1、2.4 連續型隨機變量連續型隨機變量n連續型隨機變量連續型隨機變量 取值是某個區間或整個實數集；取值是某個區間或整個實數集； 取值不能一一列出；取值不能一一列出； 對于這種變量，我們關心的是它的取值落對于這種變量，我們關心的是它的取值落在某個區間的概率。在某個區間的概率。n離散型隨機變量離散型隨機變量 取值是有限個或可列個，可一一列出；取值是有限個或可列個，可一一列出； 變量的每一個可能取值都能計算出概率。變量的每一個可能取值都能計算出概率。2.4.1 2.4.1 連續型隨機變量的概率密度連續型隨機變量的概率密度定義定義 如果對于隨機變量如果對于隨機變量X 的分布函數的分布函數F(x)， 存在

2、非負可積函數存在非負可積函數 f (x)，使得對于任意，使得對于任意 實數實數 x，有，有則稱則稱 X 為為連續型隨機變量連續型隨機變量，其中函數其中函數 f (x) 稱稱為為X 的的概率密度函數概率密度函數,簡稱簡稱概率密度概率密度.xdttfxF,)()(連續型隨機變量連續型隨機變量 X 由其密度函數唯一確定由其密度函數唯一確定 由定義知道，概率密度由定義知道，概率密度 f(x) 具有以下性質：具有以下性質：. 0)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1)( .)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2x).()()(40 xfxFx

3、xf處連續，則有在點若注注 意意 連續型隨機變量密度函數的性質與離散型隨機變連續型隨機變量密度函數的性質與離散型隨機變量分布律的性質非常相似，但是，量分布律的性質非常相似，但是，密度函數不是密度函數不是概率！概率！我們不能認為： ！afaXP，對任意的實數是連續型隨機變量，則設aX0 aXP有連續型隨機變量的一個重要特點連續型隨機變量的一個重要特點證明： 所以有0 aXP aanndxxf1limP Xa1limnP aXan說 明由上述性質可知，對于連續型隨機變量，我由上述性質可知，對于連續型隨機變量，我們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們

4、所關心的是它在某一區間上取值的問題我們所關心的是它在某一區間上取值的問題 ，的密度函數為若已知連續型隨機變量xfXP(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aX0,t0，有，有()()()()().s ttsP XsteP Xst XseP XseP Xt例例5 5設設X X服從參數為服從參數為3 3的指數分布，求它的概率密度的指數分布，求它的概率密度及及023610( 12)031xPXdxedxe 和和(1)P X 330( )00 xexf xx解解X X的概率密度的概率密度3311(1)( )3xP Xf x dxedxe( 12)PX 2112()( )xxP xXx

5、f x dx例例6 若已使用了若已使用了t(t0)小時的電子管，在以后小時的電子管，在以后t小時內失效的（條件）概率為小時內失效的（條件）概率為 ，其中，其中 是是不依賴于不依賴于t的正數。假定電子管壽命為零的概率是零，的正數。假定電子管壽命為零的概率是零，求電子管在求電子管在t0小時內失效的概率。小時內失效的概率。()tot 解解 設設T為電子管的壽命，則由題目的條件得為電子管的壽命，則由題目的條件得()()P tTtt Tttot 故有故有(,)(),()P tTtt TttotP Tt ()(),()P tTtttotP Tt ()( )(),1( )F ttF ttotF t ()(

6、)()1( ),F ttF totF ttt等式兩邊分別求等式兩邊分別求 的極限，可得的極限，可得0t 00()( )()limlim1( ),ttF ttF totF ttt ( )1( )F xF t分離變量，求解微分方程可得分離變量，求解微分方程可得1ln1( )F ttC即即1( )tF tCe 由于電子管壽命為零的概率為零，故初始條件由于電子管壽命為零的概率為零，故初始條件為為F(0)=0，從而，從而C1，對，對t0有有( )1tF te 所以電子管在所以電子管在t0小時內失效的概率為小時內失效的概率為000()( )1tP TtF te 3 3正態分布正態分布X如果連續型隨機變量的

7、密度函數為 22212xf xex 0 其中，為參數 ，xf (x)02X則稱隨機變量服從，參數為，的正態分布記作2XN，標準正態分布標準正態分布為標準正態分布，我們稱，若1010N數為標準正態分布的密度函 xexx2221密度函數的驗證下面驗證： 121222dxedxxfx首先驗證： 12122dxedxxx222dxex或驗證：2222dxexdyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222只需證明22222200 xyredxdyderdr 0222re2222dxex因此，cossinxryr作極坐標變換：， 則有下面驗證：121222dxexd

8、xedxexx2222122121則有1dueu2221xdxudu作變換：， 則綜上所述， xexfx22221 f x滿足密度函數的兩項基本條件，因此確是一個密度函數正態分布密度函數的圖形性質 我們有：由高等數學中的知識，數對于正態分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有這表明：對于任意的對稱，曲線關于直線0 xf (x)0hh 越小落在該區間中的概率就變量越遠時，隨機間離同樣長度的區間，當區對于的值就越小這表明，越遠，離取到最大值時，當Xxfxfxfx21 yf xxyf xOx曲線在處有拐點；曲線以軸為漸近線 f xxyf x若 固定，而改變的值，則的圖形沿軸平行移動，但不

9、改變其形狀因此圖形的位置完全由參數 所確定 的取值越分散形越平坦，這表明的圖越大時，當附近的概率越大；反之落在圖形越陡，因而越小時，可知，當的最大值為的值，由于固定，而改變若XxfyXxfyfxf21xf (x)01正態分布的重要性正態分布是自然界及工程技術中最常見的分布正態分布是自然界及工程技術中最常見的分布之一，大量的隨機現象都是服從或近似服從正態分之一，大量的隨機現象都是服從或近似服從正態分布的可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素布的可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服

10、從正態分布則該隨機指標一定服從或近似服從正態分布正態分布有許多良好的性質，這些性質是其它正態分布有許多良好的性質，這些性質是其它許多分布所不具備的許多分布所不具備的正態分布可以作為許多分布的近似分布正態分布可以作為許多分布的近似分布標準正態分布的計算，則其密度函數為，如果隨機變量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函數為標準正態分布的計算（續） 0 xxP Xx對于我們可直接查表求出0 x 如果，我們可由公式 2212txxxt dtedt x0)(xx-xtudtdu 作變換，得2212uxxedu 22112uxedu 2212uxedu 1x 一般正態分布的計算2XN設，則2221( )2txF xedttdtydy令，則，代入上式，得221( ).2xyxF xedy 122112, ()-().xxx - x - P x Xx=故對任意的有()()()baP aXb 一般正態分布的區間概率一般正態分布的區間概率()()bP Xb ()1()aP Xa ( )x為標準正態分布函數n 。n 。n 。2( ,)XN X X的取值幾乎都落入以的取值幾乎都落入以 為中心，以為中心，以3 3 為半徑為半徑的區間內。這是因為：的