1、常州市教育學會學生學業水平監測注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）本卷滿分160分，考試時間為120分鐘考試結束后，請將本卷和答題卡一并交回2答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效。作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整，筆跡清楚4如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆

2、 高三數學試題 2018年1月一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1若集合，則集合 （第5題）結束開始輸出2命題“”是 命題（選填“真”或“假”）3若復數滿足，則 4若一組樣本數據2015，2017，x，2018，2016的平均數為2017，則該組樣本數據的方差為 5右圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值是 6函數的定義域記作集合隨機地投擲一枚質地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標有點數），記骰子向上的點數為，則事件“”的概率為 7已知圓錐的高為6，體積為8用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是7，則該圓臺的高為 8各項均為正數的等比數列

3、中，若，則的最小值為 9在平面直角坐標系中，設直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點都在y軸左側，則雙曲線C的離心率的取值范圍是 10已知實數滿足則的取值范圍是 1-1（第12題）11已知函數，其中若過原點且斜率為的直線與曲線相切，則的值為 12如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象與軸的交點滿足，則 13在中，為內一點（含邊界），若滿足，則的取值范圍為 14已知中，所在平面內存在點使得，則面積的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知中，分別為三個內角的對邊，（1）求角；（2）若，求的值16（本

4、小題滿分14分）（第16題）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，點是棱上異于P，C的一點（1）求證：； （2）過點和的平面截四棱錐得到截面（點在棱上），求證：17（本小題滿分14分）已知小明（如圖中AB所示）身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點A，O點光源從M發出，小明在地面上的影子記作（1）小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求掃過的圖形面積；（2）若米，小明從A出發，以1米/秒的速度沿線段走到，且米秒時，小明在地面上的影子長度記為（單位：米），求的表達式與最小值 （第17題） 18（本小題滿分16分）xy（第18題）如圖，在平面直角坐標系

5、中，橢圓的右焦點為，點是橢圓的左頂點，過原點的直線與橢圓交于兩點（在第三象限），與橢圓的右準線交于點已知，且（1）求橢圓的離心率； （2）若，求橢圓的標準方程19（本小題滿分16分）已知各項均為正數的無窮數列的前項和為，且滿足（其中為常數），數列滿足（1）證明數列是等差數列，并求出的通項公式；（2）若無窮等比數列滿足：對任意的，數列中總存在兩個不同的項，（），使得，求的公比20（本小題滿分16分）已知函數，其中為常數（1）若，求函數的極值；（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（3）若，設函數在上的極值點為，求證：常州市教育學會學生學業水平監測 數學（附加題） 2018年1月注 意 事

6、項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個小題供選做，每位考生在4個選做題中選答2題若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時間30分鐘考試結束后，請將本卷和答題卡一并交回2 答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3 請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效作答必須用05毫米黑色墨水的簽字筆請注意字體工整，筆跡清楚4 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗5

7、請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆21【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（選修41）A選修41：幾何證明選講在中，N是邊AC上一點，且，AB與的外接圓相切，求的值B選修42：矩陣與變換已知矩陣不存在逆矩陣，求：（1）實數a的值； （2）矩陣的特征向量C選修44：坐標系與參數方程在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線C的參數方程為（為參數），直線l的極坐標方程為，直線l與曲線C交于M，N兩點，求MN的長D選修45：不等

8、式選講 已知，求證：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）已知正四棱錐的側棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小（弧度制）；若這兩條棱所在的直線平行，則；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小（弧度制）（1）求的值；（2）求隨機變量的分布列及數學期望23（本小題滿分10分）記（且）的展開式中含項的系數為，含項的系數為（1）求；（2）若，對成立，求實數的值；（3）對（2

9、）中的實數，用數學歸納法證明：對任意且，都成立常州市教育學會學生學業水平監測高三數學試題參考答案及評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 2真 31 42 57 6 738 9 10 11 12 13 14二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15解：（1）由正弦定理得，中，所以，所以，所以；（2）因為，由正弦定理得，所以，16（1）證明：，所以，記交于點，平行四邊形對角線互相平分，則為的中點，又中，所以，又，所以，又，所以；（2）四邊形是平行四邊形，所以，又，所以，又，所以，又，所以 17解：（1）由題意，所以，小明在地面上的身影

10、掃過的圖形是圓環，其面積為；（2）經過秒，小明走到了處，身影為，由（1）知，所以，化簡得，當時，的最小值為，答：，當（秒）時，的最小值為（米）18解：（1）由題意，消去y得，解得，所以，所以；（2）由（1），右準線方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，橢圓的標準方程為19解：（1）方法一：因為，所以，由-得，即，又，則，即在中令得，即綜上，對任意，都有，故數列是以2為公差的等差數列又，則方法二：因為，所以，又，則數列是以為首項，為公差的等差數列， 因此，即當時，又也符合上式，故，故對任意，都有，即數列是以2為公差的等差數列（2）令，則數列是遞減數列，所以 考察函數，因為，所以在上遞增 因此，

11、從而因為對任意的，總存在數列中的兩個不同項，使得，所以對任意的都有，明顯若，當時，有，不符合題意，舍去；若，當時，有，不符合題意，舍去；故20解：（1）當時，定義域為 ，令，得0極大值 當時，的極大值為，無極小值（2），由題意對恒成立對恒成立對恒成立令， 則，若，即，則對恒成立， 在上單調遞減， 則，與矛盾，舍去；若，即，令，得， 當時，單調遞減，當時，單調遞增， 當時， 綜上（3）當時， 令， 則，令，得 當時，單調遞減， 恒成立，單調遞減，且，當時，單調遞增， 其中， 又， 存在唯一，使得， 當時，單調遞增，當時，單調遞減，且，由和可知，在單調遞增，在上單調遞減， 當時，取極大值又，常州市教育學會學生學業水平監測高三數學（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分A選修41：幾何證明選講解：記外接圓為圓O，AB、AC分別是圓O的切線和割線，所以，又，所以與相似，所以，所以B選修42：矩陣與變換（2），即，所以，解得時，屬于的一個特征向量為；時，屬于的一個特征向量為C選修44：坐標系與參數方程解：曲線，直線，圓心到直線的距離為，所以弦長D選修45：不等式選講證明：，不妨設，則，由排序不等式得，所以【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22解：根據題