1、全國2010年10月高等教育自學考試線性代數(經管類)試題課程代碼：04184說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=( )A.-8B.-2C.2D.82.設矩陣A=,B=(1,1),則AB=( )A.0B.(1,-1)C. D. 3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣

2、的是( )A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA4.設矩陣A的伴隨矩陣A*=,則A-1= ( )A. B. C. D. 5.下列矩陣中不是初等矩陣的是( )A.B. C. D. 6.設A,B均為n階可逆矩陣,則必有( )A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆7.設向量組1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),則 ( )A. 1, 2,線性無關B. 不能由1, 2線性表示C. 可由1, 2線性表示,但表示法不惟一D. 可由1, 2線性表示,且表示法惟一8.設A為3階實對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數

3、為( )A.0B.1C.2D.39.設齊次線性方程組有非零解,則為( )A.-1B.0C.1D.210.設二次型f(x)=xTAx正定,則下列結論中正確的是( )A.對任意n維列向量x,xTAx都大于零B.f的標準形的系數都大于或等于零C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式的值為_.12.已知A=,則|A|中第一行第二列元素的代數余子式為_.13.設矩陣A=,P=,則AP3=_.14.設A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|A-1B|=_.15.已知向量組1,=

4、(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)線性相關,則數k=_.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, 1, 2, 3為該方程組的3個解,且則該線性方程組的通解是_.17.已知P是3階正交矩,向量_.18.設2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_.19.與矩陣A=相似的對角矩陣為_.20.設矩陣A=,若二次型f=xTAx正定,則實數k的取值范圍是_.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21.求行列式D=22.設矩陣A=求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.23.若向量組的秩為2,求k的值.24.設矩陣(1)求A-1;(2)求解線性方程組A

5、x=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對角矩陣.26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經可逆線性變換所得的標準形.四、證明題(本題6分)27.設n階矩陣A滿足A2=E,證明A的特征值只能是.全國2010年7月高等教育自學考試一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.設3階方陣A=（1，2，3），其中i（i=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（1+22，2，3）|=6，則| A |=( )A.-12B

6、.-6C.6D.122.計算行列式=( )A.-180B.-120C.120D.1803.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=( )A.B.2C.4D.84.設1，2，3，4都是3維向量，則必有( )A.1，2，3，4線性無關B.1，2，3，4線性相關C.1可由2，3，4線性表示D.1不可由2，3，4線性表示5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎解系中解向量的個數為2，則r(A)=( )A.2B.3C.4D.56.設A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則( )A.A與B相似B.| A |=| B |C.A與B等價D.A與B合同7.設A為3階方陣，其特征值分別為2,

7、1,0則| A+2E |=( )A.0B.2C.3D.248.若A、B相似，則下列說法錯誤的是( )A.A與B等價B.A與B合同C.| A |=| B |D.A與B有相同特征值9.若向量=（1，-2,1）與=(2，3，t)正交，則t=( )A.-2B.0C.2D.410.設3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則( )A.A正定B.A半正定C.A負定D.A半負定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11.設A=,B=，則AB=_.12.設A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=_.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_.14.設=（-1，2，2），則與反方向

8、的單位向量是_.15.設A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W=x | Ax=0的維數是_.16.設A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=_.17.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_.18.實對稱矩陣所對應的二次型f (x1, x2, x3)=_.19.設3元非齊次線性方程組Ax=b有解1=，2=且r(A)=2，則Ax=b的通解是_.20.設=，則A=T的非零特征值是_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算5階行列式D=22.設矩陣X滿足方程 X=求X.23.求非齊次線性方程組的通解.24.求向量組1=（1,2

9、，-1,4），2=(9,100,10,4)，3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個極大無關組.25.已知A=的一個特征向量=（1,1，-1）T，求a，b及所對應的特征值，并寫出對應于這個特征值的全部特征向量.26.設A=，試確定a使r(A)=2.四、證明題（本大題共1小題，6分）27.若1，2，3是Ax=b(b0)的線性無關解，證明2-l，3-l是對應齊次線性方程組Ax=0的線性無關解.全國2010年4月高等教育自學考試一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題1分，共20分）1.已知2階行列式=m ,=n ,則=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）2.設A , B , C均為n

10、階方陣，AB=BA，AC=CA，則ABC=（ ）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.設A為3階方陣，B為4階方陣,且行列式|A|=1，|B|=-2，則行列式|B|A|之值為（ ）A.-8B.-2C.2D.84.已知A=，B=，P=，Q=，則B=（ ）A.PAB.APC.QAD.AQ5.已知A是一個3×4矩陣，下列命題中正確的是（ ）A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為06.下列命題中錯誤的是（ ）A.只含有一個零向量的向量組線性相關B

11、.由3個2維向量組成的向量組線性相關C.由一個非零向量組成的向量組線性相關D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關7.已知向量組1,2,3線性無關，1,2,3，線性相關，則（ ）A.1必能由2,3，線性表出B.2必能由1,3，線性表出C.3必能由1,2，線性表出D.必能由1,2,3線性表出8.設A為m×n矩陣，mn,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n 9.設A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（ ）A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）=的正慣性指數為（ ）A.0B.1C.2D.3二

12、、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式的值為_.12.設矩陣A=,B=,則ATB=_.13.設4維向量（3,-1,0,2）T,=（3,1,-1,4）T，若向量滿足2=3，則=_.14.設A為n階可逆矩陣，且|A|=,則|A-1|=_.15.設A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則|A|=_.16.齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數為_. 17.設n階可逆矩陣A的一個特征值是-3，則矩陣必有一個特征值為_.18.設矩陣A=的特征值為4，1，-2，則數x=_.19.已知A=

13、是正交矩陣，則a+b=_。20.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩陣是_。三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計算行列式D=的值。22.已知矩陣B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。23.設向量組求向量組的秩及一個極大線性無關組，并用該極大線性無關組表示向量組中的其余向量。24.已知矩陣A=，B=.（1）求A-1；（2）解矩陣方程AX=B。25.問a為何值時，線性方程組有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其解（在有無窮多解時，要求用一個特解和導出組的基礎解系表示全部解）。26.設矩陣A=的三個特征值分

14、別為1，2，5，求正的常數a的值及可逆矩陣P，使P-1AP=。四、證明題（本題6分）27.設A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明（A+B）-1=A-1+B-1。全國2010年1月高等教育自學考試說明：本卷中，AT表示矩陣A的轉置，T表示向量的轉置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的秩.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）1.設行列式（ ）A.B.1C.2D.2.設A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）-1=（ ）A. A-1B-1C-1B. C-1B-1A-1C. C-1A-1B-1D. A-1C-1B-13.設1，2，

15、3，4是4維列向量，矩陣A=（1，2，3，4）.如果|A|=2，則|-2A|=（ ）A.-32B.-4C.4D.324.設1，2，3，4 是三維實向量，則（ ）A. 1，2，3，4一定線性無關B. 1一定可由2，3，4線性表出C. 1，2，3，4一定線性相關D. 1，2，3一定線性無關5.向量組1=（1，0，0），2=（1，1，0），3=（1，1，1）的秩為（ ）A.1B.2C.3D.46.設A是4×6矩陣，r（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎解系中所含向量的個數是（ ）A.1B.2C.3D.47.設A是m×n矩陣，已知Ax=0只有零解，則以下結論正確的是（ ）A.

16、mnB.Ax=b（其中b是m維實向量）必有唯一解C.r（A）=mD.Ax=0存在基礎解系8.設矩陣A=，則以下向量中是A的特征向量的是（ ）A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.設矩陣A=的三個特征值分別為1，2，3，則1+2+3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x1，x2，x3）=的矩陣為（ ）A.B.C.D.二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式=_.12.設A=，則A-1=_.13.設方陣A滿足A3-2A+E=0，則（A2-2E）-1=_.14.實數向量空間V=（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0的維數是_.15.設1，2是非齊次線性方程組Ax=b的解.則A（52-41）=_.16.設A是m×n實矩陣，若r（ATA）=5，則r（A）=_.17.設線性方程組有無窮多個解，則a=_.18.設n階矩陣A有一個特征值3，則|-3E+A|=_.19.設向量=（1，2，-2），=（2，a，3），且與正交，則a=_.20.二次型的秩為_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算4階行列式D=.22.設A=，判斷A是