1、青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系2013屆信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文多種求解線性方程組的方法比較知識(shí)就是力量 姓 名：李積鑫 班 級(jí)：2009級(jí)C班 指導(dǎo)教師：陳桂秀（職稱） 完成時(shí)間：2013年4月28日目 錄摘要 1Abstract 11 線性方程組的求解歷史起源12 線性方程組的多種求解方法22.1 高斯消去法 22.1.1 高斯順序消去法 22.1.2 高斯選主元素消去 32.1.1 列主元素消去法 3 2.2 克萊姆規(guī)則4 2.3 迭代法 62.3.1 雅可比迭代法 62.3.2 高斯-賽德爾迭代法7 2.4 MATLAB在求解線性方程組中的應(yīng)用 73 總結(jié) 104 參考文獻(xiàn)10多種求解線性方程組

2、的方法比較李積鑫青海師范大學(xué) 810008摘要：線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)古老分支，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)的許多分支,其核心問(wèn)題之一就是線性方程組的求解問(wèn)題。而歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，且線性方程組是線性代數(shù)中一個(gè)最基礎(chǔ)的內(nèi)容，它在科學(xué)和工程計(jì)算等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的作用。本文首先介紹線性方程組的求解歷史，重點(diǎn)介紹了解線性方程組的幾種方法:消元法、克萊姆解線性方程組以及迭代法。最后介紹了如何利用Matlab等常用電腦軟件解線性方程。關(guān)鍵詞：線性方程組 Matlab 迭代法 高斯消元法 Abstract:Linear Algebra is an ancient branch f m

3、athematics, widely used in many branches f mdern science, ne f the cre issues is the prblem f slving linear equatins. The histry f linear algebra first questin is abut the prblem f slving linear equatins, linear equatins and linear algebra in the mst basic cntent, it plays an imprtant rle in the fie

4、ld f scientific and engineering cmputing. This paper first intrduces the histry f linear equatins, the highlights are several ways t understand linear equatins: eliminatin methd, Clem slving linear equatins and iterative methd. Finally, hw t use Matlab and ther cmmnly used cmputer sftware fr slving

5、linear equatins.Keywrd: Linear Algebra;Matlab;Iterative methd;Gaussian eliminatin 一、線性方程組的求解歷史起源我們把形如的這種方程叫做線性方程組的一般形式。同時(shí)線性方程組中的系數(shù)也可以寫成矩陣形式，即則方程組為的矩陣形式。九章算術(shù)是中國(guó)古代一部重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典之作。其“方程術(shù)”解線性方程組的方法是世界上最早、最完整的線性方程組的解法，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。劉徽提出了比較系統(tǒng)的方程理論。在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀(jì)后期由萊布尼茨開

6、創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。線性方程組解結(jié)構(gòu)的早期研究，是由麥克勞林和克萊姆從線性方程組的求解入手，用線性方程組的系數(shù)給出解的表達(dá)式，雖然麥克勞林的發(fā)現(xiàn)要早兩年，但是相比之下，克萊姆的規(guī)律更簡(jiǎn)明清晰，更加完美.18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。19世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Ddgsn) 繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程

7、組理論中的重要結(jié)果之一。大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。2、 線性方程組的多種求解方法1、 高斯消去法高斯消去法（又叫順序消去法或逐次消去法）是一個(gè)古老的求解線性方程組的直接方法（早在公元前250年我國(guó)就掌握了解三元線性方程組的方法），其基本思想是用逐次消去未知量的方法，把原來(lái)方程組化為其同解的三角形方程組，求解三角方程組就比較容易。高斯消去法主要包括高斯順序消去法、高斯完全主元素消去法、列主元素消去法等。下面舉例分析這三種方法的具

8、體做法及特點(diǎn)。1.1高斯順序消去法求解方程組其基本思想利用矩陣的初等變換（互換變換、倍數(shù)變換、消去變換）將方程組中的系數(shù)矩陣約化為具有簡(jiǎn)單形式的矩陣（如上三角矩陣，單位矩陣等）。例1、用高斯順序消去法解線性方程組解： 解之得1.2高斯選主元素消去法其基本思想是對(duì)方程組中的系數(shù)矩陣進(jìn)行行和列的交換，首先從的個(gè)元素中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，然后進(jìn)行消元和回代計(jì)算。例2用完全主元素消去法解線性方程組 解：于是對(duì)應(yīng)的上三角線方程組為解之得 1.3列主元素消去法其基本思想是每次選取主元素時(shí)，僅依次按列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，并且進(jìn)行交換兩行，然后進(jìn)行消元和回代計(jì)算。例3用列主元素消去法解

9、線性方程組 解：解之得 經(jīng)過(guò)上述三種做法，我們直觀上首先可以看出高斯順序消元法相對(duì)比較簡(jiǎn)便些，但是順序法也有它的局限性，在解線性方程組的消元過(guò)程中，可能會(huì)出現(xiàn)如下兩種情況：第一是的情形，致使消元過(guò)程無(wú)法繼續(xù)下去；第二即使，但其絕對(duì)值很小的時(shí)作除數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的傳播，使計(jì)算結(jié)果不可靠。所以在采取高斯消元法解方程組時(shí)，小主元素可能會(huì)產(chǎn)生計(jì)算結(jié)果失真，故應(yīng)避免采用絕對(duì)值小的主元素。對(duì)一般矩陣來(lái)說(shuō)，比較好每一步選取系數(shù)矩陣（或消元后的低階矩陣）中絕對(duì)值最大的元素作為主元素，以使高斯消去法具有良好數(shù)值穩(wěn)定性。所以我們可以采取選主元素的方法來(lái)克服高斯順序消去法的這一缺點(diǎn)。完

10、全主元素消去法是解低階稠密矩陣方程組的有效方法，但是這種方法在選主元素時(shí)會(huì)花費(fèi)一些時(shí)間，而且由于變量之間的位置在消元過(guò)程中（列變換）發(fā)生了改變，這使得對(duì)最后解上三角形方程組時(shí)，變量的值容易發(fā)生錯(cuò)誤，所以在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)記住各變量的具體位置，最后按變量的原始順序輸出方程組的解。由于完全主元素這一局限性，在實(shí)際計(jì)算中也常用部分選主元素（即列主元素）消去法。2、 克萊姆法則定理1、（克萊姆規(guī)則）一個(gè)含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組當(dāng)它的行列式D0時(shí)，有且只有一個(gè)解此處是把行列式的第j列元素?fù)Q以方程組的常數(shù)項(xiàng)而得到的n階行列式。其中D是系數(shù)行列式，D是在系數(shù)行列式基礎(chǔ)之上結(jié)合方程組右邊常數(shù)形成的新行列

11、式，利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式最為有效，對(duì)于二、三階行列式可以利用對(duì)角線法則計(jì)算。克萊姆法則克服了消元法計(jì)算效率低甚至無(wú)法計(jì)算多元一次方程組的缺點(diǎn)，但是對(duì)于系數(shù)行列式等于零以及欠定或者超定方程組的情況，它是無(wú)能為力的)事實(shí)上，當(dāng)未知元數(shù)過(guò)多時(shí)，克萊姆法則的計(jì)算效率就很低。例2.1解線性方程組解：這個(gè)方程組的行列式。因?yàn)?我們可以應(yīng)用克萊姆規(guī)則再計(jì)算以下的行列式由克萊姆規(guī)則，得方程組的解是：克萊姆法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，它主要適用于理論推導(dǎo)。克萊姆法則克服了消元法計(jì)算效率低甚至無(wú)法計(jì)算多元一次方程組的缺點(diǎn)，但是克萊姆也有它的不足：（1）克萊姆法則只能用于求解方程個(gè)

12、數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的線性方程組；（2）克萊姆法則只能求得系數(shù)行列式不為零時(shí)的線性方程組的唯一解；即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù)行列式等于零，則克萊姆法則失效。（3）計(jì)算量大，要計(jì)算 n+1 個(gè) n 階行列式的值。所以使用克萊姆法則求解線性方程組時(shí)應(yīng)該遵循兩個(gè)條件，首先方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)必須相等；其次，系數(shù)行列式不為零。3、 迭代法線性方程組為A=b（A為非奇異矩陣），當(dāng)系數(shù)矩陣A為低階稠密矩陣時(shí)，利用高斯消去法求解這類方程組是合適的，但如果矩陣A的階數(shù)n很大（n）且零元素很多的情況下，利用迭代法解這類方程組是比較合理的。所以以下介紹幾種迭代法及其基本思想。3.1雅可比迭代法(Jac

13、bi)對(duì)于n元線性方程組A=b中的系數(shù)矩陣A可分解為幾個(gè)特殊矩陣的和A=U+D+L，其中U為嚴(yán)格上三角矩陣，D為A的對(duì)角素構(gòu)成的對(duì)角矩陣，L為嚴(yán)格下三角陣，則A=b寫作（U+D+L）=b，（U+L)+D=b,D=-(U+L)+b,由此可得雅可比迭代公式的矩陣形式：=-D-1(U+L)(k)+D-1b，記B=-D-1(U+L)，f=D-1b,從而有(k+1)=B(k)+f，其中矩陣B稱作雅可比迭代法的迭代矩陣。例3.1用雅可比迭代法解線性方程組解：首先從上面的三個(gè)方程中分別分離出變量，由此將這個(gè)方程組改寫成便于迭代且等價(jià)的方程形式，據(jù)此建立迭代公式，取迭代初始解向量，代入上式并反復(fù)迭代，當(dāng)?shù)?/p>

14、數(shù)增加時(shí)迭代結(jié)果就越來(lái)越逼近準(zhǔn)確解，這種迭代過(guò)程是收斂的吧，迭代得到的解向量序列是以為極限，這種方式則稱為雅可比迭代法。3.2高斯賽德爾迭代法（G-S）對(duì)于n元線性方程組A=b中的系數(shù)矩陣A作分解A=U+D+L，其中U為嚴(yán)格上三角矩陣，D為A的對(duì)角素構(gòu)成的對(duì)角矩陣，L為嚴(yán)格下三角陣，則A=b寫作（U+D+L)=b，D=-L=U+b,根據(jù)分量形式就有D(k+1)=-L(k+1)-U(k)+b，從而（D+L）(k+1)=-U(k)+b,如果（D+L）-1存在，則高斯-賽德爾迭代公式的矩陣形式為(k+1)=-（D+L）-1U(k)+（D+L）-1b,即B=-(D+L)-1U,f=(D+L)-1b,于

15、是有(k+1)=B(k)+f，其中矩陣B稱作高斯-賽德爾迭代法的迭代矩陣。例3.2用高斯-賽德爾迭代法解線性方程組解：從上面的三個(gè)方程中分別分離出變量，由此將這個(gè)方程組改寫成便于迭代且等價(jià)的方程組形式，據(jù)此建立迭代公式，取迭代初始解向量，代入上式并反復(fù)迭代，從而得到迭代公式。兩種迭代法的比較：一般情況下，J法與GS法比較并無(wú)優(yōu)劣，收斂情況與速度均不一定。但是，具有相容次序的矩陣，在相同精度要求下，GS法比J法快一倍。若線性方程組系數(shù)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，則J法和GS法都收斂。4、 MATLAB在求解線性方程組中的應(yīng)用MATLAB是功能強(qiáng)大的科學(xué)及工程計(jì)算軟件，它不但具有以矩陣計(jì)

16、算為基礎(chǔ)的強(qiáng)大計(jì)算和分析功能，而且還具有豐富的可視化圖形表現(xiàn)功能和方便的程序設(shè)計(jì)能力。對(duì)于線性方程組其中為此線性方程組的系數(shù)矩陣為列向量,矩陣為由構(gòu)成的此方程組的增廣矩陣。則線性方程組的解可分為以下三種個(gè)情況：（1） 當(dāng)m=n且rank(A) = rank(B) = n時(shí)線性方程組有唯一解，可通過(guò)求出解。例4.1求解方程組解：>> A=1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 3;4 1 3 2;b=5;4;3;2;>> b=5;4;3;2;>> B=A,b;>> n=4;>> RA=rank(A)>> RB=rank(

17、B)>> =Ab = -8.2000 4.0000 18.8000 -12.8000（2） 若 rank(A)rank(B)則方程組 無(wú)解.例4.2求解方程組解：>> A=1 -5 2 -3;-3 1 -4 2;-1 -9 0 -4;5 3 6 -4;>> b=11;-5;-1;1;>> B=A,b;>> n=4;>> RA=rank(A)RA = 3>> RB=rank(B)RB = 4RA<RB 無(wú)解（3）當(dāng)rank(A) = rank(B) = r < n 時(shí)線性方程組 A = b 有無(wú)窮多解

18、.例4.3求齊次方程組的解解：>> clear>> A=1 2 4 -3;3 5 6 -4;4 5 -2 3;3 8 24 -19;>> frmat rat>> n=4;>> RA=rank(A)RA = 2 >> if(RA=n)elseA=null(A,'r')endA= 8 -7 -6 5 1 0 0 1 >> syms k>> =kA = 8k, -7k -6k, 5k k, 0 0, k可見，MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)線性方程組的求解具有程序簡(jiǎn)單、直觀的特點(diǎn)，同時(shí)還具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際計(jì)算巾擺脫了系數(shù)矩陣階數(shù)未知元數(shù)等的限制。3、 總結(jié)本文首先介紹了線性方程組求解的起源問(wèn)題，然后主要介紹了線性方程組的幾種解法。消元法，克萊姆法則和迭代法求解線性方程組。高斯消去法的計(jì)算量非常大，我認(rèn)為我們不僅要學(xué)會(huì)做題目時(shí)會(huì)用方法解題，也需要具備在電腦