1、精選優質文檔-傾情為你奉上空間角專題復習知識梳理一、異面直線所成的角及求法(1)定義：在空間任意取一點，過該點分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或直角稱為兩異面直線所成的角(2)取值范圍：若是異面直線a和b所成的角，則其取值范圍是(0，當時，稱異面直線a和b垂直，記為ab.(3)求法：平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點后，構造三角形，通過解該三角形而求其大??；二、直線與平面所成的角及求法(1)定義：設l和分別表示直線與平面若l或l，則稱直線l和平面所成的角為0；若l，則稱l與所成的角為；若l與相交，則l與l在內的射影所成的銳角為直線l與平面所成的角(2)取值范圍：設是直線l與平面

2、所成的角，則的取值范圍是(3)求法：定義法：探尋直線l在平面內的射影，(通常由垂直法找射影)構造直線l與平面所成角對應的直角三角形，通過解該直角三角形而求得直線與平面所成的角三、二面角及求法(1)定義：在二面角的棱上任取一點，分別在二面角的兩個面內作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角，且定義平面角的大小為該二面角的大小(2)取值范圍：規定二面角的取值范圍為0，(3)求法：定義法：分別在二面角的兩個面內作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角練習提升1如圖，E、F分別是三棱錐PABC的棱AP、BC的中點，PC10，AB6，EF7，則異面直線AB與PC所成的角為 ( )A3

3、0°B45°C60° D90°答案：C2. 已知長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，則直線BC1和平面DBB1D1所成的角的正弦值為( )A.B.C. D.答案：C3.如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC60°，將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD1，則二面角BACD的余弦值為 ( )A. B.C. D.答案：A4在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C與對角面DD1B1B所成角的大小是 ( )A15° B30°C45° D60°答案：B5如圖，ABCDA1B1C1D1是長方體，

4、AA1a，BAB1B1A1C130°，則AB與A1C1所成的角為_，AA1與B1C所成的角為_ 答案：，6. 在正方體ABCDA1B1C1D1中， (1)直線A1B與平面ABCD所成的角是_；(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的角是_；(3)直線A1B與平面AB1C1D所成的角是_答案 (1)45°(2)30°(3)90°7設直線與平面所成角的大小范圍為集合P，二面角的平面角大小范圍為集合Q，異面直線所成角的大小范圍為集合R，則P、Q、R的關系為()ARPQBRPQCPRQ DRPQ答案：B8設ABC和DBC所在兩平面互相垂直，且ABBCBDa，CB

5、ACBD120°，則AD與平面BCD所成角的大小為()A30° B45°C60° D75°解析：作AOCB交CB的延長線于O，連接OD，則OD即為AD在平面BCD內的射影，ADO即為AD與平面BCD所成的角AOODa，ADO45°.答案：B9. 如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PAAC，則二面角PBCA的大小為()A60°B30°C45°D15°答案 C10如圖，已知四棱錐PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，且PAAD，則平面PAB與平面PCD

6、所成的二面角的度數為()A90° B60°C45° D30°解析：ABCD，面PAB與平面PCD的交線l必為過P點與AB平行的直線PA平面ABCD，PAAB，PACD，又CDAD，DC平面PAD，DCPD，PAl，PDl，即APD為所求二面角的平面角，APD45°.答案：C11把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下列結論：ACBD；ADC是正三角形；AB與CD成60°角；AB與平面BCD成60°角則其中正確結論的個數是()A1個 B2個 C3個 D4個解析：取BD的中點O，則BDOC，BDOA，得BD平面AOC，B

7、DAC，正確；cosADCcos45°·cos45°，ADC60°，ADDC，ADC是正三角形，正確；AB與CD成60°角，正確；AB與平面BCD成角ABO45°，錯誤答案：C12如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1中，過頂點B、D、C1作截面，則二面角BDC1C的平面角的余弦值是_解析：取C1D的中點O，連接BO、CO，則BOC1D，COC1D，BOC是二面角BDC1C的平面角設正方體的棱長為1，則CO，BDC1為正三角形，OB，且BC1，cosBOC.答案：13如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAA1，ABC90&

8、#176;，點E、F分別是棱AB、BB1的中點則直線EF和BC1所成的角是()A45°B60°C90° D120°解析：取B1C1的中點G，A1B1的中點H，連結FG、BG、HG、EH，則FGBC1，且EFG或其補角就是所求的角，利用余弦定理可求得cosEFG，故所求角為60°.答案：B14如圖，將RtABC沿斜邊上的高AD折成120°的二面角CADC，若直角邊AB4，AC4，則二面角ABCD的正切值為()A. B.C. D1解析：CDC120°，過D作DEBC于E，連結AE，則AED即為所求又知AD平面BCD，AD4，在B

9、CD中，由余弦定理求得BC4，再由面積公式SBCDBC·DE·BD·CD·sin60°知DE4，tanAED.答案：A點評：考查二面角的知識，余弦定理及三角形的邊角計算如何作出二面角的平面角是解決此類問題的關鍵15在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的度數是()A30° B45°C60° D75°解析：如右圖所示，過A作AEBD，垂足為E，連結PE，則PEBD(三垂線定理)，故PEA為二面角PBDA的平面角在RtBAD中，AE.在RtPAE中，tanPEA，PEA3

10、0°.答案：A16正四棱錐PABCD的兩個側面PAB與PCD互相垂直，則相鄰兩個側面所成二面角的平面角為()A60° B90°C120° D150°解析：如圖，作BEPC，連結DE.PDCPBC，DEPCDEB就是二面角DPCB的平面角，O為DB的中點，OEBDEB，又面PAB面PCD，POAB，在RtPOC中，OCAB，所以PCAB.OEAB.tanOEB，OEB，DEB.答案：C 17. 如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其它四個側面都是側棱長為的等腰三角形，則二面角VABC的度數是_答案 60°18如圖

11、，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB，點M、N分別在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，現將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖)(1)求證：AB平面DNC；(2)當DN時，求二面角DBCN的大小解：(1)證明：MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMBM，且MA、MB平面MAB.AB平面DNC.(2)過N作NHBC交BC延長線于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MBCN，從而DHBC，DHN為二面角DBCN的平面角由MB4，BC2，MCB90°知MBC60°，CN42c

12、os60°3，NH3sin60°.由條件知：tanNHD，NHD30°.19.如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分別是AB、PD的中點(1)求證：AF平面PEC；(2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角PECD的正切值解：(1)證明：如圖，取PC的中點O，連接OF、OE，則FODC，且FODC，FOAE，又E是AB的中點，且ABDC，FOAE.四邊形AEOF是平行四邊形，AFOE.又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)如圖，連接AC，PA平面ABCD，PCA是直線PC

13、與平面ABCD所成的角在RtPAC中，tanPCA，即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為.(3)如圖，作AMCE，交CE的延長線于M.連接PM，由三垂線定理得PMCE，PMA是二面角PECD的平面角由AMECBE可得AM，tanPMA.二面角PECD的正切值為.20. 如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA.(1)證明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小(1)證明如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且BCD60°知，BCD是等邊三角形因為E是CD的中點，所以BECD.又ABCD，所

14、以BEAB.又因為PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，則PBA60°.故二面角ABEP的大小是60°.21已知平面外兩點A、B到平面的距離分別為1和2，A、B兩點在內的射影之間距離為，求直線AB和平面所成的角解(1)如圖(1)，當A、B位于平面同側時，由點A、B分別向平面作垂線，垂足分別為A1、B1，則AA11，BB12，B1A1.過點A作AH

15、BB1于H，則AB和所成角即為HAB.而tanBAH.BAH30°.(2)如圖(2)，當A、B位于平面異側時，經A、B分別作AA1于A1，BB1于B1，ABC，則A1B1為AB在平面上的射影，BCB1或ACA1為AB與平面所成角BCB1ACA1，2，B1C2CA1，而B1CCA1，B1C.tanBCB1，BCB160°，AB與所成角為60°.綜合(1)、(2)可知：AB與平面所成角為30°或60°.22. 如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BCA90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求證：BC 平面PAC.(2)