1、一元二次方程根與系數的關系【同步教育信息】一. 本周教學內容： 一元二次方程的根與系數的關系學習目標 1. 熟練掌握一元二次方程根與系數的關系（即：韋達定理及逆定理）； 2. 靈活運用一元二次方程根與系數關系確定字母系數的值；求關于兩根的對稱式的值；根據已知方程的根，構作根滿足某些要求的新方程。 3. 在解題中鍛煉分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力； 4. 提高自己綜合運用基礎知識分析解決較復雜問題的能力。 5. 體會特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律，有意培養自己發現規律的興趣，及樹立勇于探索規律的精神。二. 重點、難點： 1. 教學重點： 一元二次方程根與系數關系及其推導和應用

2、，注意往往不解方程，用兩根和與積或各系數就可解決問題，這時解了方程反而更麻煩。 2. 教學難點： 正確理解根與系數的關系，掌握配方思想，把某些代數式配成兩根和與積的形式才能將系數代入。【典型例題】 例1. 已知方程的一個根是，求它的另一個根及b的值。 分析：含字母系數的一元二次方程中，若已知它的一個根，往往由韋達定理可求另一根，并確定字母系數的值。 解：（方法一）設方程的另一根為，則由方程的根與系數關系得： 解得： （方法二）由題意： 解得： 根據韋達定理設另一根為x，則 點撥：解法一較簡單，主要原因是突出了求解的整體性。 例2. 已知方程的兩根為，求下列代數式的值： （1）；（2）；（3）

3、分析：若方程兩根，則不解方程，可求出關于的對稱式的值，只須將其配成含有、的形式。 解：由已知，根據韋達定理 （1） （2） （3） 點撥：體會配方思想，將代數式配成含有的形式，再代系數即可。 例3. 已知：是兩個不相等的實數，且滿足，那么求的值。 分析：由兩個條件可得出為方程的兩不等實根，再對所求代數式配方變形。 解：由題意，為的兩個不等實根 因而有 又 點撥：善于轉化未見過的題，充分挖掘已知條件。 例4. 已知關于x的一元二次方程與有一個相同的根，求k的值。 解：（解法一）設方程兩根、，方程的兩根，則有： 由 當時，代入 當時，由 代入 則 代入 把代入中， 或 （解法二）將與相減得： 此時

4、方程根為0或，即題中兩方程相同根為0或 （1）若是0則； （2）若是，則； 或 點撥：兩種解法各有千秋，一運用了解方程組思想，二運用了“若方程與有公共根，則公共根必滿足方程”的結論。 例5. 已知方程 （1）若方程兩根之差為5，求k。 （2）若方程一根是另一根2倍，求這兩根之積。 分析：對含字母系數的一元二次方程，可根據題設中方程根與系數關系，確定方程系數字母的值。 解：（1）設方程兩根與，由韋達定理知： 又 （2）設方程兩根，由根系關系知： 點撥：已知兩根的關系，應用韋達定理解決系數求值問題。 例6. 已知方程兩根之比為1：3，判別式值為16，求a、b的值。 分析：必用判別式，又韋達定理知，

5、顯然可求a、b。 解：設已知方程的兩根為m，3m 由韋達定理知： 即 把代入 得： 點撥：把判別式、韋達定理綜合出題，更易貫通新舊知識。 例7. 已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根。 （1）用含m的代數式表示； （2）當時，求m的值。 分析：應注意，即可用根系關系。 解：（1）由題意： （2）由（1）得： 解得： 檢驗：當時，原方程無實根。 舍去 當時，原方程有實根。 點撥：易忽略檢驗，要學會靈活應用一元二次方程有關概念，及判別式，根系關系。 例8. 已知方程的兩根為，求一個一元二次方程，使它兩根為和。 分析：所求方程，只要求出的值即可，轉化成例2類型了。 解：設所求一元二次方程為 為方程

6、的兩根 由韋達定理 又 所求一元二次方程為 即： 點撥：應用根系關系構造方程，如果方程有兩實根，那么方程為，當為分數時，往往化成整系數方程。總結擴展 1. 一元二次方程根與系數的關系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積和系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎。 2. 以一元二次方程根與系數的關系的探索與推導，向學生展示認識事物的一般規律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力。 3. 本節課學習了根與系數的關系的應用，主要有如下幾方面：（1）驗根；（2）已知方程的一根，求另一根；

7、（3）求某些代數式的值；（4）求作一個新方程 4. 通過根與系數的關系的應用，能較好地熟悉和掌握了根與系數的關系，由此鍛煉和培養了學生邏輯思維能力。【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一. 選擇題。 1. 已知是關于x的一元二次方程的一個根，則k與另一根分別為（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2 2. 已知方程的兩根互為相反數，則m的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程有兩根，一根大于1,一根小于1.則k的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的兩根中，只有一個是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能確定 5

8、. 方程的大根與小根之差等于（ ） A. B. C. 1 D. 6. 以為根的，且二次項系數為1的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題。 7. 關于x的一元二次方程的兩根互為倒數，則m_。 8. 已知一元二次方程兩根比2：3，則a，b，c之間的關系是_。 9. 已知方程的兩根，且，則_。 10. 已知是方程的兩根，不解方程可得：_，_，_。 11. 已知，則以為根的一元二次方程是_。三. 解答題。 12. 已知方程的兩個實根中，其中一個是另一個的2倍，求m的值。 13. 已知方程的兩根不解方程，求和的值。 14. 已知方程的兩根，求作以為兩根的方程。 15. 設是方程的兩

9、個實根，且兩實根的倒數和等于3，試求m的值。【試題答案】一. 選擇題。1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B二. 填空題。 7. 8. 設，則 9. 或 時，原方程0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答題。 12. 解：設方程的一個根為x，另一根2x 由根系關系知： 解得： 13. 解：由題設條件 14. 解：由題意 即 故所求方程是，即 15. 解： 由 由 不符合題意，舍去 【勵志故事】果斷有一個6歲的小男孩，一天在外面玩耍時，發現了一個鳥巢被風從樹上吹掉在地，從里面滾出了一個嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩決定把它帶回家喂養。當他托著鳥巢走到家門口的時候，他突然想起媽媽不允許他在家里養小動物。于是，他輕輕地把小麻雀放在