1、導數的概念與運算1導數的概念：（1）設函數在及其附近有定義,當自變量x在x附近改變量為時，函數y相應地改變量，當時，比值叫做函數在區間（或的平均變化率，即=（2）如果當時，平均變化率趨近于一個常數，我們就說函數y=f(x)在點x處可導，并把這個常數叫做f（x）在點x處的導數，記作f（x）或y|即f（x）=說明：函數f（x）在點x處可導，是指時，趨近于一個常數否則，就說函數在點x處不可導，或說無導數是自變量x在x處的改變量，可正可負。但時，是函數值的改變量，可以是零（3）由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x處的導數的步驟：求函數的增量=f（x+）f（x）；求平均變化率=；取極限，得導數f(

2、x)=2導數的幾何意義：（1）函數y=f（x）在點x處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是相應地，切線方程為yy=（xx）注意：“過點的曲線的切線方程”與“在點處的切線方程”是不相同的，后者 必為切點，前者A未必是切點. （2）求曲線過某點的切線方程的方法：設切點,求出函數y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率,求得切線方程為；將點坐標代入求得的值，進而求出切線方程。3常見函數的導數公式：（）（C為常數）， (k，b為常數)（）（n為正整數），（）， （4） ，（5）， 4兩

3、個函數的和、差、積、商的求導法則：法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)。即： (法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個函數乘以第二個函數的導數。 即：若C為常數,則.即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數。法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方。 即：=（v0） 復合函數的導數：設函數在點處有導數，函數 在點的對應點處有導數，則復合函數在點x處也有導數，且 或 復合函數的求導法則：復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數 復

4、合函數求導的基本步驟是：分解求導相乘回代 導數的應用1、利用導數判斷函數的單調性：（1）設函數在某個開區間內可導，若總有，則在這個區間上為增函數；若總有，則在這個區間上為減函數。（2）求可導函數單調區間的一般步驟和方法：確定函數的定義域區間；求，令，解此方程，求出它在定義區間內的一切實根；把函數的間斷點（即包括的無定義點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義區間分成若干個小區間；確定在各小開區間內的符號，根據的符號判定函數在每個相應小開區間內的增減性。注意：為增函數（為減函數）.在區間上是增函數在上恒成立；在區間上為減函數在上恒成立.2、利用導數求函數的極值

5、：（1）極大值： 已知函數，設是定義域內任意一點，如果對附近的所有點，都有，則稱函數在點處取極大值.記作極大值，把稱為函數的一個極大值點.（2）極小值：已知函數，設是定義域內任意一點，如果對附近的所有點，都有，則稱函數在點處取極小值.記作極小值，把稱為函數的一個極小值點.（3）極大值與極小值統稱為極值；極大值點與極小值點統稱為極值點在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值（4）注意以下幾點：極值是一個局部概念由定義知，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小的.并不意味著它在函數的整個的定義域內是最大或最小的.函數的極值不是唯一的即一個函數在某區間

6、上或定義域內極大值或極小值可以不止一個.極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值。函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點.（5）當在點連續時，判別是極大值或極小值的方法:若滿足，且在的兩側的導數異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.（6）求可導函數的極值的步驟:確定函數的定義域區間，求導數； 求方程的根；用函數的導數為的點，順次將函數的定義域區間分成若干小開區間，并列成表格.檢查在方

7、程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數在某些點處連續但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 .3、函數的最大（小）值：一般地，在閉區間上連續的函數在上必有最大值與最小值（1）設是定義在區間上的函數，在內可導，求函數在區間上的最大值與最小值，可分兩步進行：求在內的極值；將在各極值點的極值與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。（2）若函數在上單調遞增，則為函數最小值，為函數最大值；若函數在上單調遞減，則為函數最大值，為函數最小值。說明：在開區間內連續的函數不一定有最大值與最

8、小值如函數在內連續，但沒有最大值與最小值；函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的函數在閉區間上連續是在閉區間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數極值可能不止一個，也可能沒有一個.復數的概念及運算一、虛數單位1.定義：虛數單位i 規定為：（1）它的平方等于-1，即 =-1（2）實數和它進行四則運算時，原有的加法，乘法運算規律仍然成立。2. i的 冪的性質：二、復數的定義形如的數叫復數，其中叫實部，叫虛部, 當且僅當為實數復數 當且僅當為虛數 當且僅當為純虛數當且僅當為零三、復數的表示方法1.代數

9、形式： 2.幾何形式： 坐標表示:復平面內點 向量表示:平面向量復平面、實軸、虛軸：復數與有序實數對是一一對應關系.點的橫坐標是，縱坐標是，復數可用點表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數.對于虛軸上的點除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.注：復數 對應 復平面內的點對應平面向量（實數與零向量對應）四、復數的代數運算：，其中 1.復數的加減法： 2.復數的乘法： 3.復數的除法：五、復數的性質1.兩個復數若全是實數，則可以比較大小，若不全是實數，則不能比較大小。2.如果兩個復數的實部和虛部分別相等，我們就說這兩個復數相等。 且相等的向

10、量對應的復數相等。3.共軛復數 代數形式：與互為共軛復數幾何特征：非零復數互為共軛復數對應點關于軸對稱代數特征：；（純虛數或零）；運算性質：；4.復數的模運算特征：； ；5復數的模可以比較大小： 設復數，則有6.若 ；是純虛數且六、復數加減法的幾何意義及應用1.幾何意義：復數的加減法對應于向量加減法的平行四邊形（三角形）法則2.應用：兩點間的距離公式：其中復數 對應的點特殊曲線的復平面軌跡方程： 表示線段的垂直平分線。表示圓。 當時，表示橢圓； 當時，表示線段；當時，無軌跡 。當時，表示雙曲線； 當時，表示兩條射線；當時，無軌跡。推理與證明一、合情推理：包括歸納推理和類比推理根據一類事物的部分

11、對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納），歸納是從特殊到一般的過程，屬于合情推理。歸納推理的一般步驟：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題（猜想），歸納推理的條件與結論具有或然性關系。根據兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。類比推理的一般步驟：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存

12、在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。二、演繹推理：推理的每一個步驟都是根據一般性命題推出特殊性命題的過程，這類根據一般性的真命題（或邏輯規則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。數學中常用的演繹推理規則：假言推理、三段論推理、傳遞性關系推理和完全歸納推理。三、直接證明與間接證明：1、綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的

13、性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。2、分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。分析法的思維特點是：執果索因；分析法的書寫格式： 要證明命題為真，只需要證明命題為真，從而有，這只需要證明命題為真，從而又有這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。3、反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證

14、明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的方法。即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法。反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。注意：可能出現矛盾四種情況：與題設矛盾；與反設矛盾；與公理、定理矛盾在證明過程中，推出自相矛盾的結論。4、數學歸納法：對于由歸納法得到的某些與自然數有關的數學命題，先證明當取第一個值時命題成立，然后假設時命題成立，證明時命題也成立。在完成這兩個步驟以后，就可以斷定命題從開始的所有自

15、然數都成立。上述證明中的第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據。兩者缺一不可。應特別注意第二步的證明中：“當時結論正確”這一歸納假設起著已知的作用；“當時結論”則是求證的目標。注意：數學歸納法可以用來證明與自然數有關的代數恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問題、幾何問題等。數列中的歸納-猜想-證明是對觀察、分析、歸納、論證能力的綜合考查，是連年高考的熱點之一。常用邏輯用語復習要點：1.命題命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞；簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題，故復合

16、命題有三種形式：pq；pq；p2.復合命題的真值“p”形式復合命題的真假可以用下表表示： pp真假假真“pq”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假假假真假假假假“pq”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“pq”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“pq”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；3°真值表是根據簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內容3.四種命題如

17、果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題；如果一個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題；如果一個命題的條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉化為判斷其逆否命題的真假4.條件一般地，如果已知pÞq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件可分為四類：（1）充分不必要條件，即pÞq,而qp

18、；(2)必要不充分條件，即pq,而qp；(3)既充分又必要條件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就記作：pq.“”叫做等價符號pq表示pÞq且qÞp這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件判斷方法：（1）定義法（2）傳遞法（3）包含法（4）等價法5.全稱命題與存在性命題這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示含有全體量詞的命題，叫做全稱命題短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中

19、表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題橢圓方程及性質1（1）橢圓概念：平面內與兩個定點、的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距若為橢圓上任意一點，則有（2）橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或 （）（焦點在y軸上）注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清 焦點的位置，只要看和的分母的大小例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓2.橢圓的性質范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，

20、所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于軸對稱若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；

21、離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓當且僅當時，兩焦點重合，圖形變為圓，方程為3.橢圓的參數方程為參數 或 為參數雙曲線方程及性質1.雙曲線的概念：平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（）（*）注意：（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支（含的一支）；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當時，表示兩條射線；當時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何有方程確定焦點的位置！2.雙曲線的性質

22、范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側即，即雙曲線在兩條直線的外側對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線

23、的虛半軸長漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線定義式：；2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直注意以上幾個性質與定義式彼此等價亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上注意與的區別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了拋物線方程及性質1.拋物線的概念平面內與一定點F和一條定直線l的

24、距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線方程叫做拋物線的標準方程注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 ；2.拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸

25、近線；（3）注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離直線與圓錐曲線的位置關系1點M與橢圓的位置關系：若，則點在橢圓上；若，則點在橢圓外；若，則點在橢圓內2直線與圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點直線與圓錐曲線的位置關系的研究方法可通過代數方法即解方程組的辦法來研究因為方程組解的個數與交點的個數是一樣的直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關系的判定條件可引導學生歸納為：注

26、意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3直線與圓錐曲線相交的弦長公式設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac則弦長公式為：d=曲線方程1求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說 明1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點(2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當的坐標系2、“列”：由限制條件，列出幾何等式

27、寫出適合條件P的點M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確3、“代”：代換用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式4、“化”：化簡化方程f(x,y)=0為最簡形式要注意同解變形5、證明證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍)這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設列代化”2.求曲線方程的常見方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來求解這是求曲線方程的基本方法轉移代入

28、法：這個方法又叫相關點法或坐標代換法即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解幾何法：就是根據圖形的幾何性質而得到軌跡方程的方法參數法：根據題中給定的軌跡條件，用一個參數來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯系起來，得到用參數表示的方程如果消去參數，就可以得到軌跡的普通方程定義法：對于給出的問題，當已知條件或者經過適當的變換適合某種曲線定義時，就可直接寫出曲線的方程概率一、離散型隨機變量的分布列1、隨機變量：隨機試驗的結果用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，隨機變量常用字母表示（1）離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值

29、，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量（2）連續型隨機變量：如果隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量（3）若是隨機變量，其中是常數，則也是隨機變量2、離散型隨機變量的分布列（1）概率分布（分布列）：設離散型隨機變量可能取的值為取每一個值的概率，則表稱為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列（2）性質：二、隨機變量的均值與方差 （1）隨機變量的均值；反映隨機變量取值的平均水平（2）離散型隨機變量的方差：；反映隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度基本性質：；三、幾種特殊的分布列（1）兩點分步兩點分布：對于一個隨機試驗，如果它的結果只有兩種情況，則我們可用隨機變量，來描述這個隨機試驗的結果如果甲結果發生的概率為，則乙結