1、§ 222 反證法【學情分析】前面我們學習了兩種直接證明問題的方法綜合法和分析法。在以前的學習中， 學生已經(jīng)接觸過用反證法證明數(shù)學命題，本節(jié)課進一步熟悉運用反證法證明某些直接證 明較難解決的數(shù)學問題。教學目標】：（1）知識與技能：結合已學過的數(shù)學實例，了解間接證明的方法反證法；了解反證 法的思考過程、特點（2）過程與方法：能夠運用反證法證明數(shù)學問題（3）情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作 用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習慣【教學重點】了解反證法的思考過程、特點；運用反證法證明數(shù)學問題。【教學難點】運用反證法證明數(shù)學問題。【教學過程設計】教學環(huán)節(jié)教學

2、活動設計意圖、提出 問題問題1、任找370個人，他們中生日有沒有相同的呢？ 冋題2、將9個球分別染成紅色或白色，無論怎樣染， 至少有5個球是同色的，你能證明這個結論嗎？思考：通過以上幾個練習，大家已經(jīng)初步體會到反證 法的作用，你能不能總結一下應用反證法的概念及其步 驟？從實際生活的例子出發(fā)，使學生對反 證法的基本方法和步驟有一個更深刻 的認識。二 、反證 法定 義1:反證法的概念：假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾， 因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立 ，這樣的的證明 方法叫反證法.2:反證法的基本步驟： 1 ）:假設命題結論不成立， 即假設結論的反面成立；2）:從這個假設出發(fā)，

3、經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3）:從矛盾判定假設不正確，從而肯定 命題的結論正確.3:應用反證法的情形：1）：直接證明困難；2）:需 分成很多類進行討論；3 ）:結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”類命題；4 ）:結論為 “唯一”類命題；三、應用例1、已知直線a,b和平面且 a | b，求證 a | 口。解析：讓學生理解反證法的嚴密性和合理性；證明：因為a|b,所以經(jīng)過直線a , b 確定 一個平面P。因為a律u，而a u P , 所以a與B是兩個不同的平面 因為bua，且buB, 所以叩B =b.西a，如果a區(qū)a ,b匚a ,直觀了解反證法的證明過程。否 定結論，推出矛盾。提醒學生： 使用反

4、證法進行證明的關鍵是 在正確的推理下得出矛盾。這個 矛盾可以是與已知條件矛盾，或 與假設矛盾，或與定義、公理、 定理、事實矛盾等。進上步熟悉反證法的證題思路 及步驟。引導學生結合思考題和例題 歸納出反證法所適用的題型特 點和一般步驟。培養(yǎng)學生的歸納下面用反證法證明直線 a與平面ot沒有公共點.假設 直線a與平面ot有公共點P，貝U，即點P是直線a與b的公共點，這與a|b矛盾所以 a |a 點評：用反證法的基本步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論.;第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法， 推出矛盾結果；第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所

5、作的 假定不正確，于是原證不等 利例2、求證：42不是有理數(shù)解析：直接證明一個數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用 反證法假設 J2不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)我們 知道，任一有理 數(shù)都可以寫 成形如 m ( m,n互質， nmvZ,n = N ”的形式.下 面我們看看能否由此推出矛 盾.證明：假設2不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)于是，存在互質的正整數(shù)m,n，使得 J2 = ，從而有n m = y/2n,因此，m2 = 2n2,所以m為偶數(shù)于是可設 m = 2k ( k是正整數(shù))， 從而有4k2 =2n2，即2n = 2k所以n也為偶數(shù)這與 m , n互質矛盾！由上述矛盾可知假設 錯誤，從而v'

6、2是無理數(shù).點評：反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命 題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確 的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命 題正確的一種方法。能力。四、 歸納1. 通過思考題和例題，我們發(fā)現(xiàn)反證法適用于 什么樣的題目？(1) 要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯， 直接由條件推出結論的線索不夠清晰；(2 )如果從正面證明，需要分成多種情形進 行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種 或很少的幾種情形。2. 歸納一下反證法的證題一般步驟：(1 )否定命題的結論；(2) 進行合邏輯的推理；(3) 導出任何一種矛盾；(4) 肯定原命題的結論。五、練習 鞏固1.

7、P91.練習 1.22. 補充：用反證法證明1 2(1)如果x丄，那么X2 +2x1式0.2(2 )求證：過直線外一點，有且只有一條 直線和這條直線平行。通過講評可以及時發(fā)現(xiàn)學生解 題中存在的問題，予以更正。六、知識 小結反證法的證題步驟：(1 )否定命題的結論；(2 )進行合邏輯的推理；(3 )導出任何一種矛盾；(4 )肯定原命題的結論。反證法的適宜題型：(1 )對于起始命題、基本命題、特殊命題， 由于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接 證明的關系，用反證法有時會驟得較好的效果；(2)命題的結論中含“不”、無”等(稱為 否定形式命題)，往往可以考慮反證法；(3 )命題用反面結論較易推出矛

8、盾，適宜 使用反證法；(4)命題結論中含“至多”、“至少”、“超 過”、“不超過”等詞，往往可以考慮反證法；(5 )惟一性的命題，直接證不如反證法更 易于入手。通過小結總結所學，突出重點， 強調難點七、課后 作業(yè)P102習題2.2A組1八、設計反思反證法學生并不陌生，在初中就已有所接觸。通 過本節(jié)課的學習進一步明確其步驟，尋找矛盾 點，哪些題型是適用于反證法證的。感覺學生應 該容易接受。【練習與測試】1用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程 是偶數(shù)時，下列假設中正確的是()A.假設a、b、c都是偶數(shù)C.假設a、b、c至多有兩個是偶數(shù) 答案：Bax2 bx 0(a = 0)有有理根,則a、b、c

9、中至少有一個B.假設a、b、c都不是偶數(shù)D.假設a、b、c至多有兩個是偶數(shù)解：反證法的假設，恰好與結論相反，“至少有一個”的否定是“一個也沒有”。選B。2 用反證法證明命題“若整數(shù)n的立方是偶數(shù)，則 n也是偶數(shù)”如下：假設 n是奇數(shù)，則n=2k+1(k Z),333n =(2k+l) =，這與已知n是偶數(shù)矛盾，所以 n是偶數(shù)。答案：2(4k3 6k23k) 1解：和的立方公式展開n3 =(2k 1)3 =8k3 12k2 6k 1 =2(4k3 6k2 3k) 1答案為 2(4k3 6k23k) 1。3.已知平面工和不在這個平面內的直線 a都垂直于平面：，求證：直線a /平面、；。證明：假設a

10、不平行，則a與必有公共點，設為點 A,過點A在平面 鳥內作直線 c丄b,由壽丄知，c丄：，而a丄：，貝U all c。這與a、c 相交于點A相矛盾，因此，假設錯誤，即a / ：。4.已知函數(shù) f(x)=ax匸？(a 1)。(1)x +1上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程 f(x)=0證明：(1)令 g(x) = =x 1 -3 胡x+1 x+1Sr 宀2 當 XM-1(x+1)在(_：,：)上為增函數(shù)， f (x)在(-1,+證明：函數(shù)f(x)在(-1,+ ：)沒有負根。3x 1時 g'(x) 0在(-1：)上 g(x)為增函數(shù)。/a>1 時，ax：)上為增函數(shù)。x0 二-匸,且

11、 0<ax0<1 x0 1綜合兩種情況知必有(2)設存在 Xo<O (x o =-1)，滿足 f(Xo) =0，貝y a所以0<-豁日，即蘇"2，與假設矛盾，故方程f(x)=0沒有負根。5設a,b, c R,且滿足a b 2,a2 b2 c2 2。證明：a,b,c都是不大于-的非負數(shù)。34證明：假設結論不正確，可設c ： 0或c -3 .222 I2(1 )若 c<0，由 a b c = 2故a b c (a b c)即 a2 b2 c2 = 2ab - 2bc 2ac又得(a -b)2 c = 2c(a b)/ c<0，由上式可得(a+b)<0，從而a+b+c<0與題設a+b+c=2矛盾。r .4222(2)若 c。又由(a -b) c = 2c(a b) = 2c(2 - c) =4c -2c22, .4 .(a -b)4c3c ： 0。這是不可能的，因此 c也是不可能的。3440。同理可證0豈a,b 3 32 ,-1上不存在關于直線 y+x=0對稱的兩點。6.求證：拋物線y = 1 x2證明：假設拋物線上存在關于直線y+x=0對稱的兩點 A(a,b)和B(-b,-a) , ( a式-b，且a,b R),則b