1、多分辨協整與誤差校正模型基金項目 國家自然科學基金資助項目（70471050）；全國統計科研計劃項目（2006B07）。作者簡介 許啟發(1975)，男，安徽和縣人，博士，山東工商學院統計學院副教授，研究方向：數量經濟方法、金融計量。蔣翠俠(1973)，女，安徽碭山人，天津大學管理學院博士生，山東工商學院統計學院講師，研究方向：數量經濟方法、金融計量。張世英(1936)，男，北京人，天津大學管理學院教授，博士生導師，研究方向：復雜系統控制與決策、數量經濟等。許啟發1，蔣翠俠2，3，張世英3（1.山東工商學院統計學院，山東煙臺264005；2.山東工商學院數學與信息科學學院，山東煙臺264005

2、；3.天津大學管理學院，天津300072）【摘要】為討論經濟及金融變量的多尺度行為，描述變量之間在不同時間尺度上的長期均衡關系，將小波多分辨分析引入協整建模理論，提出多分辨協整和多分辨誤差校正模型兩個概念，給出相應建模方法，克服了傳統的協整建模理論無法揭示蘊含在變量內部的多時間尺度信息的缺陷。多分辨協整建模能夠更加細致地捕獲經濟或金融變量在不同時間尺度上的關系，對兩大股指的實證研究也支持了這一點。關鍵詞：協整；誤差校正模型；多分辨；小波分析Multiresolution Cointegration and Error Correction ModelXU Qi-fa1， JIANG Cuixi

3、a2，3， ZHANG Shi-ying3（1. School of Statistics， Shandong Institute of Business and Technology， Yantai 264005， China； 2. School of Mathmetics and Information Science， Shandong Institute of Business and Technology， Yantai 264005， China； 3.School of Management， Tianjin Unversity， Tianjin 300072， China）A

4、bstract：In order to discuss the multiresolution character of economic or financial variable and capture the long run equilibrium relationship in different time scale，multiresolution analysis of wavelet has been introduced into the theory of cointegration modeling.The new conception of multiresolutio

5、n cointegrtion and multiresolution error correction model is put forward in the paper. The method of multiresolution cointegration modeling， which overcomes the traditional cointegrtion theorys shortcomings in discovering the information of multi time scale contained in inside of variables，is dicuss

6、ed in detail. The new method can capture the relationship between variables in different time scales，which has been proved by our empirical research in the end.Key words：cointegration；error correction model；multiresolution；wavelet analysis引言在經濟及金融研究中，行為主體往往面臨著經濟決策問題，其中一個重要的影響因素就是決策時期的長短。如果我們將經濟或金融時間

7、序列視為經濟系統或金融系統釋放出來的一種信號，那么這些時間序列在不同的頻段（時間尺度）就有不同的特征，經濟變量之間的相互關系也不同。文12在不同時間尺度上討論了經濟變量 前者討論了消費和收入之間的多分辨關系；后者討論了金融變量和實際經濟活動之間的多分辨關系。之間的關系，結果表明不同時間尺度上變量之間的關系存在顯著差異。在金融市場中，金融資產價格或收益是由買賣雙方的交易行為共同決定。而金融市場存在眾多的交易者，他們都是按照自己的利益最大化原則從事金融資產的買賣交易。根據交易時期的長短，可以將其劃分為：實時交易、短期交易、長期交易和超長期交易等，金融資產價格或收益是這些錯綜復雜交易信息的綜合體現。

8、顯然，如果直接討論原始金融資產價格或收益之間相互關系，勢必不能完整反映處于不同交易層次上交易者之間的交易信息。因此，有必要將原始的價格或收益分解到不同的時間尺度上，再討論分解后的價格或收益之間的關系。小波分析能夠同時在時域和頻域描述時間序列的變化特征，其最大優勢能夠將時間序列分解到不同的時間尺度上，在各級時間尺度下同時討論時間序列的特性。小波分析已廣泛應用于信號處理、數字成像等領域，只是在最近才被成功地引入經濟及金融分析37。為描述經濟變量在不同時間尺度上的長期均衡關系，本文將小波分析引入協整建模理論，將文12的研究工作向前推進一步，提出多分辨協整及多分辨誤差校正模型兩個概念，克服了過去只能在

9、兩個時間尺度上（“短期”和“長期”）討論經濟或金融變量之間的關系的缺陷。我們的方法使得在多個時間尺度上討論相關問題成為可能，并且取得了比傳統方法（協整建模）更為有效的結果。一、多分辨協整關系及其檢驗1.基于MODWT的小波多分辨分析Lindsay等（1996）提出了MODWT，該變換可以看作離散小波變換（DWT）的一個改進版89。以下小波變換均指MODWT，小波系數均指MODWT小波系數。設是一個包含了時間序列（不妨設，為正整數）個觀察值的列向量。對實施MODWT小波濾波和尺度濾波，并且對所得結果不進行向下抽樣（downsampling），就得到個向量小波系數和一個向量尺度系數分別為：（1）式

10、中，為濾波器長度，；，即和可由級尺度對應的DWT小波濾波器和尺度濾波器得到。而級變換系數是一個由個維向量構成的變換，即，向量包含與尺度上的變化相關的級小波系數，向量包含與尺度上的平滑相關的級尺度系數。在實際應用中，小波系數和尺度系數可由MODWT塔式算法實現。Percival等（1997）給出了基于MODWT的多分辨分析 （2）其中為由和生成的MODWT矩陣。由式（2）可以看出，通過級細節和級平滑給出了的多分辨分析（Multiresolution Analysis）。多分辨分析的實質就是將時間序列一次性分解到相互嵌套的順序子空間中加以研究，從而能夠較為細致地刻畫時間序列在不同空間中的特性，便于

11、對時間序列本質特征的把握，可以利用圖1所示描述小波多分辨分析。圖1 多分辨分析圖示圖1中，其中為尺度空間，為小波空間。2.多分辨協整設有維向量時間序列，其中分量記為。在級時間尺度下，經過MODWT后得到，。為描述金融變量在不同時間區間上長期均衡關系，本文給出多分辨協整的定義。定義1（多分辨協整）：若存在某個級時間尺度下，對于維向量時間序列中的分量滿足（1）是LMM序列（或者序列）；（2）存在非零的維函數，使得是一個均值為常數的SMM序列（或者序列）。則稱向量時間序列存在多分辨協整關系。在定義1中，當維函數為線性函數時，則稱存在線性協整關系；當為非線性函數時，則稱存在非線性協整關系。因此，定義1

12、不僅給出了整數維時間序列及分數維時間的多分辨線性協整關系，而且給出了其多分辨的非線性協整關系，具有較強的包容性。3.多分辨協整關系檢驗圖2給出了多分辨協整檢驗的一般步驟。輸入小波序列是否為整數維序列？全部為整數維序列全部為分數維序列部分為分數維序列維數是否相等？EG兩步法和Johansen法檢驗是否存在線性協整？小波神經網絡方法檢驗是否存在非線性協整？存在多分辨協整YNNYNN不存在多分辨協整NY圖2 多分辨協整檢驗流程多分辨協整關系的檢驗可以按照如下程序來進行：第一步，在級時間尺度下，利用單位根檢驗和短記憶性檢驗，確定向量小波序列各分量序列是整數維序列還是分數維序列；若均為分數維序列，直接進

13、入第五步；若部分為整數維序列，部分為分數維序列，則直接進入第八步。第二步，如果各分量序列均為整數維序列，進一步利用單位根檢驗判斷其維數是否相等；第三步，若整數維數相等，則可根據EG兩步法或Johansen判斷它們之間是否存在線性協整關系；若存在線性協整關系，則直接得出結論；第四步，若不存在線性協整關系或整數維數不相等 文1011證明：當兩個或金融時間序列的維數不相等時，不存在線性協整關系。，則需要檢驗是否存在非線性協整關系；第五步，如果各分量序列均為分數維序列，利用GPH估計分整階數，進一步判斷其維數是否相等；第六步，若整數維數相等，則可根據EG兩步法或Johansen判斷它們之間是否存在線性

14、協整關系；若存在線性協整關系，則直接得出結論；第七步，若不存在線性協整關系或分數維數不相等，則需要檢驗是否存在非線性協整關系；第八步，若部分為整數維序列，部分為分數維序列，則需要檢驗是否存在非線性協整關系；第九步，得出是否存在多分辨協整的結論。對于圖2給出的多分辨協整檢驗程序，其關鍵在于如何檢驗非線性協整關系。這里對文12提出的非線性協整關系檢驗進行了擴展。在級時間尺度下，如果以向量小波序列的分量序列作為網絡的輸入變量，以短記憶序列為網絡輸出層的教師指導值，通過神經網絡算法，得到非線性協整函數的估計，它描述了各分量序列之間的非線性關系。可以得到殘差序列，記為 為小波神經網絡中參數向量。如果所得

15、到的殘差序列是短記憶序列，則表明當前所得的非線性函數關系是一種存在于向量小波序列之間的協整函數。因此，問題的關鍵在于殘差序列是否為短記憶序列 這里，檢驗時間序列是否為SMM序列，可以使用修正R/S檢驗，也可以使用KPSS檢驗和LM檢驗等。，可以使用Lo（1991）給出的修正R/S檢驗13完成。修正R/S檢驗統計量如下：（3）其中這里的為樣本均值；為樣本的階自協方差；是Bartlett窗權重：，對于。在是短記憶序列的零假設下，具有分布函數（4）式中：為分位數；。通過式（4）可以得到任意顯著性水平下的臨界值。二、多分辨誤差校正模型1.多分辨誤差校正模型在多分辨協整的基礎上，這里進一步給出多分辨的誤

16、差校正模型（ECM）。定義2（多分辨誤差校正模型）：對于向量時間序列，若其各分量序列之間存在多分辨協整關系，則協整系統存在多分辨誤差校正模型 （5）式中，為協整函數（可能是線性的，也可能是非線性的）；為隨機誤差序列；為的系數矩陣，為滯后階數；為對角差分算子矩陣。而（6）為第個分量的誤差校正模型。根據式（6），有（7）2.預測將參數估計出來，則有相應的誤差校正模型第個分量的步預測模型為：，（8）式中，為第個分量誤差校正模型的系數估計；為第個分量在級尺度下的小波序列在時刻前向步預測值；為展開的系數。對于，當即時，為預測值；反之，為實際值。當把在各級時間尺度下的小波收益序列都預測出來以后，可以通過小

17、波重構的辦法，將其還原為原始收益，從而獲得對原始收益的預測結果。可以將這種方式取得的預測效果與通過原始收益建立誤差校正模型取得的預測效果進行比較，觀察多分辨誤差校正模型能否取得更好的預測效果。在誤差校正模型中，如果是線性協整函數，則它就是線性協整系統中的誤差校正項；如果是非線性協整函數，則其估計是系統在時刻的均衡誤差，其作用是校正時刻的差分序列值，類似于線性協整系統中的誤差校正項的作用。這里，協整函數的估計是建立多分辨誤差校正模型的關鍵，尤其當為非線性函數時，誤差校正模型的建立更為困難，原有的線性誤差校正模型估計方法不再適用。實證中，使用小波神經網絡方法建立多分辨的誤差校正模型。三、數據的選取

18、及實證1.數據的選取及基本描述為考察中國兩大證券市場之間的相互關系，選擇上證綜合指數（簡稱上證綜指）和深證成分指數（簡稱深證成指）作為研究對象。樣本區間為2003/01/02至2005/06/30，共有599個交易日的收盤數據，數據取自鑫網通達信證券分析交易系統。文中收益率由股票價格（或股指）自然對數的一階差分來計算，。在級尺度下，DWT使用的帶通濾波器頻率范圍為：。將頻率范圍反轉并且乘以適當的時間間隔，便得到在級尺度下對應的時期：。由于使用了交易日的數據，所以小波分析中1級尺度與24天對應，2級尺度與48天對應，7級尺度與128256天對應（見表1，表1給出小波多分辨頻率、尺度和時間區間之間

19、的關系）。文中采用長度為8的“最小非對稱”（least asymmetric）小波濾波器（Daubechies，1992）14進行MODWT分解，LA（8）小波濾波器一方面具有較大的長度、另一方面具有非對稱性，因而能夠準確地逼近待分解的金融時間序列。表1 小波分解頻率、尺度和時間區間之間關系對照表分解級別尺度頻率時期周期111/41/2242221/81/4484341/161/88168481/321/161632165161/641/323264326321/1281/6464128647641/2561/128128256128表2給出了上證綜指和深證成指原始收益及小波收益在各級尺度下的

20、均值、標準差和偏度統計結果。易見，無論是原始收益還是小波收益，它們的平均收益均為負值，表明在樣本區間內，投資者不僅沒有盈利反而有虧損，股市行情不好；與一般文獻中出現的負偏度相同，這里無論是原始收益還是小波收益，它們的偏度系數均小于零，意味著投資收益看漲的可能性小于看跌的可能性。表2 原始收益及小波收益的描述統計原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上證綜指均值-3.3491E-05-6.96E-07-4.46E-06-3.83E-06-1.73E-05-3.37E-05標準差0.0130070.00932790.00630770.00484370.00288210.0022927偏度-0.88

21、292-0.13065-0.16143-0.223-0.31114-0.15321深證成指均值-4.3416E-05-7.34E-07-7.69E-06-1.06E-05-1.95E-05-3.53E-05標準差0.013890.0100270.00652770.00519670.00313060.0025739偏度-0.60729-0.03978-0.069721-0.13982-0.22125-0.147562.收益序列的長記憶性檢驗在對序列的長記憶性進行檢驗時，使用了Lo（1991）提出的修正R/S檢驗，檢驗結果見表3。表3 原始收益及小波收益序列的長記憶性檢驗原始收益尺度1尺度2尺度3

22、尺度4尺度5上證綜指14.567413.334415.125315.287713.853516.1909111111尾概率000000深證成指14.962416.189215.327315.174614.813315.7258111111尾概率000000表3結果顯示，上證綜指與深證成指的原始收益及在各級時間尺度下的小波收益序列均為LMM序列，現在需要進一步檢驗其分數維，利用GPH方法進行估計，估計結果見表4。表4 原始收益及小波收益序列的分數維估計原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上證綜指0.046461-0.21882-0.294260.0532390.125180.38897深證成指

23、0.051272-0.21577-0.238360.0516060.118050.39335由表4的結果，上證綜指與深證成指的原始收益序列及在各級時間尺度下的小波收益序列的分數維各不相同，不宜采用線性協整建模方法，而采用非線性協整建模方法。在對非線性函數進行逼近時，采用了小波神經網絡手段15。3.多分辨協整關系的檢驗文中，建立了具有二個輸入節點，八個隱層節點和一個輸出節點的單隱層小波神經網絡，小波基函數采用了Mallet小波，輸入分別為上證綜指和深證成指原始收益序列或小波收益序列，使用具有自適應學習速率的變尺度法對網絡參數進行了訓練，取學習步長0.1，動量系數0.3。網絡訓練時，采用了有導師學

24、習的方式，導師序列分別選擇以原始收益序列或小波收益序列的平均收益為均值的的白噪聲時間序列，網絡訓練過程中能量函數見圖3a至圖3f。圖3a 原始收益網絡訓練過程圖3b 尺度1收益網絡訓練過程圖3c 尺度2收益網絡訓練過程圖3d 尺度3收益網絡訓練過程圖3e 尺度4收益網絡訓練過程圖3f 尺度5收益網絡訓練過程圖3a至圖3f顯示，上證綜指與深證成指的原始收益及小波序列之間都進行了充分的擬合。現在需要檢驗擬合后的殘差序列是否為短記憶序列，若是短記憶序列，則表明它們之間存在非線性協整關系；否則，不存在非線性協整關系。仍然采用Lo（1991）的修正R/S檢驗，檢驗結果見表5。表5的結果顯示，無論對原始收

25、益還是在各級尺度下，擬合后序列的長記憶檢驗的尾概率均大于10%，即在10%的顯著性水平下都不顯著，故所得到的序列均為SMM序列。這樣，可以得出結論，原始收益及各級尺度下的小波序列均存在非線性的協整關系，因而上證綜指與深證成指之間存在多分辨協整關系。接下來對這種多分辨協整關系進行描述，建立多分辨的誤差校正模型。表5 原始收益及小波收益擬合后序列的長記憶性檢驗原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上證綜指0.69180.85801.25401.59371.44100.57110.0025 0.0480 0.5442 0.8861 0.7703 0.0000 尾概率0.9975 0.9520 0.4

26、558 0.1140 0.2297 1.0000 深證成指0.39990.69000.81560.71191.29020.66860.0000 0.0024 0.0274 0.0040 0.5946 0.0013 尾概率1.0000 0.9976 0.9726 0.9960 0.4054 0.9987 4.多分辨誤差校正模型及預測假設，由式（4）得到（9）式（9）中，為級尺度下經小波神經網絡擬合后的殘差序列。對式（9）經普通最小二乘估計（OLS）得到多分辨的誤差校正模型見表6。表6 原始收益序列的誤差校正及小波序列的多分辨誤差校正模型回歸系數原始收益尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5上證綜指-0.

27、0793-0.60650.46940.03590.5354-0.20370.64011.45331.48910.87991.36671.67851.8312.64251.45151.20721.54131.4918-0.2676-1.2144-0.7410-0.9029-0.0544-0.0257深證成指1.5352-1.3474-0.9036-0.62750.5529-2.05432.6460.235582.71911.73040.539032.32441.92020.82390.53591.86680.42511.2576-0.4143-1.2598-1.1503-0.0878-0.625

28、4-0.7679將參數估計出來，代入模型（10）中，分取為1和2，就可以進行1步預測和2步預測，將預測結果進行MODWT小波重構，即可得到多分辨ECM預測的小波重預測，結果見表7。（10）表7 傳統ECM及多分辨ECM的預測結果前向步預測預測對象實際值 這里的實際值是指2005/07/01和2005/07/04的上證綜指和深證成指，在2005/07/01到2005/07/04之間沒有交易日。傳統ECM預測多分辨ECM預測的小波重構預測預測值預測相對誤差預測值預測相對誤差一步預測上證綜指1055.591041.62-1.323431046.43-0.86776深證成指2728.722749.75

29、0.7706912714.75-0.51196二步預測上證綜指1047.281028.49-1.794171035.62-1.11336深證成指2737.222763.010.9421972716.75-0.74784表7顯示，無論是多分辨ECM預測的小波重構預測還是傳統的ECM預測，二步預測相對誤差高于一步預測相對誤差；而多分辨ECM預測的小波重構預測相對誤差小于傳統ECM預測相對誤差，基于多分辨ECM的預測效果優于傳統的ECM預測效果，主要原因在于前者能夠更加細致地捕獲兩大證券市場在不同時間區間上的相互關系。四、結論在協整建模的基礎上，基于小波多分辨分析更進一步給出多分辨協整建模方法。我們

30、的方法使得在不同時間尺度下討論多個變量之間的長期均衡關系成為可能，能夠捕獲蘊含在變量內部的多時間尺度信息，從而實現對經濟關系的細致刻畫。實證研究表明，中國股市存在多分辨協整現象，即在不同的時間尺度上存在非線性協整關系；而基于多分辨ECM預測的小波重構預測得到的結果優于傳統的ECM預測。參考文獻1 Ramsey J B， Lampart C. The decomposition of economic relationships by time scale using wavelets： expenditure and incomeJ. Studies in Nonlinear Dynamics

31、 & Econometrics， 1998， 3（1）：23-42.2 Kim S， Francis H I. The relationship between financial variables and real economic activity： evidence from spectral and wavelet analysisJ. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics， 2003， 7（4）：1-16.3 Ramsey J B， Zhang Z. The analysis of foreign exchange

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