1、 使 命：給 孩 子 受 益 一 生 的 教 育 ！授課教案 學員姓名：_ 學員年級：_ 授課教師：_ 所授科目：_ 上課時間：_年_月_日 （ ）； 共_課時 （以上信息請老師用正楷字手寫） 軸對稱最值問題專項提升【知識點】最短路徑兩點之間，線段最短例：四邊形ABCD中，BAD=，B=D=,在BC，CD上分別找一點M，N，使AMN周長最小，則AMN+ANM的度數是（ ）A. B. C. D.例：如圖，P，Q分別為ABC的邊AB，AC上的定點,在BC上求作一點M，使PQM周長最小。一解答題（共6小題）1已知：如圖所示，M（3，2），N（1，1）點P在y軸上使PM+PN最短，求P點坐標2如圖，A

2、BC的邊AB、AC上分別有定點M、N，請在BC邊上找一點P，使得PMN的周長最短 保留作圖痕跡）3如圖ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，Q是AC邊上的動點，當P、Q的位置在何處時，才能使DPQ的周長最小？并求出這個最值4如圖，AOB=30°，AOB內有一定點P，且OP=10，OA上有一點Q，OB上有一定點R若PQR周長最小，求它的最小值5如圖，已知A、B是銳角的OM邊上的兩個定點，P在ON邊上運動問P點在什么位置時，PA2+PB2的值最小？6如圖，兩個生物制藥廠A與B座落于運河河岸的同一側工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米，兩個工廠的距離為6千

3、米現要在運河的工廠一側造一點C，在C處擬設立一個貨物運輸中轉站，并建設直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使直線運送帶總長最小如圖建立直角坐標系（1）如果要求貨物運動中轉站C距離河岸l為a千米（a為一個給定的數，0a2），求C點設在何處時，直線輸送帶總長S最小，并給出S關于a的表達式（2）在0a2范圍內，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求其最小值2014年09月09日752444625的初中數學組卷參考答案與試題解析一解答題（共6小題）1已知：如圖所示，M（3，2），N（1，1）點P在y軸上使PM+PN最短，求P點坐標考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質菁優網版權所有專題：數形結合分析：找出

4、點N關于y軸的對稱點，連接M與對稱點，與y軸的交點為P點，根據兩點之間，線段最短得到此時點P在y軸上，且能使PM+PN最短根據關于y軸對稱點的特點，找出N對稱點的坐標，設出直線MP的方程，把N的對稱點的坐標和M的坐標代入即可確定出直線MP的方程，然后令x=0求出直線與y軸的交點，寫出交點坐標即為點P的坐標解答：解：根據題意畫出圖形，找出點N關于y軸的對稱點N，連接MN，與y軸交點為所求的點P，N（1，1），N（1，1），設直線MN的解析式為y=kx+b，把M（3，2），N（1，1）代入得：，解得，所以y=x，令x=0，求得y=，則點P坐標為（0，）點評：此題考查了對稱的性質，以及利用待定系數法

5、求一次函數的解析式利用對稱的方法找出線段之和的最小值的步驟為：1、找出其中一個定點關于已知直線的對應點；2、連接對應點與另一個定點，求出與已知直線交點的坐標；3、根據兩點之間，線段最短可知求出的交點坐標即為滿足題意的點的坐標2如圖，ABC的邊AB、AC上分別有定點M、N，請在BC邊上找一點P，使得PMN的周長最短 （寫出作法，保留作圖痕跡）考點：軸對稱-最短路線問題菁優網版權所有專題：作圖題分析：作點N關于BC的對稱點N，連接MN交BC于點P，由兩點之間線段最短可知P點即為所求點解答：解：作點N關于BC的對稱點N，連接MN交BC于點P，由對稱的性質可知PN=PN，故PN+PM=MN，由兩點之間

6、線段最短可知，PMN的最短周長即為MN+MN點評：本題考查的是最短線路問題，根據兩點之間線段最短的知識作出N的對稱點是解答此題的關鍵3如圖ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，Q是AC邊上的動點，當P、Q的位置在何處時，才能使DPQ的周長最小？并求出這個最值考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質菁優網版權所有專題：幾何圖形問題分析：作出D關于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DP，根據軸對稱的性質將三角形的周長最值問題轉化為兩點之間線段最短的問題，利用等邊三角形的性質和三角函數即可解答解答：

7、解：作D關于BC、AC的對稱點D'、D''，連接D'D''，DQ，DPDQ=D''Q，DP=D'P，DPQ的周長為PQ+DQ+DP=PQ+D''Q+D'P=D'D''，根據兩點之間線段最短，D'D''的長即為三角形周長的最小值A=B=60°，BED=AFD=90°，=90°60°=30°，D'DD''=180°30°30°=120°，D為A

8、B的中點，DF=ADcos30°=1×=，AF=，易得ADFQD''F，QF=AF=，AQ=1，BP=1，Q、P為AC、BC的中點DD''=×2=，同理，DD'=×2=，DD'D''為直角三角形，D'=D''=30°，D''D'=2DD'cos30°=2××=3點評：此題考查了軸對稱最短路徑問題，涉及正三角形的性質、三角函數、三角形的內角和定理、等腰三角形的性質和判定等知識，有一定難度4如圖，AO

9、B=30°，AOB內有一定點P，且OP=10，OA上有一點Q，OB上有一定點R若PQR周長最小，求它的最小值考點：軸對稱-最短路線問題菁優網版權所有專題：計算題分析：先畫出圖形，作PMOA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM作PNOB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則PQR即為周長最短的三角形再根據線段垂直平分線的性質得出PQR=EF，再根據三角形各角之間的關系判斷出EOF的形狀即可求解解答：解：設POA=，則POB=30°，作PMOA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM

10、作PNOB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則PQR即為周長最短的三角形OA是PE的垂直平分線，EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，FR=RP，PQR的周長=EFOE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+2（30°）=60°，EOF是正三角形，EF=10，即在保持OP=10的條件下PQR的最小周長為10故答案為：10點評：本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關鍵根據軸對稱的性質作出各點的對稱點，即把求三角形周長的問題轉化為求線段的長解答5如圖，已知A、B是銳角的OM邊上的兩個定點

11、，P在ON邊上運動問P點在什么位置時，PA2+PB2的值最小？考點：軸對稱-最短路線問題菁優網版權所有專題：動點型；探究型；存在型分析：由余弦定理，可得二次函數，然后可求最值解答：解：設OA=a，OB=b，OP=x，PA2=a2+x22axcos，PB2=b2+x22bxcos，PA2+PB2=a2+x22axcos+b2+x22bxcos=2x22（a+b）cosx+a2+b2，當x=cos時，PA2+PB2的值最小點評：本題考查的是最短路線問題，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵6如圖，兩個生物制藥廠A與B座落于運河河岸的同一側工廠A和B距離河岸l分別為4千米和2千米，兩個工廠的距

12、離為6千米現要在運河的工廠一側造一點C，在C處擬設立一個貨物運輸中轉站，并建設直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使直線運送帶總長最小如圖建立直角坐標系（1）如果要求貨物運動中轉站C距離河岸l為a千米（a為一個給定的數，0a2），求C點設在何處時，直線輸送帶總長S最小，并給出S關于a的表達式（2）在0a2范圍內，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求其最小值考點：軸對稱-最短路線問題；直角梯形菁優網版權所有專題：探究型分析：（1）過B作直線BEy軸于E點，再根據所建直角坐標系及A和B距離河岸l分別為4千米和2千米求出A、B兩點的坐標，再用a表示出B點的坐標，再用兩點間的距離公式即可求解；（2）根據（1）中S的表達式及a的取值范圍進行解答即可解答：解：（1）如圖所示：過B作直線BEy軸于E點，A和B距離河岸l分別為