1、高 等 數 學 試 卷 1（下）一.選擇題(3分10)1.點 Mi 2,3,1 到點 M2 2,7,4 的距離 M1Mz ()A.3B.4C.5D.62.向量 ai 2 j k,b2i j，則有（）.a. a II b b. a x b C. (a,bD. ： a, b : 343 .函數y1、x2y21的定義域是（）a. x, y 1b. x,y1C. x, y 1D x, y 14 .兩個向量a與b垂直的充要條件是（）A. a b 0 b. a b0 C. a b 0 d. a335.函數z x y3xy的極小值是（）A.2B.2C.1D.16.設 z xsin y ,則=().1,一4A

2、. 2B.2多.而7.若p級數A. p 1B.p 1C. p 1 D. p 11 收斂，則()n pn 1 n8.募級數A. 1,11,1 C. 1,1 D. 1,1nxL的收斂域為（）n9.募級數nx 在收斂域內的和函數是（）2a，b.31 x 2 x10.微分方程xyyin y0的通解為xA. y ce B. yxe C. yxcxe D. ycxe.填空題（4分5)1 .一平面過點A 0,0,3且垂直于直線AB,其中點B 2, 1,1，則此平面方程為2.函數z sin xy的全微分是3.設Z3 2-3x y 3xy xy2z1,則x y14.2的麥克勞林級數是x5.微分方程y 4y4y

3、0的通解為.計算題（5分 6)1 .設 z eusin v,而xy,v2 .已知隱函數 z z x, y由方程2y24x. z z2z 5 0確定，求, x y22 ,3 .計算 sin xxy dD_2，其中D :4 .如圖，求兩個半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）.5.求微分方程y 3yx 00條件下的特解四.應用題（10分2）1 .要用鐵板做一個體積為32 m的有蓋長萬體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省?2.曲線yf x上任何一點的切線斜率等于自原點到該切點的連線斜率的12倍，且曲線過點 1,3曲線方程試卷1參考答案.選擇題.填空題CBCADACCBD1

4、.2x y2z 6 0.2 . cos xy ydx xdy22,3 .6x y 9y 1.1 nn4 .x .2n 15. yCiC2x2x e4.點P 1, 2,1到平面x 2y 2z 5 0的距離為（）.計算題z1. xexyy siny cos x yz xy 一 e xsin x y cos x y . yz2. x2y3.sin4.16 R3R .35.3xy e2x e四.應用題1.長、寬、高均為v,2m時，用料最省.5 .y 1x2.3高數試卷2 （下）.選擇題（3分10)1.點 M 1 4,3,1 ,M2 7,1,2 的距離 |MiM2().A. 12 B.、13C. ,14

5、 D. ,152.設兩平面方程分別為x 2y 2z 1 0 和x y 5 0 ,則兩平面的夾角為（）A. 一 B. -C. 一 D. 一3.函數 zarcsin2y的定義域為A. x, y 01 b. x, y 0c. x, y 02 D. x,yA.3B.4C.5D.65.函數2_2 .2xy 3x 2y的極大值為（）A.0B.16.設z,1C. 1D.-22 z3xy y ,貝ij x1,2（）.A.6B.7C.8D.97.若幾何級數arn是收斂的，則（）n 0a. r 1 b. r1C.1 d. r8.募級數的收斂域為（）a. 1,1B.1,1 C.1,1 D. 1,19.級數nsin

6、na是（）A.條件收斂B.絕對收斂C.發散D.不能確定10.微分方程xyy ln0的通解為cxA. y e B. yxce C. yXe d.xcxe.填空題（4分5）1.直線l過點A 2,2, 1且與直線平行，則直線l的方程為2.函數exy的全微分為3.曲面2t2x2 4y2在點2,1,4處的切平面方程為的麥克勞林級數是5.微分方程xdy3ydxx11條件下的特解為.計算題（5分6）1.設 a i 2 jk ,b2j 3k ,求 a b.C、幾一22.設 z U V UV2,而z zu xcosy,v xsiny,求, x y3.已知隱函數zz x, y 由 x33xyz2確定，求222.2

7、224 .如圖，求球面x2y2z24a2與圓柱面x2y22ax (a 0)所圍的幾何體的體積5 .求微分方程 y 3y 2y 0的通解.四.應用題(10分2)x t .(提示:g.當t1 .試用二重積分計算由y <x, y 2jx和x 4所圍圖形的面積.2 .如圖，以初速度 Vo將質點鉛直上拋，不計阻力，求質點的運動規律試卷2參考答案時，有 x xo , - V0 )一.選擇題 CBABACCDBA.二.填空題x 2 y 2 z 11. .1 122. exy ydx xdy .3. 8x 8y z 4.n 2n4. 1 x .n 05. y x3.三.計算題1.8i -3j2k .z2

8、. xc 2.z3x sin ycos y cos y sin y ,一 y。3八2x sin ycos y sin y cosy3.33x sin y cos yz3.一 xxz2xy zyz z2 , xy z y32 324. 一 a 3235. y C1e2xC2e四.應用題161 .3-1,212 .X- gtVotXo.2高等數學試卷 3 （下）、選擇題（本題共 10小題，每題3分，共30分） 1、二階行列式2-3的值鼻（）45 IA、10B、20C、24D、222、設 a=i+2j-k,b=2j+3ka與b的向量積為（）3、A、2B、3C、4D、54、函數 z=xsiny 在點（

9、1）處的兩個偏導數分別為4A、2 2, , B、22,22.2C、2,22,22D、,225、設 x2+y2+z2=2Rx ,貝IJz一分別為yA、y B、zy C、 zD、6、設圓心在原點，半徑為 R,面密度為2 一y2的薄板的質量為（）2(面積 A= R )A、R2AB、2R2AC、3R2AD、一 R'AA、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k點P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為（）n7、級數 （1）n:x的收斂半徑為n 1nA、2B、1C、1D、328、cosx的麥克勞林級數為A、2n,八n x(1) B、n 0(2n

10、)!1)n2nxC、(2n)!2n n x/1) D、(2n)! n 01)n2n 1x(2n 1)!9、微分方程（y、）4+（y、）5+y、+2=0的階數是（）A、一階B、二階C、三階D、四階10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根為（）A、-2, -1B、2, 1C、-2, 1D、1, -2二、填空題（本題共 5小題，每題4分，共20分）x 1 y 31、直線 Li： x=y=z 與直線 L2： z的夾角為 。21x 1 y 2 z直線L3： - 與平面3x 2y 6z 0之間的夾角為 。2122、（ 0.98） 2.03的近似值為 ,sin10°的

11、近似值為 。3、二重積分d ,D:x2 y21的值為 oD n4、募級數n!xn的收斂半徑為 , 上的收斂半徑為 。n 0n 0 n!5、微分方程y'=xy的一般解為 ,微分方程xy'+y=y2的解為。|三、計算題（本題共 6小題，每小題 5分，共30分）1、用行列式解方程組 -3x+2y-8z=17< 2x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲線x=t,y=t 2,z=t3在點（1, 1, 1）處的切線及法平面方程.3、計算 xyd ,其中D由直線y 1,x2及y x圍成.D4、問級數 （1）nsinl收斂嗎？若收斂，則是條件收斂還是絕對收斂？n 1n5、將函數f（

12、x）=e 3x展成麥克勞林級數6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解四、應用題（本題共 2小題，每題10分，共20分）1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比，（已知比例系數為k）已知t=0時，鈾的含量為M。，求在衰變過程中鈾含量M （t）隨時間t變化的規律。參考答案一、選擇題1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空題y < x< 22 ar cos 18一8

13、,arcsin 2、0.96, 0.17365213、JI 4、0, +5、x2y ce2 ,cx三、計算題1、-32-8解： =2-53=(-3 ) X -53-2 X 23+ (-8 )2-5=-13817-57-51-5172-8 x=3-53=17 X -53-227-57-52-527同理:-317-8 y=233=276, z=4142-5所以，方程組的解為1，yy 2,z z 32、解：因為 x=t,y=t2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t2,t=1 =3所以 xt | t=1=1,y t| t=1 =2,z t|法平面方程為：（x-1+2(y-1)+3(

14、z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因為D由直線y=1,x=2,y=x 圍成,D:所以1 <y<222故： xyd xydxdyDy2y31 (2y 1)dy184、解：這是交錯級數，因為Vnsin 1 0,所以，Vn n1 Vn,且 lim sin n0,所以該級數為萊布尼茲型級數1 一sin 當x趨于0時,sin1 nx,所以1 sin 一n1:1發散，從而1,又級數 nnn 1所以，原級數條件收斂w d、解：因為e1 2 x -x 2!)13x 3!1x n!用2x代x,得:6、解：特征方程為r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根ri=/2=-2,其對應的兩個

15、線性無關解為y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解為y=(c 1+c2x)e-2x四、應用題1、解：設長方體的三棱長分別為X, y則 2 (xy+yz+zx ) =a2構造輔助函數F (x,y,z) =xyz+ (2xy 2yz2zxa2)求其對x,y,z的偏導，并使之為0,得:yz+2(y+z)=0xZ+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0與 2(xy+yz+zx)-a 2=0 聯立，由于x,y,z均不等于零可彳導x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=一 . 6a3所以，表面積為 a2而體積最大的長方體的體積為V xyz 3 . n階行列式中所有元

16、素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n !(D) 1 .對于n元線性方程組，當r(A) r(A) r時，它有無窮多組解，則(A) r = n (B) r<n (C) r>n (D)無法確定 .下列級數收斂的是 ., n3n( 1)n 11(A)( 1)n 1(B)(C)3(D)n 1n 1n 12n 1 nn 1> na-362、解：據題意高數試卷4 (下)一.選擇題：3 10 301 .下列平面中過點(1 ,1,1)的平面是 .(A) x+y + z= O (B) x+y+z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空間直角坐標系中，方程x2 y

17、2 2表示.(A)圓 (B)圓域 (C)球面 (D)圓柱面3 .二元函數 z (1 x)2 (1 y)2的駐點是(A) (0 ,0) (B) (0 ,1) (C) (1 ,0)(D) (1 ,1)4 .二重積分的積分區域D是1 x2 y2 4 ,則 dxdy.D(A)(B) 4(C) 3(D) 151 x5.交換積分次序后0dx 0 f (x,y)dy .11111 yx 1(A) 0dy yf(x,y)dx (B) 0dy0f(xy)dx(C)0dy°f(x,y)dx(D)0dy 0f(x,y)dx1 ，,則的募級數展開式為.1 x21 x2 x4(C)1 x2 x4(D)1 x2

18、 x49 .正項級數Un和 vn滿足關系式n 1 n 1(A)若 Un收斂，則Vn收斂n 1n 1(C)若 Vn發散，則Un發散n 1n 11c1 0 .已知： 1 x x21 x(A) 1 x2 x4(B)二.填空題：4 5 20UnVn ,貝!J (B)若Vn收斂，貝IUn收斂n 1n 1(D)若 Un收斂，則Vn發散n 1n 12 若 f (xy)xy ,則 f (義,1) x3 已知(xo, yO)是 f (x,y)的駐點，若 fxx(xq, y0)3, fyy(x0, y0) 12, fxy(xO, y°)a 則時，（xo,yo） 一定是極小點.4 .矩陣A為三階方陣，則行

19、列式 3A 5 .級數 Un收斂的必要條件是n 1三.計算題（一）：6 5 301 .已知：z xy ,求：z, x2 .計算二重積分( x, y) | 0x2,0 x 2.,已知：XBA,其中A.求募級數 （n 11)nxn1二的收斂區間. n求f（x） e x的麥克勞林展開式（需指出收斂區間）.四.計算題（二）：10 220求平面x 22和2 x + y z = 4的交線的標準方程.x設方程組x11 ,試問：分別為何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多組解.參考答案D；D; 5 . A;B；. 1 .(x,y) |1x2y2lim Un0n四.1 .解：yxyxy ln y2.解:D.4x

20、2d20dx丁4 x20x2dy2°0(4 x2)dx4xx3 23 01633.解：B215上收斂,n1時，得n(1)2n 1發散，所以收斂區間為 n1,1.因為exxn0 n!），所以(x)n n 0 n!人口*(xn 0 n!).四.1 .解：.求直線的方向向量3j5k，求點：令z=0,得y=0,x=2,即交點為（2,0.0）,所以交R 1,當|x|1時，級數收斂，當 x=1時，得n 1線的標準方程為：.土工12.解:10(11)(22 時，r(A) 2,(A)3,無解;1,2 時，r（A） （A） 3,有唯一解：x1 時，r(A) (A)x1,有無窮多組解：yzC2QC2（C

21、1, C2為任意常數）高數試卷、選擇題（3分/題）A0B i j C i j D2、空間直角坐標系中2,.y 1表示（）A圓B圓面C圓柱面D球面3、二元函數ZA1B0Csin xy在（0, 0）點處的極限是（）xD不存在14、交換積分次序后dx0f(x,y)dy=()111a dy ° f(x,y)dxBdy10 f (x,y)dx1yC dy f(x,y)dxD dy f(x,y)dxy0oo5、二重積分的積分區域 d是x y 1,則 dxdy ()DA2B1C0D46、n階行列式中所有元素都是1,其值為()A0B1CnDn!7、若有矩陣A3 2, B23, C33 ，下列可運算的式子是()A ACbCBcABCd AB AC8、n元線性方程組，當r( A) r( A) r時有無窮多組解，則()Ar=nBr<nCr>nD 無法確定9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式()A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不會都不等于零10、正項級數Un和Vn滿足關系式Un Vn ,則()n 1n 1A若Un收斂，則Vn收斂B若Vn收斂，則Un收斂n 1n 1n 1n 1C若Vn發散，則Un