲說。 當橋開始搖晃的時候，人們為了穩住自己而在搖晃中加緊步伐。他們為了更容易行走而加大了自己的步幅，而這樣做使他

11、們在無意中加劇了大橋的搖晃。返回“很多人在責備這座漂亮的，樣式新穎的千禧大橋，認為是它的設計過于先鋒導致的不穩固。而實際上并不是這樣的。”在自然界，有很多集體同步現象發生。比如蟋蟀會同時鳴叫。在某些地方，很多螢火蟲會完全同步地一明一暗，像圣誕樹上的彩燈一樣。而住在一起的女人也會有月經趨于同步的現象。“這總是令人震驚甚至是詭異的，因為就像是從混亂中理出了頭緒，”斯道格茲說。在花費了5百萬英鎊和關閉20個月對它進行整修和加固以后，倫敦千禧橋在2002年2月成功地重新開放通行了。返回一個質點-彈簧系統返回 二次特征值問題在很多領域有其應用，例如：機械力學的動力分析中，流體力學的線性穩定性等領域。返回

12、一、線一、線 性性 空空 間間中定義加法：中定義加法：在在是一個數域是一個數域是一非空集合，是一非空集合，設設VPV.1、什么是線性空間？、什么是線性空間？如果如果之間定義數量乘法：之間定義數量乘法：與與在在.; kPVv 加法與數量乘法滿足：加法與數量乘法滿足：)()1加法交換律加法交換律 )()()()2加法結合律加法結合律 )(0,0)3加法零元加法零元有有 VV4),0()VV使得加法負元素返回 1)5 )()()6kllk lklk )()78)()kkk.VP則 稱為數域 上的線性空間.2向量空間向量空間判斷下列集合是否構成判斷下列集合是否構成1)空間中不平行于一已知 向量 的全體

13、向量所構成成的的集集合合. .2)(1)Pn n數域 上次數等于定數 的多項式全體所構構成成的的集集合合. .其中的元素也稱為向量.返回陣的全體所成的集合，陣的全體所成的集合，階對稱矩陣與反對稱矩階對稱矩陣與反對稱矩n)34)?R全體實數的集 是否構成實數域上的線 性空間?是否構成復數域上的線 性空間件中，“加法滿足件中，“加法滿足線性空間定義的八個條線性空間定義的八個條證明證明:3.交換律”不是獨立的交換律”不是獨立的證：證：V ,)(2 22 )11()11( 1111 )()(2 )(11( )(1)(1 返回 1111 )( )( )( 返回121221dim.nnVnVnVVVn 定

14、義 在線性空間 中，如果有 個向量 , ,線性無關, 而 中任意個向量線性相關, 則稱 , ,為的一組基底, 線性空間的一組基底中向量個數稱為線性空間的維數，記為. 4與一組基與一組基求下列線性空間的維數求下列線性空間的維數1)n nPnP數域 上全體 階方陣構成的空間 ，2).n nPP中全體對稱矩陣構成數 域 上的空間解：解：njiEPijnn, 2 , 1,)1 基為基為2)dim(nPnn 返回njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn維數為維數為返回可交換的矩陣組可交換的矩陣組，證明：全體與，證明：全體與設設APAnn 5( ).C A成的一個子空間，記為 證證EAA

15、E ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA :,.PVWVWV定定義義3 3 如如果果數數域域 上上的的線線性性空空間間 的的一一非非空空子子集集對對于于 的的兩兩種種運運算算也也構構成成線線性性空空間間 則則稱稱是是 的的線線性性子子空空間間返回AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的子空間的子空間是是nnPAC 則則的兩個非平凡子空間，的兩個非平凡子空間，是線性空間是線性空間、設設VVV21. 6.21同時成立同時成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空間是非平凡子空間1V證：證：1V 存在向