1、宜昌市邁克學習能力培訓學校 態度決定一切講 義 分式姓名： 分式知識點一：分式的定義一般地，如果A，B表示兩個整數，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。知識點二：與分式有關的條件分式有意義：分母不為0（B0）分式無意義：分母為0（B=0）分式值為0：分子為0且分母不為0（A=0且B0）分式值為正或大于0：分子分母同號（或）分式值為負或小于0：分子分母異號（或）分式值為1：分子分母值相等（A=B）分式值為-1：分子分母值互為相反數（A+B=0）知識點三：分式的基本性質分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：

2、分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即注意：在應用分式的基本性質時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。知識點四：分式的約分定義：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。注意：分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數的最大公約數，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。 分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。知識點五：分式的通分分式的通分：根據分式的基本性質，把幾

3、個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。確定最簡公分母的一般步驟： 取各分母系數的最小公倍數； 單獨出現的字母（或含有字母的式子）的冪的因式連同它的指數作為一個因式； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數最大的。 保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取。注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。知識點六：分式的四則運算與分式的乘方分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表

4、示為：分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數，整式前面是負號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序先乘方、再乘除、后加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質量。注意：在運算過程中，要明確每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析

5、出錯的原因。知識點七：整數指數冪引入負整數、零指數冪后，指數的取值范圍就推廣到了全體實數，并且正正整數冪的法則對對負整數指數冪一樣適用。即 （） （） （） （任何不等于零的數的零次冪都等于1）m，n均為整數。科學記數法若一個數x是0<x<1的數，則可以表示為（，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形式，n的確定：n=從左邊第一個0起到第一個不為0的數為止所有的0的個數的相反數。如0.000000125=若一個數x是x>10的數則可以表示為（，即a的整數部分只有一位，n為整數）的形式，n的確定：n=比整數部分的數位的個數少1。如120 000 000=知識點七分式方程的解的步

6、驟去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產生增根的過程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。產生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分母后值為0。知識點八：列分式方程基本步驟審：仔細審題，找出等量關系。設：合理設未知數。列：根據等量關系列出方程（組）。解：解出方程（組）。注意檢驗驗：檢驗并答題。計算專練1、化簡，然后從中選取一個你認為合適的數作為x的值代入求值化簡求值：，其中 化簡： ； ； ÷（a2-4）· a+b+

7、 (x+1)÷ 23宜昌市邁克學習能力培訓學校 態度決定一切分式典型題1、代數式中，是整式的有_，是分式的有_.2、若M=,則當x_時，M有意義；當x=_時，M=0；當x=_時，M=4.3、當x_時，分式的值為正數.4、在正數范圍內定義一種運算*，其規則為a*b=，則x*(x+1)=_.5、不論x取何值時，下列分式總有意義的是（ ）A.B. C.D.6、若x29=0,則分式的值為（ ）A.1 B.5 C.1或5D.57、若分式的值為零，則m取值為( )A.m=±1B.m=1 C.m=1D.m的值不存在8、每千克m元的糖果x千克與每千克n元的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后

8、的雜拌糖果每千克的價格為( )A.元B.元 C.元D.()元9、如果把分式中的x、y的值都擴大2倍，那么分式的值（ ）A.擴大2倍B.擴大6倍 C.擴大3倍 D.不變10、甲、乙兩人加工某種機器零件，已知甲每天比乙多做a個，甲做m個所用的天數與乙做n個所用的天數相等（其中mn），設甲每天做x個零件，則甲、乙兩人每天所做零件的個數分別是（ ）A.、 B. 、 C.、D.、11、下列各式中，是分式的是( )A.B. x2C.D.12、當a為任何實數時，下列分式中一定有意義的一個是( )A.B.C.D.13、當m_時，關于x的方程有增根；若關于x的方程=無解，則m= 14、已知，求分式的值。15、已

9、知，求的值.16、若方程的解是正數，求a的取值范圍.已知關于x的分式方程=1的解是非正數，求a的取值范圍.17、已知a2+3a+1=0,求（1）a+; （2）a2+; （3）a4+18、已知a、b、c均不為0，且,求的值。19、已知，求代數式的值20、若，求的值。21、已知求的值22、化簡：23、計算：（巧算） 24、已知x為正整數，且也為正整數，求所有符合條件的x的值。分式培優題一、填空1、若a、b 滿足+=2，則的值是 。2、當x_時，與互為倒數 3、如果，則 ； 4、當m= 時，分式的值為零. 5、已知-=4，則= 。6、若abc=135，則= ，= 。7、已知：=，則= 8、已知，則=

10、 。9、如圖，第（1）個多邊形由正三角形“擴展”而來，邊數記為，第（2）個多邊形由正方形“擴展”而來，邊數記為，依此類推,由正邊形“擴展”而來的多邊形的邊數記為（n3）.則的值是 ,當的結果是時，n的值 .10、先觀察下列等式，然后用你發現的規律解答下列問題 (1) 計算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值為，求的值二、選擇題11、如果m個人完成一項工作需要d天，則（m+n）個人完成這項工作需要的天數為（ ）Ad+n Bd-n C D12、若x+=3,求的值是（ ） A B C D 13、如果=2，則( ) A B1 C D214、如果滿足，那么的值是( ) A B4 C D141

11、5、已知分式的值是正整數，求整數的值。16、已知：的值17、已知，求分式的值。18、已知，求分式的值，能求出，的值嗎？19、已知，求的值。20、已知，求的值。21、已知，22、（1）請你任意寫出3個正的真分數：_ _，_ _，_ _，給每個分數的分子、分母同加一個相同正數得到三個新分數：_ _，_ _，_ _，（2）比較原來每個分數與對應新分數的大小，可以得出下面的結論：一個真分數是（，均為正數），給其分子分母同加一個正數，得，則兩個分數的大小關系是_并證明你的結論分式方程培優題1、若關于x的方程=0有增根，則m的值是（ ）A3 B2 C1 D-12、已知方程有增根，則這個增根一定是（ ）A2

12、 B3 C4 D53、若的值為零，則x的值是( )A.±1 B.1 C.-1 D.不存在4、分式中，當x=-a時，下列結論正確的是( )A.分式的值為零 B.分式無意義 C.若a時,分式的值為零 D.若a時,分式的值為零5、關于x的方程=1的解是正數，則m的取值范圍是（ ）A、m-1 B、m-1且m 0 C、m-1 D 、m-1且m-26、某工程，甲隊獨做所需天數是乙、丙兩隊合作所需天數的a倍，乙隊獨做所需天數是甲、丙兩隊合作所需天數的b倍，丙隊獨做所需天數是甲、乙兩隊合作所需天數的c倍，則+的值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、47、若關于x的方程-1=0無實數根，則a的值為_8

13、、若關于x的方程=1-無解，則m= 9、若分式方程+=會產生增根，則m= 10、若關于x的分式方程=-1,的解是正數，則a的取值范圍是 11、計算 12、解方程：13、已知、為實數，且滿足，求的值。14、已知a22a10，求（）÷的值【應用與探究】15、先閱讀下列一段文字，然后解答問題 已知：方程x-=1的解是x1=2，x2=-； 方程x-=2的解是x1=3，x2=-；方程x-=3的解是x1=4，x2=-； 方程x-=4的解是x1=5，x2=-問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x-=10的解，并寫出檢驗16、閱讀理解題： 閱讀下列材料，關于x的方程： x+=c+的解是x1=c，x

14、2=； x-=c-的妥是x1=c，x2=-； x+=c+的解是x1=c，x2=； x+=c+的解是x1=c，x2= （1）請觀察上述方程與解的特征，比較關于x的方程x+（m0）與它們的關系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念進行驗證 （2）由上述的觀察、比較、猜想、驗證，可以得出結論：如果方程的左邊是未知數與其倒數的倍數，方程右邊的形式與左邊完全相同，只把其中未知數換成了某個常數，那么這樣的方程可以直接得解，請用這個結論解關于x的方程：x+.17、福興商場文具專柜以每枝a（a為整數）元的價格購進一批“英雄”牌鋼筆，決定每枝加價2元銷售.由于這種品牌的鋼筆價格優、質量好、外表美，很快就銷

15、售一空.結賬時，售貨員發現這批鋼筆的銷售總額為399a+805(元).你能根據上面的信息求出文具專柜共購進多少枝鋼筆及每枝鋼筆的進價a是多少元嗎？18、求方程2-xy-3x+y+2006=0的正整數解。19、甲、乙兩人同時從A地到B地，甲前一半路程用速度a，后一半路用速度b；乙前一半時間用速度a，后一半時間用速度b，問哪個先到達B地？分式方程應用題1、抗震救災搶修損壞的橋梁工程必須在規定日期內完成，保證救災物質順利通過。如果甲工程隊單獨做正好如期完成；若乙工程隊單獨做需要超過4天才能完成。現由甲、乙兩隊合作3天，余下的工程由乙隊單獨做正好按期完成，問規定日期是多少天？2、南寧市2006年的污水

16、處理量為10萬噸/天，2007年的污水處理量為34萬噸/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水處理率比2006年每天的污水處理率提高（污水處理率）（1）求南寧市2006年、2007年平均每天的污水排放量分別是多少萬噸？（結果保留整數）（2）預計我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加，按照國家要求“2010年省會城市的污水處理率不低于”，那么我市2010年每天污水處理量在2007年每天污水處理量的基礎上至少還需要增加多少萬噸，才能符合國家規定的要求？3、岳陽王家河流域綜合治理工程已正式啟動，其中某項工程，

17、若由甲、乙兩建筑隊合做，6個月可以完成，若由甲、乙兩隊獨做，甲隊比乙隊少用5個月的時間完成（1）甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月的時間？（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必須在一年內竣工（包括12個月）為了確保經費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月（a、b均為整數）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？4、小明到一家批發兼零售的文具店給九年級學生購買考試用2B鉛筆，請根據下列情景解決問題。一次購買鉛筆300支以上(不包括300支)，可以按批發價付款；購買300支以下(包括300支)，只能按零售價付款。若給九年級學生每人購買1

18、支，只能按零售價付款，需要120元；若多購買60支，則可按批發價付款，同樣需要120元。售貨員 小明(1) 這個學校九年級學生總數在什么范圍內？(2) 若按批發價購買6支與按零售價購買5支的所付款相同，那么這個學校九年級學生5、甲、乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線起跑，繞過P點跑回到起跑線（如圖所示）；途中乒乓球掉下時須撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝結果：甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完事后，甲同學說：“我倆所用的全部時間的和為50秒”，乙同學說：“撿球過程不算在內時，甲的速度是我的1.2倍”根據圖文信息，請問哪位同學獲勝？ 6、金泉街道改

19、建工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的；若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元.工程預算的施工費用為50萬元.為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由.7、某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來

20、完成這一工程.已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設350米所用的天數與乙工程隊鋪設250米所用的天數相同.（1）甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米？（2）如果要求完成該項工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量（以百米為單位）的方案有幾種？請你幫助設計出來.8、某校原有600張舊課桌急需維修，經過A、B、C三個工程隊的競標得知，A、B的工作效率相同，且都為C隊的2倍，若由一個工程隊單獨完成，C隊比A隊要多用10天（1）求工程隊A平均每天維修課桌的張數；（2）學校決定由三個工程隊一齊施工，要求至多6天完成維修任務三個工程隊都按原來的工作效率施工2天時，學校又清理出需要維修

21、的課桌360張，為了不超過6天時限，工程隊決定從第3天開始，各自都提高工作效率，提高后，A、B的工作效率仍然相同，且都為C隊的2倍這樣他們至少還需要3天才能完成整個維修任務求工程隊A提高工作效率后平均每天多維修課桌張數的取值范圍9、某工廠有100名工人在A型生產線上工作經工廠多方考察，發現其生產受到限制，于是決定引入B型生產線B型生產線上每人每日生產量比A型生產線多30件一工人在B型生產線上生產100件產品的時間與原來在A型生產線上生產40件產品的時間相同（1）A型生產線上每人每日可生產多少件產品？（2）工廠決定從這100名工人中分派一部分工人到B型生產線工作分工后，繼續在A型生產線上工作的工

22、人的日均產量可增加25%，若要保證工廠分工后，A型生產線每日的總產量不少于分工前的每日總產量，而B型生產線每日的總產量不低于分工前A型生產線每日總產量的40%，則有多少種分派方案？（不寫出具體方案）（3）設工廠每日的總產量為P，在（2）題條件下，當多少人分派到B型生產線時，P有最大值？請寫出此時的分派方案，并求出P的最大值 10、“玉樹地震”的災情牽動著千萬人的心，匯川中學的同學們踴躍為災區捐款，小易同學對1班和2班捐款情況進行了統計，1班的捐款人數比2班多3人，其中1班共捐款2400元，2班共捐款1800元，2班平均每人的捐款錢數是1班平均每人捐款錢數的倍。 （1）求1班、2班各有

23、多少人捐款？ （2）慈善總會欲將此善款全部用于購買帳篷和礦泉水對口支援結古縣官貝村，該村至少需要40頂帳篷和160件礦泉水，一頂帳篷的價格為48元，一件礦泉水的價格為12元。因道路毀壞，只能用一架直升飛機將所購物資運往目的地。該直升飛機的貨運空間為20.8立方米，而一頂包裝好的帳篷體積為0.16立方米，一件礦泉水的體積為0.08立方米。應當如何安排購買方案，才能將所需物資一次性運往目的地？用必要的計算說明理由。 （3）因直升飛機飛行一次所需燃料費用甚多，故應最大程度利用飛機貨運空間。在上述方案中，選用那種方案使得它的利用程度最高，說明理由。11、某工廠計劃將一批貨物從甲地運

24、到乙地,有A,B,C三種方式可供選擇,選 擇方式A的平均速度比選擇方式B每小時少30千米,但兩者所用的運輸時間相同.選擇方式B的平均速度是方式C的兩倍,但運輸時間是方式C的40,這三種運輸方式所需各項成本見下表.經測算,總費用(含運輸費和裝卸費，其它費用忽略不計)最少的方式是A,最多的方式是C.運輸方式ABC經過的路程(千米)500800a運輸費(元千米噸)2.521裝卸費用合計(元)390002500061000(1) 求選擇方式B的平均速度；(2) 求這批貨物的重量范圍；(3) 若選擇方式C比選擇方式A平均每噸的總費用多150元，求貨物的重量12、十二五期間，湖北省把宜昌市定位為省域副中心

25、城市，全是人民倍受鼓舞，市委市政府實行了“東擴、西進、北連、南展”的決策，其中一項是大力實施基礎設施的完善，僅2010年公路建設總費用（含新修公路費用和改造公路費用，下同）共5億元。據統計新修公路費用比改造公路費用多50%，改造公路的里程比新修公路的里程多500千米，市委市政府計劃再投資到2011、2012年公路建設總費用10億元。（1）求2010年新修公路的費用（2）據交通部門測算，每改造1千米公路的費用為每新修1千米公路費用的一半，而2011年和2012年每年改造公路的里程比上一年減少500千米，這兩年新修公路的里程比上一年平均增長20%，（假定2013年前每改造1千米公路的費用和每新修1

26、千米公路的費用都不發生變化），請問市委市政府2011、2012投資的錢是否夠用？節省或超支多少元13、某地現有耕地10 000公頃，規劃若干年后糧食單產比現在增加65%，人均糧食占有量比現在提高20%，人口總數比現在增加10%，耕地面積會減少.（1）在下表三個空格中，填入適當的代數式：(2)求耕地最多只能減少多少公頃？14、某條公路分作兩段由甲、乙兩隊同時開始分別施工修建，上級要求兩隊同時完成各自的任務施工開始后兩隊用30天時間共修了1 500米，其中甲隊的施工進度比乙隊快了50(施工進度指每天修路的長度，單位：米天)由于兩隊繼續按這樣施工進度修路，將不能同時完成各自的任務，所以從第31天起，通過合理調配，降低甲隊的施工進度并提高兩隊的總施工進度(兩隊施工進度之和)，其中甲隊的施工進度降低的百分數恰為總施工進度增加的百分數，這樣剛好使兩隊同時完成各自的任務.如果一開始兩隊就按調配后各自的施工進度修路，則完成各自的任務甲隊比乙隊需多用50天(1)求調配前兩隊各自的施工進度； (2)求調配后兩隊各自的施工進度 15、電腦公司經銷甲種型號電腦，受經濟危機影響，電腦價格不斷下降今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數量的