1、 數 學 建 模期末作業姓名 解朝家學號 20121001516學院 機電學院 住房分配問題一 摘要該問題為研究多重影響因素下針對住房分配的合理方安。根據題目所給的條件，影響住房分配的有職稱、工齡、教學情況、學歷以及科研，一般會采用“分檔次分配”的方式，如：“先按工齡分檔次，處在同一檔次的按職稱先后排隊分配住房，職稱相同的再按其他因素排隊”，但是這樣的分配方法存在不合理性。如：若首先按照工齡排隊，則任職晚的就會排在后面，而無論他的職稱或是對公司做出的突出貢獻，這樣顯然不能體現多勞多得，先勞先得的公平法則。但同時也考慮到各個影響因素確實也有主次大小之分，即不同因素對住房分配的影響程度是不同的，故

2、住房分配是一個多指標，多成員，多不定因數的決策問題，是多屬性決策在現實中的具體應用。而解決多屬性決策問題關鍵的環節就是確定各指標的相對權重。在確定權的方法上目前主要有層次分析法中的最大特征根法、近似計算方法中的冪法、方根法、求積法，加權平方和法以及來自信息論的熵技術等。一定的原則指導下，尋求一種較為合理、有效的方法對住房分配也就顯得十分必要。層次分析法是解決多屬性決策的一種行之有效的方法。本文通過分析住房分配要素的性質和成員在各指標下的數據，利用層次分析法，結合具體實例給出了分配方案需要的排序。并在文末，檢驗了方案的合理性，并對個例進行了推廣，使這種方法更具有通用性。又按照層次分析法以及題意可

3、知：目標層為住房分配；準則層為五大因素，且按權重依次為職稱、工齡、教學情況、學歷及科研，再根據權重構造比較矩陣，對其進行一致性檢驗，可以接受，進一步求出最大特征值，然后在對矩陣進行歸一化，得到相應的特征向量。方案層為50位老師，依據每位老師對5個因素的不同量化數據，構造出5個50階一致性矩陣，其特征值為50，進一步對每個矩陣進行歸一化，得到相應的特征向量，據此計算出方案層對目標層的組合權向量，并作組合一致性檢驗。通過檢驗，則按照組合權向量表示的結果進行決策。某中學現有30套福利房欲分配給該校老師，該校有50位教師。學校經過全體老師討論決定，分房只考慮下列因素：職稱，工齡，學歷，教學情況。關鍵詞

4、：層次分析法；主成分分析法；歸一化；一致性檢驗二問題的重述 某中學現有30套福利房欲分配給該校老師，該校有50位教師。學校經過全體老師討論決定，分房只考慮下列因素：職稱，工齡，學歷，教學情況。具體情況如下表1，請設計一個數學模型，合理分配這30套住房?，F在要綜合考慮各個方面因素，即職稱，工齡，學歷，教學情況。找到一種更合理、更人性化、更公平、公正的分配方法。表1三.問題的分析該問題按照層次分析法需要建立目標層、準則層、決策層：目標層為住房分配；準則層為五大因素，且按權重依次為：1職稱:2工齡、3教學情況、4學歷、5科研，再根據權重構造比較矩陣，對其進行一致性檢驗，可以接受，進一步求出最大特征值

5、，然后在對矩陣進行歸一化，得到相應的特征向量，不能接受，則需要重新分配權重，進一步求出最大特征值，然后在對矩陣進行歸一化，得到相應的特征向量。方案層為50位老師，依據每位老師對5個因素的不同量化數據，構造出5個50階一致性矩陣，其特征值為50，進一步對每個矩陣進行歸一化，得到相應的特征向量，據此計算出方案層對目標層的組合權向量，并作組合一致性檢驗。四.模型假設1、假設分配住房只考慮下列5個因素：職稱、工齡、學歷、教學、科研情況，而不考慮是否已有住房或住房的挑選等問題。2、假設該中學主要遵循“按勞分配，兼顧科研”的住房分配原則。3、假設每位教師至多分得1套住房。4、假設住房分配選擇的指標、計算各

6、屬性值時采取的量化方法及確定指標的相對重要程度都具有權威性，各成員對此沒有異議。5、當總權重一樣時，以工齡為優先權，接著以職稱，教學，學歷，科研五.模型設計 1、建立遞階層次結構模型據題意，住房分配問題的考慮因素有1職稱:2工齡、3教學情況、4學歷、5科研，本文以這五項為準則層，住房分配為目標層，50個老師為決策層，構造了如圖1：目標層： 住房分配準則層： 職稱 工齡 學歷 教學 科研 方案層: p1 p2 p3 . P50 2、構造判斷矩陣層次結構反映了因素之間的關系，但準則層中的各準則在目標衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。Saaty等人建議可以采取對因

7、子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結果用矩陣A=(aij)nxn表示，稱A為Z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi與xj對Z的影響之比為aij，則xj與xi對Z的影響之比應為aji=1/aij。aij值的確定，可用1-9數的倒數表示如下對準則層的尺度比較如下所示：則可以得到非一致性矩陣如下：C= 1 3 4 5 6 1/3 1 2 3 4 1/4 1/2 1 2 3 1/5 1/3 1/2 1 2 1/6 1/4 1/3 1/2 1職稱 學歷 工齡 科研 教學3、對準則層判斷矩陣進行一致性

8、檢驗并求其權向量(1)計算一致性指標CI 公式：CI=(max-n)/(n-1) lmax為矩陣對應的最大特征根，n為矩陣維數 (2)查找相應的平均隨機一致性指標RI。RI的值，如下所示：RI值是用隨機方法構造500個樣本矩陣，隨機地從19及其倒數中抽取數字構造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值max，并用如下定義得到的： RI=max-n/n-1(3) 計算一致性比例CR： CR=CI/RI計算CI應該先計算出max，即矩陣C的最大特征向量在matlab中輸入：則max=5.0988，代入CI，可求出CI=(5.0988-5)/(5-1)=0.0247,當n=5時，RI=1.12,所以CR=

9、CI/RI=0.0221,小于0.1，滿足一致性檢驗。計算準則層最大特征值對應的權向量 公式方法如下：用MATLAB計算結果輸入程序a=ones(5)a(1,2)=3;a(1,3)=4;a(1,4)=5;a(1,5)=6;a(2,3)=2;a(2,4)=3;a(2,5)=4;a(3,4)=2;a(3,5)=3;a(4,5)=2;fori=1:5forj=1:5a(j,i)=1/a(i,j)endendv,d=eig(a)g=max(max(d)fori=1:5b(i)=0forj=1:5b(i)=a(i,j)+b(i)j+1endendm=0fork=1:5m=b(k)+mendm;fori=

10、1:5n(i)=b(i)/mendn結果如下權重 職稱 學歷 工齡 科研 教學4、量化所有教師在5項因素中的程度并求各項權向量，量化方案如下職稱 高級8 中級5 初級3學歷 博士8 碩士6 本科4 ?？?工齡 實際工齡/5+1科研 好10 一般7 差4教學 好10 一般7 差4則各教師量化結果如下：教師編號 職稱 學歷 工齡 科研 教學 1 8 10 4 10 102 8 8 6 7 73 8 7 6 7 74 8 7 4 7 105 8 5 8 4 46 8 6 6 4 77 5 5 8 7 78 5 5 6 10 79 5 4 6 10 710 5 4 6 10 711 5 4 6 10

11、712 5 4 6 7 713 5 3 6 7 1014 5 3 6 10 415 5 4 6 4 716 5 4 6 4 717 5 4 6 4 718 5 3 6 7 719 5 4 4 10 420 5 4 4 4 1021 5 4 4 7 422 5 3 4 7 1023 5 3 4 7 1024 3 2 8 10 1025 3 2 8 10 726 5 3 4 4 727 5 3 4 4 428 3 2 8 4 1029 3 3 6 7 7 30 3 3 6 4 1031 3 2 6 10 432 3 2 6 7 10 33 3 2 6 7 1034 3 2 6 7 1035 3 1

12、 6 10 1036 3 2 6 7 7 37 3 2 6 7 7 38 3 1 6 10 739 3 1 6 10 740 3 2 6 4 1041 3 2 6 4 1042 3 3 4 7 743 3 1 6 7 744 3 1 6 7 745 3 2 4 10 446 3 2 2 4 747 3 1 2 7 748 3 1 2 7 449 3 1 2 4 750 3 1 2 4 7計算各項權向量1、求職稱因素影響的最大特征根值及所對應的歸一化特征向量：輸入程序 b1=8,8,8,8,8,8,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,3,3,3,3,3,3

13、,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3fori1=1:1:50fori2=i1:1:50c1(i1,i2)=b1(i1)/b1(i2)c1(i2,i1)=1/c1(i1,i2)i2+1endendv1,d1=eig(c1)g1=max(max(d1)fori=1:50f1(i)=0forj=1:50f1(i)=c1(i,j)+f1(i)j+1endendm1=0fork1=1:50m1=f1(k1)+m1endm1fori=1:50n1(i)=f1(i)/m1endn1輸出結果 2、求學歷因素影響的最大特征根及所對應的歸一化特征向量輸入程序b2=4,6,6

14、,4,6,8,8,6,6,6,4,4,6,6,4,6,4,6,4,4,6,6,6,6,4,6,6,6,6,8,6,6,2,6,6,4,4,6,6,6,2,6,6,2,8,2,6,8,6,2fori1=1:1:50fori2=i1:1:50c2(i1,i2)=b2(i1)/b2(i2)c2(i2,i1)=1/c2(i1,i2)i2+1endendv2,d2=eig(c2)g2=max(max(d2)fori=1:50f2(i)=0forj=1:50f2(i)=c2(i,j)+f2(i)j+1endendm2=0fork2=1:50m2=f2(k2)+m2endm2fori=1:50n2(i)=f

15、2(i)/m2endn2輸出結果3、求工齡因素影響的最大特征根值及所對應的歸一化特征向量輸入程序b3=10,8,7,7,6,5,5,5,4,3,4,3,3,4,4,4,4,3,3,3,4,4,4,4,3,3,2,3,2,2,2,1,1,2,2,2,3,2,1,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1fori1=1:1:50fori2=i1:1:50c3(i1,i2)=b3(i1)/b3(i2)c3(i2,i1)=1/c3(i1,i2)i2+1endendv3,d3=eig(c3)g3=max(max(d3)g3fori=1:50f3(i)=0forj=1:50f3(i)=c3(i,j)+f3

16、(i)j+1endendm3=0fork3=1:50m3=f3(k3)+m3endm3fori=1:50n3(i)=f3(i)/m3endn3輸出結果4、求科研因素影響的最大特征值及所對應的歸一化特征向量輸入程序b4=10,7,7,7,4,4,7,10,4,7,10,7,10,7,4,10,7,7,7,4,4,4,10,10,4,4,7,7,10,10,7,7,4,4,7,10,7,7,10,4,4,7,10,7,4,4,10,10,7,7fori1=1:1:50fori2=i1:1:50c4(i1,i2)=b4(i1)/b4(i2)c4(i2,i1)=1/c4(i1,i2)i2+1enden

17、dv4,d4=eig(c4)g4=max(max(d4)g4fori=1:50f4(i)=0forj=1:50f4(i)=c4(i,j)+f4(i)j+1endendm4=0fork4=1:50m4=f4(k4)+m4endm4fori=1:50n4(i)=f4(i)/m4endn4輸出結果5、求教學因素影響的最大特征值及所對應的歸一化特征向量輸入程序b5=10,7,7,10,7,4,7,7,7,10,4,10,4,7,10,7,4,7,10,7,7,7,7,7,4,10,7,7,4,7,10,7,7,10,7,4,7,10,7,10,7,10,7,4,10,7,10,10,7,7fori1=

18、1:1:50fori2=i1:1:50c5(i1,i2)=b5(i1)/b5(i2)c5(i2,i1)=1/c5(i1,i2)i2+1endendv5,d5=eig(c5);g5=max(max(d5);g5fori=1:50f5(i)=0forj=1:50f5(i)=c5(i,j)+f5(i)j+1endendm5=0fork5=1:50m5=f5(k5)+m5endm5fori=1:50n5(i)=f5(i)/m5;endn5輸出結果即b=n1,n2,n3,n4,n5如下b=0.0367 0.0149 0.0633 0.0288 0.0270 0.0367 0.0224 0.0506 0.

19、0202 0.0189 0.0367 0.0224 0.0443 0.0202 0.0189 0.0367 0.0149 0.0443 0.0202 0.0270 0.0367 0.0224 0.0380 0.0115 0.0189 0.0367 0.0299 0.0316 0.0115 0.0108 0.0229 0.0299 0.0316 0.0202 0.0189 0.0229 0.0224 0.0316 0.0288 0.0189 0.0229 0.0224 0.0253 0.0115 0.0189 0.0229 0.0224 0.0190 0.0202 0.0270 0.0229 0

20、.0149 0.0253 0.0288 0.0108 0.0229 0.0149 0.0190 0.0202 0.0270 0.0229 0.0224 0.0190 0.0288 0.0108 0.0229 0.0224 0.0253 0.0202 0.0189 0.0229 0.0149 0.0253 0.0115 0.0270 0.0229 0.0224 0.0253 0.0288 0.0189 0.0229 0.0149 0.0253 0.0202 0.0108 0.0229 0.0224 0.0190 0.0202 0.0189 0.0229 0.0149 0.0190 0.0202

21、0.0270 0.0229 0.0149 0.0190 0.0115 0.0189 0.0229 0.0224 0.0253 0.0115 0.0189 0.0229 0.0224 0.0253 0.0115 0.0189 0.0229 0.0224 0.0253 0.0288 0.0189 0.0229 0.0224 0.0253 0.0288 0.0189 0.0229 0.0149 0.0190 0.0115 0.0108 0.0138 0.0224 0.0190 0.0115 0.0270 0.0138 0.0224 0.0127 0.0202 0.0189 0.0138 0.0224

22、 0.0190 0.0202 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0288 0.0108 0.0138 0.0299 0.0127 0.0288 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0202 0.0270 0.0138 0.0224 0.0063 0.0202 0.0189 0.0138 0.0075 0.0063 0.0115 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0115 0.0270 0.0138 0.0224 0.0127 0.0202 0.0189 0.0138 0.0149 0.0127 0.0288 0.010

23、8 0.0138 0.0149 0.0190 0.0202 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0202 0.0270 0.0138 0.0224 0.0063 0.0288 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0115 0.0270 0.0138 0.0075 0.0063 0.0115 0.0189 0.0138 0.0224 0.0127 0.0202 0.0270 0.0138 0.0224 0.0063 0.0288 0.0189 0.0138 0.0075 0.0063 0.0202 0.0108 0.0138 0.0299 0.01

24、27 0.0115 0.0270 0.0138 0.0075 0.0127 0.0115 0.0189 0.0138 0.0224 0.0063 0.0288 0.0270 0.0138 0.0299 0.0127 0.0288 0.0270 0.0138 0.0224 0.0063 0.0202 0.01890.0138 0.0075 0.0063 0.0202 0.0189職稱 學歷 工齡 科研 教學求總權重輸入程序輸出結果將之按從大到小排列并輸出編號在c+中輸入程序如下#includevoid main()double a50=0.0344,0.0329,0.0319,0.0305,0.

25、0301,0.0305,0.0255,0.0245,0.0219,0.0221,0.0213,0.0203,0.0221,0.0227,0.0205,0.0235,0.0205,0.0217,0.0203,0.0191,0.0219,0.0219,0.0235,0.0235,0.0186,0.0172,0.0166,0.0176,0.0170,0.0192,0.0170,0.0156,0.0111,0.0162,0.0166,0.0151,0.0158,0.0170,0.0164,0.0162,0.0111,0.0170,0.0164,0.0115,0.0180,0.0121,0.0168,0.0196,0.0156,0.0119;double c50=0.0344,0.0329,0.0319,0.0305,0.0301,0.0305,0.0255,0.0245,0.0219,0.0221,0.0213,0.0