1、勾股定理典型例題歸類總結題型一：直接考查勾股定理例 1 .在 ABC 中， C 90 .已知AB 17, AC 15,求BC的長已知AC 6 , BC 8 .求AB的長跟蹤練習：1.在 ABC 中，C 90 .(1)若 a=5,b=12,則 c二;(2)若 a:b=3:4,c=15,貝U a= ,b=(3)若/ A=30° , BC=2,則 AB= , AC=.2 .在RtABC中，/C=90, /A,/B,/C分別對的邊為a, b, c,則下列結論正確的是()A B 、 C 、 D 、3 .一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為 ()A 2、4、6 B、4、6、8

2、C、6、8、10 D、3、4、54 .等腰直角三角形的直角邊為2,則斜邊的長為()A B、 C、1 D、25 .已知等邊三角形的邊長為2cm,則等邊三角形的面積為()A B、 C、1 D、6 .已知直角三角形的兩邊為2和3,則第三邊的長為 .7 .如圖，/ ACB=/ ABD=90 , AC=2 BC=1,貝U BD=.8 .已知 ABC中，AB=AC=10 BD是AC邊上的高線， CD=2那么BD等于()A 4 B 、6 C 、8 D 、9 .已知RtABC的周長為，其中斜邊，求這個三角形的面積。10 .如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣.(1

3、)如圖，以Rt ABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積S1、S2、S3之間有何關系？并說明理由。(2)如圖，以RtABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積S1、S2、S3之間有何關系？(3)如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180。，請探討兩個陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關系，并說明理由。(此陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”)題型二：利用勾股定理測量長度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?跟蹤練習:BC的長是米，把蘆葦拉到岸邊,1 .如圖（8）,水池中離岸邊 D點米的C處，直立長著一根蘆葦，出

4、水部分它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度 AC.2 .一座建筑物發生了火災，消防車到達現場后，發現最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（）A 12 米 B、13 米 C、14 米 D、15 米3 .如圖，有兩顆樹，一顆高 10米，另一顆高 4米，兩樹相距 8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A 8 米 B 、10 米 C、12 米 D、14 米題型三：勾股定理和逆定理并用一一1 一例3.如圖3,正萬形ABCD43, E是BC邊上的中點，F是AB上一點，且FB AB那么 DEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題

5、利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。跟蹤練習：1.如圖，正方形 ABCD43, E為BC邊的中點，F點CD邊上一點，且 DF=3CF求證：/ AEF=90題型四：利用勾股定理求線段長度一一例1.如圖4,已知長方形 ABCD43 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點 E,將 ADEW疊使點 D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.跟蹤練習：1 .如圖，將一個有 45度角的三角板頂點C放在一弓寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點B在紙帶的另邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，求三角板的最大邊AB 的長 .2 .如圖，在 ABC中，AB=BC /ABC=

6、90 , D為AC的中點，D已DF,交AB于E,交BC于F, (1)求證: BE=CF; (2)若 AE=3, CF=1,求 EF 的長.3 .如圖，CA=CB,CD=CEZ ACB=Z ECD=90 ,D 為 AB邊上的一點.若 AD=1, BD=3, 求 CD的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例 1. 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至5 米以內，燈就自動打開，一個身高米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？跟蹤練習：1 .如圖，每個小正方形的邊長都是1, ABC的三個頂點分別在正方形網格的格點上，試判斷ABC的形狀，并說明理由.（1）求證：/ A

7、BD=90 ; （2）求的值2 . 下列各組數中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（ ）A、 9， 12， 15 B 、 7,24,25 C 、 D 、 ， ，3 .在 ABC中，下列說法/ B=Z C-/A;；/ A:/B:/C=3: 4: 5; a:b:c=5:4:3 ;：=1:2:3 , 其中能判斷 ABC為直角三角形的條件有（）A、 2 個 B 、 3 個 C 、 4 個 D 、 5 個4 .在 ABC中，乙A / B、/C的對邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3

8、） a=2,A 2個 B、3個 C、4個 D、5個5 .已知 ABC的三邊長為a、b、c,且滿足，則此時三角形一定是（）A、等腰三角形B 、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形6 .在 4ABC 中，若 a=n2 1, b=2n , c=n2 1,則 ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7 .如圖，正方形網格中的 ABC是（）A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形8 .已知在 ABC中，/ A、/日/ C的對邊分別是 a、b、c,下列說法中，錯誤的是（）A、如果/ C-/B=/ A,那么/C=90B、如果/ C=90 ,那么C

9、 如果（a+b） （a-b）=,那么/ A=90°D、如果/ A=30° ,那么 AC=2BC9 .已知 ABC的三邊分別為a, b, c,且a+b=3, ab=1,求的值，試判斷 ABC的形狀，并說明理由10 .觀察下列各式：，根據其中規律，寫出下一個式子為 11 .已知，mo n, mr n為正整數，以，2mn,為邊的三角形是 三角形.12 .一個直角三角形的三邊分別為n+1, n-1 , 8,其中n+1是最大邊，當n為多少時，三角形為直角三角形？題型六：旋轉問題：例題6.如圖，P是等邊三角形 ABC內一點，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的邊長.跟蹤練

10、習1.如圖， ABC為等腰直角三角形，/BAC=90,E、F是BC上的點，且/EAF=45°,試探究BE2、CF 2、EF間的關系，并說明理由.題型七：關于翻折問題 例題7.如圖，矩形紙片 ABCM邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點，將矩形紙片沿 AE折疊，點B恰好 落在CD邊上的點 G處，求BE的長.跟蹤練習1 .如圖，AD是4ABC的中線，/ ADC=45 ,把 ADC&直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC 的長 .（ 一 ） 折疊直角三角形2 .如圖，在 ABC中，/ A = 90° ,點 D為AB上一點，沿 CD折疊 ABC點A恰好

11、落在 BC邊上的 A處,AB=4, AC=3 求 BD的長。3 .如圖，RtABC中，Z B=90° , AB=3, AC=5.將 ABC折疊使 C與A重合，折痕為 DE,求BE的長.（二）折疊長方形1 .如圖，長方形 ABCD43, AB=4, BC=5, F為CD上一點，將長方形沿折痕 AF折疊，點D恰好落在BC上的 點E處，求CF的長。2 .如圖，長方形 ABC邛，AD=8cm AB=4cmr 7gEF折疊，使點 D與點B重合，點C與C'重合.（1）求 DE的長；（2）求折痕EF的長.3 .(2013懦德)如圖，將長方形紙片ABC所疊，使邊CD落在對角線AC上，折痕為C

12、E且D點落在對角線D'處.若AB=3, AD=4,貝U ED的長為()4 .如圖，長方形 ABC邛,AB=6, AD=&沿BD折疊使 A至U A'處DA交BC于F點.(1)求證：FB=FE(2)求證：CA / BD(3)求 DBF的面積7.如圖，正方形 ABCDK 點E在邊CD上，將 ADE沿AE對折至/ AFE,延長EF交邊BC于點G,G為BC 的中點，連結 AG CF. (1)求證：AG/ CF； (2)求的值.題型八：關于勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路 M明口公路PQ在P點處交匯，點 A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉

13、機行駛時，周圍100米以內會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18 千米 / 小時，那么學校受到影響的時間為多少？例 2. 一輛裝滿貨物高為米， 寬米的卡車要通過一個直徑為 5 米的半圓形雙向行駛隧道， 它能順利通過嗎？ 跟蹤練習：1 .某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東 600方向移動，距風暴中心 200km的范圍內為受影響區域。試問A城是否受這次風暴的影響？如果受影響，請求出遭受風暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。2 . 一輛裝滿貨物的卡車, 其外

14、形高米, 寬米 , 要開進廠門形狀如下圖的某工廠, 問這輛卡車能否通過該工廠的廠門 ?3 . 有一個邊長為50dm 的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結果保留整4 .如圖，鐵路上 A, B兩點相距25km, C, D為兩村莊，DAL AB于A, CB± AB于B,已知DA=15km,CB=10km 現在要在鐵路 AB上建一個土特產品收購站 E,使得C, D兩村到E站的距離相等，則 E站應建在離A站多 少 km 處？題型九：關于最短性問題例 1 、如右圖 1 19 ，壁虎在一座底面半徑為 2 米，高為 4 米的油罐的下底邊沿 A 處，它發現在自己的正上方油罐

15、上邊緣的 B 處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊結果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（兀取，結果保留1位小數，可以用計算器計算）例2.跟蹤練習：1 .如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為 9個小正方形，其邊長都是1cm,假設一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面 A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花幾秒鐘？2 .如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm, 3cm和1cm, A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到 B

16、點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從 A點出發，沿著臺 階面爬到B點，最短線路是多少？3 .一個長方體盒子的長、寬、高分別為8cm, 6cm, 12cm,一只螞蟻想從盒底的 A點爬到盒頂的B點，你能幫螞蟻設計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？4.如圖將一根厘米長的細木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中，能全部放進去嗎?題型十：勾股定理與特殊角(一) 直接運用30°或45°的直角三角形1 .如圖，在 ABC中，Z C = 90° , / B = 3 0° , AD是 ABC的角平分線，若 AC=2J3 ,求AD

17、的長。2 .如圖，在 ABC中，/ ACB = 90° , AD是 ABC的角平分線，CDLAB于 D, / A= 30° , CD=2 求 AB的 長。3 .如圖，在 ABC中，AD± BC于 D, / B= 60° , / ,C= 45 ° , AC=2,求 BD的長。(二)作垂線構造30°或45。的直角三角形(1) 將105°轉化為45°和60°1 .如圖，在 ABC中，/ B= 45° , / A=105° , AC=2 求 BC 的長。2 .如圖，在四邊形 ABCD43, /

18、A=/C= 45° , /ADB4ABC=105 ，若 AD=2,求 AB的長；若 AB+CD=2V3+2,求AB的長。B(2)將75°轉化為30°和45題型十一：運用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1 .如圖，在 ABC中，/ C= 90° , AD平分/ CAB交 CB于 D, CD=3,BD=5 求 AD的長。2 .如圖，在 ABC中，AD±BC于 D,且/ CAD=2/ BAD,若 BD=3, CD=6 求 AB的長。（二）巧用“連環勾”列方程1 .如圖，在 ABC中，AB=5, BC=7, AC=4 J2 ,求 S ABC .

19、2 .如圖，在 ABC中，/ ACB= 90° , CD!AB于 D, AC=3 BC=4,求 AD的長。3 .如圖， ABC中，/ ACB=90 , CD! AB于 D, AD=1, BD=4,求 AC的長4 .如圖， ABC中，/ ACB=90° , CD! AB于 D, CD=3 BD=4 求 AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時需分類討論1.在 ABC中，AB=AC=5 ,求 BC 的長2.在 ABC中，AB=15, AC=13 AD為 ABC的高，且 AD=12, 求 ABC的面積。(二)腰和底不明時需分類討論3.如圖1, 4ABC中，/A

20、CB=90 , AC=6, BC=&點D為射線 AC上一點，且 ABD是等腰三角形，求 ABD的周長 .(三)直角邊和斜邊不明時需分類討論1. 已知直角三角形兩邊分別為 2 和 3 ，則第三邊的長為2 .在 ABC中，Z ACB=90 , AC=4, BC=2以AB為邊向外作等腰直角三角形ABR求CD的長3 .如圖，D(2,1),以O西一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個寫出落在 x 軸上的頂點坐標.題型十三： 或問題的證明1 .如圖 1, 4ABC中，CA=CB Z ACB=90 , D為 AB的中點，M N分別為 AG BC上一點，且 DML DN

21、. (1)求證： CM+CN=BD(2)如圖2,若M N分別在AG CB的延長線上，探究 CM CN BD之間的數量關系式。2 .已知/BCD=c, /BAD書,CB=CD. (1)如圖 1,若 a = 3 =90° ,求證：AB+AD=AC 2)如圖 2,若 “ = 3=90° , 求證：AB-AD=AC(3)如圖 3,若 a =120°, 3=60°,求證：AB=AD=AC(4)如圖3,若 “ = 3=120°,求證：AB-AD=AC；題型十四：問題的證明1 .如圖，OA=OB OC=OD / AOBh COD=90 , M N 分別為 A

22、G BD的中點，連 MN ON求證：MN=ON.2 .已知 ABC中，AB=AC Z BAC=90 , D為BC的中點，AE=CF連DE EF. (1)如圖1 ,若E、F分別在AR AC上，求證：EF=DE (2)如圖2,若E、F分別在BA AC的延長線上，則(1)中的結論是否仍成立？請說明理由3 .如圖， ABD中，。為AB的中點，C為DO延長線上一點，/ ACO=135 , / ODB=45探究 OD OC AC 之間相等的數量關系4 .如圖， ABD是等腰直角, / BAD=90 ,BC/AD,BC=2ABCE平分/BCD 交AB于 E,交 BD于H.求證：（ 1） DC=DA； （ 2

23、 ） BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網格畫圖1. 如圖，每個小正方形的邊長為1, A、B C是小正方形的頂點，則/ABC的度數為.2. 如圖，每個小正方形的邊長都是1 ，在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是3,2 ， ，且三角形的三個頂點都在格點上3. 如圖，每個小正方形的邊長都是1 ，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個頂點在格點上4. 在圖中以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內部已標注的格點只有3 個5. 如圖，在 4 個均勻由 16 個小正方形組成的網格正方形中，各有一個格點三角形，那么這4 個三角形中，與眾不同的是 中的三角形，圖 4 中最長邊上的高為6. 如圖，正方

24、形網格中的每個小正方形邊長都為1 ，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：(1)畫一條線段 MN使MN= (2)畫 ABC三邊長分別為3, 2。7. 如圖，在5X5的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,線段AB的端點在格點上.8. 1)圖 1 中以 AB 為腰的等腰三角形有 個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊長9. 2)圖2 中，以 AB 為底邊的等腰三角形有 個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊上的高題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1 .如圖，在 ABC中，點 D為BC邊上一點，且 AB=10, BD=6, AD=& AC=7,其求 CD的長.2 .如圖，在四邊形 ABCD43, / B=90° , AB=2, , CD=5 AD=4,求.3