1、數學高考綜合能力題選講15立體幾何中的有關證明題型預測立體幾何中的證明往往與計算結合在一起考查。三垂線定理及其逆定理是重點考查的內容。范例選講例1 已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90°，側棱與底面所成的角為（0°<<90°），B在底面上的射影D落在BC上。（1）求證：AC面BBCC。（2）當為何值時，ABBC，且使得D恰為BC的中點。講解：（1） BD面ABC，AC面ABC， BDAC，又ACBC，BCBD=D， AC面BBCC。（2）由三垂線定理知道：要使ABBC，需且只需AB在面BBCC內的射影BCBC。即四邊形BBCC為菱形。

2、此時，BC=BB。因為BD面ABC，所以，就是側棱BB與底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且為BC的中點，所以，此時=。即當=時，ABBC，且使得D恰為BC的中點。例2 如圖：已知四棱錐中，底面四邊形為正方形，側面PDC為正三角形，且平面PDC底面ABCD，E為PC中點。（1）求證：平面EDB平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。講解：（1）要證兩個平面互相垂直，常規的想法是：證明其中一個平面過另一個平面的一條垂線。首先觀察圖中已有的直線，不難發現，由于側面PDC為正三角形，所以，那么我們自然想到：是否有？這樣的想法一經產生，證明它并不是一件困難的事情。 面PDC底面ABCD，交線

3、為DC， DE在平面ABCD內的射影就是DC。在正方形ABCD中，DCCB， DECB。又， DE。又面EDB， 平面EDB平面PBC。（2）由（1）的證明可知：DE。所以，就是二面角的平面角。 面PDC底面ABCD，交線為DC，又平面ABCD內的直線CB DC。 CB面PDC。又面PDC， CBPC。在Rt中，。點評：求二面角的平面角，實際上是找到棱的一個垂面，事實上，這個垂面同時垂直于二面角的兩個半平面。例3如圖：在四棱錐中，平面，為的中點。（1）求證：平面；（2）當點到平面的距離為多少時，平面與平面所成的二面角為？講解：題目中涉及到平面與平面所成的二面角，所以，應作出這兩個平面的交線（即

4、二面角的棱）。另一方面，要證平面，應該設法證明CE平行于面內的一條直線，充分利用中點（中位線）的性質，不難發現，剛剛做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延長BC、AD交于點F。在中，所以，AB、CD都與AF垂直，所以，CD/AB，所以，。又，所以，點D、C分別為線段AF、BF的中點。又因為為的中點，所以，EC為的中位線，所以，EC/SF。又，所以，平面。（2）因為：平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，所以，AB面。過A作AHSF于H，連BH，則BHSF，所以，就是平面與平面所成的二面角的平面角。在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。此時，在SAF中，所以，。在三棱錐S-ACD中，設點A到

5、面SCD的距離為h，則h=因為AB/DC，所以，AB/面SCD。所以，點A、B到面SCD的距離相等。又因為E為SB中點，所以，點E到平面SCD的距離就等于點B到面SCD距離的一半，即。點評：探索性的問題，有些采用先猜后證的方法，有些則是將問題進行等價轉化，在轉化的過程中不斷探求結論。高考真題1（2002年北京高考）如圖：在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側棱延長后相交于E、F兩點，上下底面矩形的長、寬分別為與，且，兩底面間的距離為。（1）求側面與底面所成二面角的大小；（2）證明：（3）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式來計算。已知它的體積公式是。試判斷與的大小關系，并加以證明。（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面） 2.(1997年全國高考)如圖,在正方體中,E,F分